第3章 实数（知识点汇总·浙教7上） 3页

第 3 章 实 数 （一）平方根与立方根 1、平方根 （1）定义：一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根，也叫做二次方根。 如果 2x a ，那么 x 叫做 a 的平方根.记作“ a ”，且 a≥0 即 X= a （2）表示：非负数 a 的平方根记作± a ，读作“正负根号 a”，（a 叫做被开方数） （3）性质：正数的平方根有两个，且互为相反数；0 的平方根为 0；负数没有平方根。 （4）开平方：求平方根的运算叫做开平方。 Ⅰ、平方根是开平方的结果；Ⅱ、 开平方与平方互为逆运算。 2、算术平方根 （1）定义：正数 a 的正的平方根 a 叫做 a 的算术平方根，0 的算术平方根是 0。 例如：a 的算术平方根.记作“ a ”，且 a≥0 即 X= a （2）性质：（1）一个数 a 的算术平方根具有非负性； 即： a ≥0 恒成立。 （2）正数的算术平方根只有 1 个，且为正数；0 的算术平方根是 0；负数没有算术平方根 3、开平方公式 ① 2 ( 0) 0( 0) ( 0) a a a a a a a       ② 2( ) ( 0)a a a …且 a≥0 4、①求 11~20 的平方值：112=121，122=144，132=169，142=196，152=225，162=256，172=289，182=324，192=361， 202=400 ②常用算数平方根估值： 1.414212  ， 1.7323  ， 2.2365  5、立方根： （1）定义：一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根，也叫做三次方根。如果 3x a ，那么 x 叫做 a 的立方根，记作“ 3 a ”.即 X= 3 a （2）表示：a 的立方根记作 3 a ，读作“三次根号 a”（a 叫做被开方数，3 叫根指数） （3）性质：正数的立方根是 1 个正数；负数的立方根是 1 个负数；0 的立方根是 0。 6、开立方公式 ① 3 3a a ，② 33( )a a ，③ 3 3a a   （二）实数 1、无理数：无限不循环的小数。（一个无理数与若干有理数之间的运算结果还是无理数） 2、无理数的三种常见类型 ①含根号且开不尽方的数； ②化简后含 的数； ③有规律但不循环的无限小数，例如：1.010010001···每两个 1 之间依次增加一个 间3、实数：有理数和无理数统称为实数。 4、实数的分类 ①按定义分类：                   正有理数 有限小数或有理数 零 无限循环小数负有理数实数 正无理数无理数 无限不循环小数 负有理数 ②按正负性分类：                   正整数正有理数正实数 正分数 正无理数 实数 零 负整数负有理数负实数 负分数 负无理数 5、非负实数：正实数和 0 统称为非负实数（非负数），即 X≥0 6、非正实数：负实数和 0 统称为非正实数，即 X≤0 7、实数与数轴上的点一一对应。 8、实数的相反数、绝对值、倒数：（与有理数的相反数、绝对值、倒数意义类似） 9、实数的运算：实数与有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意 一个实数可以进行开立方运算，而且有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用。 10、实数大小： （1）正数> 0 > 负数； （2）两个负数相比，绝对值大的反而小；绝对值小的反而大； （3）数轴上不同的点表示的数，右边点表示的数总比左边的点表示的数大。 实数比较大小的方法：作差法、平方法、作商法、倒数法、估值法······ 11、常用公式：① abb a ；② b a b ab a  0b 