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- 2021-05-19 发布
2018-2019学年度第二学期高二年级期末考试
理科数学
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
：首先根据分式不等式的解法以及指数不等式，化简集合A，B，之后根据交集的定义写出．
【详解】：
集合，，则，故选B．
【点睛】：该题考查的是有关集合的运算问题，在解题的过程中，需要先将集合中的元素确定，之后再根据集合的交集中元素的特征，求得结果．
2.已知为虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由题．又对应复平面的点在第四象限，可知，解得．故本题答案选．
3.若命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由命题“，使”是假命题，知∀x∈R，使x2+（a﹣1）x+1≥0，由此能求出实数a的取值范围．
【详解】∵命题“，使”是假命题，
∴∀x∈R，使x2+（a﹣1）x+1≥0，
∴△＝（a﹣1）2﹣4≤0，
∴﹣1≤a≤3．
故选：B．
【点睛】本题考查命题的真假判断和应用，解题时要注意由命题“，使”是假命题，知∀x∈R，使x2+（a﹣1）x+1≥0，由此进行等价转化，能求出结果．
4.已知双曲线：与双曲线：，给出下列说法，其中错误的是（ ）
A. 它们的焦距相等 B. 它们的焦点在同一个圆上
C. 它们的渐近线方程相同 D. 它们的离心率相等
【答案】D
【解析】
由题知．则两双曲线的焦距相等且，焦点都在圆的圆上，其实为圆与坐标轴交点．渐近线方程都为，由于实轴长度不同故离心率不同．故本题答案选，
5.在等比数列中，“是方程的两根”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由韦达定理可得a4+a12＝﹣3，a4•a12＝1，得a4和a12均为负值，由等比数列的性质可得．
【详解】∵a4，a12是方程x2+3x+1＝0的两根，∴a4+a12＝﹣3，a4•a12＝1，∴a4和a12均为负值，
由等比数列的性质可知a8为负值，且a82＝a4•a12＝1，∴a8＝﹣1，
故“a4，a12是方程x2+3x+1＝0的两根”是“a8＝±1”的充分不必要条件.
故选：A．
【点睛】本题考查等比数列的性质和韦达定理，注意等比数列隔项同号，属于基础题．
6.已知直线l过点P(1,0,－1)，平行于向量，平面过直线l与点M(1,2,3)，则平面的法向量不可能是（ ）
A. (1,－4,2) B. C. D. (0,－1,1)
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量，和向量，
而=（1，2，3）-（1，0，-1）=（0，2，4），
选项A，（2，1，1）（1，-4，2）=0，（0，2，4）（1，-4，2）=0满足垂直，故正确；
选项B，（2，1，1）（，-1，）=0，（0，2，4）（，-1，）=0满足垂直，故正确；
选项C，（2，1，1）（-，1，−）=0，（0，2，4）（-，1，−）=0满足垂直，故正确；
选项D，（2，1，1）（0，-1，1）=0，但（0，2，4）（0，-1，1）≠0，故错误．
考点：平面的法向量
7.在极坐标系中，由三条直线，，围成的图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出直线与直线交点的极坐标，直线与直线交点的极坐标，然后利用三角形的面积公式可得出结果.
【详解】设直线与直线交点的极坐标，则，得.
设直线与直线交点的极坐标，
则，即，得.
因此，三条直线所围成的三角形的面积为，
故选：B.
【点睛】本题考查极坐标系中三角形面积的计算，主要确定出交点的极坐标，并利用三角形的面积公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
8. 若从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有
A. 60种 B. 63种 C. 65种 D. 66种
【答案】D
【解析】
试题分析：要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得个偶数时，有种结果，当取得个奇数时，有种结果，当取得奇偶时有种结果,共有种结果.故答案为D.
考点：分类计数原理.
