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- 2021-02-26 发布
石景山区2016—2017学年第一学期高三年级期末试卷
数 学（理）
考生须知
1．本试卷共6页，共三道大题，20道小题，满分150分．考试时间120分钟．
2．在答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题请用2B铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合,,那么等于（ ）
A．
B．
C．
D．
是
否
开始
结束
2．若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．执行如图所示的程序框图，输出的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列函数中既是奇函数又在区间上单调递减的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．由直线，和所围成的三角形区域（包括边界），用不等式组可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．一个几何体的三视图如右图所示．
已知这个几何体的体积为，则（ ）
侧视图
正视图
4
h
俯视图
3
A．
B．
C．
D．
7．将函数图象上的点向左平移m(m >0)个单位长度得到
点．若位于函数的图象上，则以下说法正确的是（ ）
A．当时，m的最小值为
B．当时，m一定为
C．当时，m的最大值为
D．，m一定为
8．六名同学A、B、C、D、E、F举行象棋比赛，采取单循环赛制，即参加比赛的每两个人之间仅赛一局．第一天，A、B各参加了局比赛，C、D各参加了局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过，那么F在第一天参加的比赛局数为（ ）
A．
B．
C．
D．
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．在的展开式中，的系数是 （结果用数值表示）．
10．已知中，，，，则的面积为．
11．若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标是 ．
12．等差数列中，，公差不为零，且，，恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于 ．
13．有以下个条件：①；②；③与的方向相反；④与都是单位向量．其中//的充分不必要条件有 ．（填正确的序号）．
14．已知函数，
①方程有________个根；
②若方程恰有两个不同实数根，则实数的取值范围是____________．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共13分）
已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在上的最大值．
16．（本小题共13分）
年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破亿．微信用户平均年龄只有岁，的用户在岁以下，的用户在-岁之间．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从北京市大学生中随机抽取位同学进行了抽样调查，结果如下：
微信群数量
频数
频率
0至5个
6至10个
11至15个
16至20个
个以上
合计
（Ⅰ）求，，的值；
（Ⅱ）若从这位同学中随机抽取人，求这人中恰有人微信群个数超过个的概率；
（Ⅲ）以这个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生中随机抽取人，记表示抽到的是微信群个数超过个的人数，求的分布列和数学期望．
17．（本小题共14分）
如图1，等腰梯形中，∥，于点，，且．
沿把折起到的位置（如图2），使．
（Ⅰ）求证：⊥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
P′
A
B
C
D
B
C
A
P
D
（Ⅲ）线段上是否存在点，使得∥平面．若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由．
图1图2
18．（本小题共13分）
已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于两点，设点关于轴的对称点为．直线与轴的交点是否为定点？请说明理由．
19．（本小题共14分）
已知函数，．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若对任意，恒成立，求的取值范围．
20．（本小题共13分）
集合的若干个子集的集合称为集合的一个子集族．对于集合的一个子集族满足如下条件：若，则，则称子集族是“向下封闭”的．
（Ⅰ）写出一个含有集合的“向下封闭”的子集族并计算此时的值
（其中表示集合中元素的个数，约定；表示对子集族中所有成员求和）；
（Ⅱ）是集合的任一“向下封闭的”子集族，对,记，（其中max表示最大值），
（ⅰ）求；
（ⅱ）若是偶数，求．
石景山区2016—2017学年第一学期期末考试
高三数学（理科）参考答案
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
A
D
A
B
B
D
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
题号
9
10
11
12
13
14
答案
① ③
三、
解答题共6小题，共80分．
15．（本小题共13分）
解：（Ⅰ） ……1分
……2分
， ……4分
因此的最小正周期为． …………6分
（Ⅱ）当时，， ………8分
当，有最大值． ………10分
即时，的最大值为． ……………13分
16．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）解得，
，．…………………3分
（Ⅱ）记“人中恰有人微信群个数超过个”为事件，
则．
所以，人中恰有人微信群个数超过个的概率为． ……………7分
（Ⅲ）依题意可知，微信群个数超过个的概率为．
的所有可能取值，，，． ……………8分
则，，
，．
其分布列如下：
所以，．……………13分
17．（本小题共14分）
解：（Ⅰ）因为，所以⊥．
因为在等腰梯形中，⊥，所以在四棱锥中，⊥．
又，所以⊥面．
因为面，所以⊥．……3分
因为等腰梯形中，，，且．
所以，，．所以．
所以⊥．
因为=, 所以⊥平面． ……5分
P’
A
B
C
D
x
y
z
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，⊥面，⊥，
如图，建立空间直角坐标系，
，，，
，．…………5分
所以，．
由（Ⅰ）知，平面的法向量为，
设为平面的一个法向量，则,即，
再令，得．==．
所以二面角的余弦值为． …………9分
（Ⅲ）若线段上存在点，使得∥平面．
依题意可设,其中．所以，．
由（Ⅱ）知，平面的一个法向量．
因为∥平面，所以，
所以，解得．
所以，线段上存在点，使得∥平面…………………14分
18．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）因为点（）在椭圆上，所以．
又因为，所以，．
所以椭圆的标准方程为：． ……………………5分
（Ⅱ）设．
设直线：． ……………………6分
联立，得：．
所以，． ……………8分
直线的方程为， ……………9分
令，解得 ………11分
又，
所以．
所以直线与轴的交点是定点，坐标为．………分
19．（本小题共14分）
解：（Ⅰ）函数的定义域为，．……2分
当变化时，，的变化情况如下表：
所以，函数的单调递增区间是，
单调递减区间是，． …………5分
（Ⅱ）依题意，“对于任意，恒成立”等价于 “对于任意，成立”．
由（Ⅰ）知，函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，，所以函数的最小值为．
所以应满足．………………………………………………7分
因为，所以．………8分
因为，令得，，．
（ⅰ）当，即时，
在上，所以函数在上单调递增，
所以函数．
由得，，所以． ……………11分
（ⅱ）当，即时,
在上，在上，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以．
由得，，所以． ……………13分
综上所述，的取值范围是． ……………14分
20．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）含有集合的“向下封闭”的子集族 ……2分
此时 …………4分
（Ⅱ）设的所有不超过个元素的子集族为
（ⅰ）易知当时，达到最大值，
所以 …6分
（ⅱ）设是使得的任一个“向下封闭”的子集族，记，其中为不超过元的子集族，为元或元的子集
则= ………8 分
现设有（）个的元子集，由于一个元子集至多出
现在个的元子集中，而一个元子集中有个元子集，故个元子集至少产生个不同的元子集．
由（ⅰ）得
…13分
【注：若有其它解法，请酌情给分．】