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- 2021-05-19 发布
随堂巩固训练(21)
1. 函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调减区间为__(0，2)__．
解析：令f′(x)＝3x2－6x<0，解得01，所以函数f(x)在区间(－∞，－1)上单调递减，在区间(－1，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，所以函数在区间(a，10－a2)上有最大值的条件为解得－2≤a<1.
7. 若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在区间(0，1)上有极小值，则实数b的取值范围是____．
解析：由题意知f′(x)＝3x2－6b在区间(0，1)上有零点，且f′(0)<0，f′(1)>0，所以－6b<0，且3－6b>0，解得01－2m，则实数m的取值范围是____．
解析：设g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f′(x)－1.因为f(x)满足f′(x)<1，所以g′(x)<0，即函数g(x)在定义域上为减函数．若f(1－m)－f(m)>1－2m，则f(1－m)－f(m)>(1－m)－m，即f(1－m)
－(1－m)>f(m)－m，即g(1－m)>g(m)，所以1－m.
9. 已知a为实数，函数f(x)＝(x2＋1)(x＋a)．若f′(－1)＝0，则函数y＝f(x)在区间上的最大值和最小值分别为__6，__．
解析：函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋a，则f′(x)＝3x2＋2ax＋1.因为f′(－1)＝0，所以a＝2，所以f′(x)＝3x2＋4x＋1＝3(x＋1)，令f′(x)>0，得x>－或x<－1，令f′(x)<0，得－12，所以函数f(x)在区间上的最大值为6，最小值为.
10. 对于函数f(x)＝|x3|－x2＋(3－a)|x|＋b有六个不同的单调区间，则实数a的取值范围为__(2，3)__．
解析：因为f(x)＝|x3|－x2＋(3－a)|x|＋b，f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数．因为f(x)有六个不同的单调区间，所以当x>0时，有三个单调区间，即f′(x)＝x2－ax＋3－a有两个不同的正根，则即20)，
f′(x)＝－－＋＝＝.
令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－(x2＝－不在定义域内，舍去)，
当x∈(0，1)时，f′(x)<0，故函数f(x)在区间(0，1)上为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故函数f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，
故函数f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3，无极大值．
12. 已知函数f(x)＝2xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.
(1) 求函数f(x)的最小值；
(2) 若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围．
解析：(1) 易知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(lnx＋1)．
令f′(x)＝0，得x＝.
当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0，
所以函数f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故当x＝时，f(x)取得最小值－.
(2) 存在x∈(0，＋∞)，使f(x)≤g(x)成立，即2xlnx≤－x2＋ax－3在x∈(0，＋∞)能成立，等价于a≥2lnx＋x＋在x∈(0，＋∞)能成立，等价于a≥.
记h(x)＝2lnx＋x＋，x∈(0，＋∞)，
则h′(x)＝＋1－＝＝.
当x∈(0，1)时，h′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，所以当x＝1时，h(x)取得最小值4，
所以实数a的取值范围是[4，＋∞)．
13. 已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x(a，b∈R)在点(1，f(1))处的切线方程为y＋2＝0.
(1) 求函数f(x)的解析式；
(2) 若对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤c，求实数c的最小值；
(3) 若过点M(2，m)(m≠2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．
解析：(1) f′(x)＝3ax2＋2bx－3.
根据题意，得即解得所以f(x)＝x3－3x.
(2) 令f′(x)＝0，得3x2－3＝0，解得x＝±1.
因为f(－1)＝2，f(1)＝－2，f(2)＝2，f(－2)＝－2，
所以当x∈[－2，2]时，f(x)max＝2，f(x)min＝－2，
所以对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤|f(x)max－f(x)min|＝4，
所以c≥4，所以c的最小值为4.
(3) 因为点M(2，m)(m≠2)不在曲线y＝f(x)上，
所以可设切点为(x0，y0)，即y0＝x－3x0.
因为f′(x0)＝3x－3，所以切线的斜率为3x－3，所以3x－3＝，
即2x－6x＋6＋m＝0.
因为过点M(2，m)(m≠2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，
所以方程2x－6x＋6＋m＝0有三个不同的实数根，
所以函数g(x)＝2x3－6x2＋6＋m有三个不同的零点．
g′(x)＝6x2－12x，令g′(x)＝0，则x＝0或x＝2.
当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下：
所以即解得－6
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