9.设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝ ( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意可知,,,即,
,解得．故B正确．
考点：1二项式系数；2组合数的运算．
10.通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由
附表：
0．050
0．010
0．001
3．841
6．635
10．828
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
【答案】A
【解析】
【详解】由，而，故由独立性检验的意义可知选A
11.焦点为的抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（ ）
A. 或 B.
C. 或 D.
【答案】A
【解析】
过作与准线垂直，垂足为，则，则当取得最大值时，必须取得最大值，此时直线与抛物线相切，可设切线方程为与联立，消去得，所以，得．则直线方程为或．故本题答案选．
点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离，抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化，如果问题中涉及抛物线上的点到焦点或到准线的距离，那么用抛物线定义就能解决问题．本题就是将到焦点的距离转化成到准线的距离，将比值问题转化成切线问题求解．
12.定义在上的函数满足，且当时，
，对，，使得，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
由题知问题等价于函数在上的值域是函数在上的值域的子集．当时，，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时，由，可得，当时，．则在的值域为．当时，，则有，解得，当时，，不符合题意；当时，，则有，解得．综上所述，可得的取值范围为 ．故本题答案选．
点睛：求解分段函数问题应对自变量分类讨论，讨论的标准就是自变量与分段函数所给出的范围的关系，求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围．讨论应该 不重复不遗漏．
二、填空题.
13.已知，，若向量与共线，则在方向上的投影为______.
【答案】
【解析】
,由向量 与 共线，得 ，解得 ，则 ，故答案为.
14.将参数方程（为参数），转化成普通方程为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
将参数方程变形为，两式平方再相减可得出曲线的普通方程.
【详解】将参数方程变形为，两等式平方得，
上述两个等式相减得，因此，所求普通方程为，
故答案为：.
【点睛】本题考查参数方程化为普通方程，在消参中，常用平方消元法与加减消元法，考查计算能力，属于中等题.
15.已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X>2)＝____________.
【答案】0.1
【解析】
随机变量服从正态分布，且
，故答案为.
16.已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A-BCD的外接球，BC=3，，点E在线段BD上，且BD=3BE，过点E作圆O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__.
【答案】
【解析】
【分析】
设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接oO1D，OD，O1E，OE，可得R2＝3+（3﹣R）2，解得R＝2，过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解．
【详解】如图，
设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，
连接oO1D，OD，O1E，OE，
则，AO1
在Rt△OO1D中，R2＝3+（3﹣R）2，解得R＝2，
∵BD＝3BE，∴DE＝2
在△DEO1中，O1E
∴
过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，
此时截面圆的半径为，最小面积为2π．
当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π．
故答案为：[2π，4π]
【点睛】本题考查了球与三棱锥的组合体，考查了空间想象能力，转化思想，解题关键是要确定何时取最值，属于中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l与圆C交于A，B两点．
求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；
动点P在圆C上不与A，B重合，试求的面积的最大值．
【答案】(1) .
(2) .
【解析】
分析：(1)先根据将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再将直线的参数方程代入圆 方程，利用韦达定理以及参数几何意义求弦的长；(2)先根据加减消元法得直线的普通方程，再根据点到直线距离公式得点到直线的距离最大值，最后根据三角形面积公式求最大值.
详解：（1）由得
所以，所以圆的直角坐标方程为
将直线的参数方程代入圆，并整理得，
解得
所以直线被圆截得的弦长为.
（2）直线的普通方程为 .
圆的参数方程为（为参数），
可设圆上的动点，
则点到直线的距离
当时，取最大值，且的最大值为
所以
即的面积的最大值为.
点睛：直线的参数方程的标准形式的应用
过点M0(x0，y0)，倾斜角为α直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)
若M1，M2是l上两点，其对应参数分别为t1，t2，则
(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).
(2)|M1M2|＝|t1－t2|.
(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.
(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.
18.选修4-5：不等式选讲
设函数的最大值为.
（1）求的值；
（2）若正实数，满足，求的最小值.
【答案】(1) m＝1 (2)
【解析】
试题分析：（1）零点分区间去掉绝对值，得到分段函数的表达式，根据图像即可得到函数最值；（2）将要求的式子两边乘以(b＋1)＋(a＋1)，再利用均值不等式求解即可.
解析：
（Ⅰ）f(x)＝|x＋1|－|x|＝
由f(x)的单调性可知，当x≥1时，f(x)有最大值1．
所以m＝1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a＋b＝1，
＋＝ (＋)[(b＋1)＋(a＋1)]
＝ [a2＋b2＋＋]
≥ (a2＋b2＋2)
＝ (a＋b)2
＝．
当且仅当a＝b＝时取等号．
即＋的最小值为．
19.如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为 的垂心
（1）求证：平面平面 ；
（2）若，求二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）.
【解析】
试题分析：（1）延长交于点，由重心性质及中位线性质可得，再结合圆的性质得，由已知，可证 平面，进一步可得平面平面（2）以点为原点，，，方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用二面角与二个半平面的法向量的夹角间的关系可求二面角的余弦值．
试题解析：（1）如图，延长交于点.因为为的重心，所以为的中点.
因为为的中点，所以.因为是圆的直径，所以，所以.
因为平面，平面，所以.又平面，平面=，所以 平面.即平面，又平面，所以平面 平面.
（2）以点为原点，，，方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，则，.平面即为平面，设平面的一个法向量为，则令，得.过点作于点，由平面，易得，又
，所以平面，即为平面的一个法向量.
在中，由，得，则，.
所以，.所以.
设二面角的大小为，则 .
点睛：若分别二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足，二面角的平面角的大小是的夹角(或其补角，需根据观察得出结论)．在利用向量求空间角时，建立合理的空间直角坐标系，正确写出各点坐标，求出平面的法向量是解题的关键．
20.年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过元（含元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有个形状、大小完全相同的小球（其中红球个，黑球个）的抽奖盒中，一次性摸出个球，其中奖规则为：若摸到个红球，享受免单优惠；若摸出个红球则打折，若摸出个红球，则打折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有个形状、大小完全相同的小球（其中红球个，黑球个）的抽奖盒中，有放回每次摸取球，连摸次，每摸到次红球，立减元.
（1）若两个顾客均分别消费了元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；
（2）若某顾客消费恰好满元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
【答案】（1）；（2）选择第一种抽奖方案更合算.
【解析】
【分析】
（1）选择方案一，利用积事件的概率公式计算出两位顾客均享受到免单的概率；
（2）选择方案一，计算所付款金额分布列和数学期望值，选择方案二，计算所付款金额
的数学期望值，比较得出结论.
【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，
设顾客享受到免单优惠为事件，则，
所以两位顾客均享受到免单的概率为；
（2）若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为、、、.
，，
，.
故的分布列为，
所以（元）.
若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，
由已知可得，故，
所以（元）.
因为，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.
【点睛】本题考查独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量分布列与数学期望，同时也考查了二项分布的数学期望与数学期望的性质，解题时要明确随机变量所满足的分布列类型，考查计算能力，属于中等题.
21.已知椭圆的离心率为，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线：与椭圆交于A，B两点，是否存在实数，使线段AB的中点在圆上，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）实数不存在，理由见解析．
【解析】
试题分析：（1）运用椭圆的离心率公式和的关系，解方程可得，进而得到椭圆方程；（2）设，，线段的中点为．联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得的坐标，代入圆的方程，解方程可得，进而判断不存在．
试题解析：（1）由题意得，解得故椭圆的方程为；
（2）设，，线段的中点为联立直线与椭圆的方程得，即，
即，
，
所以，
即．又因点在圆上，
可得，
解得与矛盾．
故实数不存在．
考点：椭圆的简单性质．
22.已知函数.
（1）当时，求函数在点处的切线方程.
（2）求函数的单调区间.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
试题分析：
（1）函数定义域，当时，计算可得：，，则切线方程为.
（2），考查二次函数，分类讨论：
①若，在上单调递增，在上单调递减.
②若，为开口向上的二次函数，两个零点均在定义域上.则：
（i）若，函数在和上单调递增，在上单调递减.
（ii）若，在上单调递增.
（iii）若，函数在和上单调递增，在上单调递减.
试题解析：
（1）函数的定义域，
当时，，，
，∴切线方程为.
（2），
易知，令，
①若，，∴在上单调递增，在上单调递减.
②若，为开口向上的二次函数，零点分别为0，，其中，
即的两个零点均在定义域上.
（i）若，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减.
（ii）若，，图象恒在轴上方，恒成立，∴在上单调递增.
（iii）若，，∴函数在和上单调递增，在上单调递减.
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．