2019届二轮复习小题专练直线与圆课件（41张） 41页

第二篇　重点专题分层练 ， 中高档题得高分 第 17 练　直线与圆 [ 小题提速练 ] 明晰 考 情 1. 命题角度：直线与圆的考查主要体现在圆锥曲线的考查上，偶有单独命题，单独命题时主要考查求直线 ( 圆 ) 的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题 . 2 . 题目难度：中低档难度 . 核心考点突破练 栏目索引 易错易混专项练 高考押题冲刺练 考点一　直线的方程 方法技巧 　 (1) 解决直线方程问题，要充分利用数形结合思想，养成边读题边画图分析的习惯 .(2) 求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意 .(3) 求解两条直线平行的问题时，在利用 A 1 B 2 － A 2 B 1 ＝ 0 建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性 . 核心考点突破练 1. 已知直线 l 1 ： mx ＋ y ＋ 1 ＝ 0 ， l 2 ： ( m － 3) x ＋ 2 y － 1 ＝ 0 ，则 “ m ＝ 1 ” 是 “ l 1 ⊥ l 2 ” 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 √ 解析　 “ l 1 ⊥ l 2 ” 的充要条件是 “ m ( m － 3) ＋ 1 × 2 ＝ 0 ⇔ m ＝ 1 或 m ＝ 2 ” ， 因此 “ m ＝ 1 ” 是 “ l 1 ⊥ l 2 ” 的充分不必要条件 . 答案 解析 2. 已知 A (1,2) ， B (2,11) ，若直线 y ＝ ( m ≠ 0) 与线段 AB 相交，则实数 m 的取值范围是 A. [ － 2,0 ) ∪ [ 3 ，＋ ∞ ) B .( － ∞ ， － 1 ] ∪ (0,6] C. [ － 2 ，－ 1 ] ∪ [ 3,6 ] D . [ － 2,0 ) ∪ ( 0,6 ] 答案 解析 √ 解得－ 2 ≤ m ≤ － 1 或 3 ≤ m ≤ 6 ，故选 C. 3. 过点 P (2,3) 的直线 l 与 x 轴， y 轴的正半轴分别交于 A ， B 两点， O 为坐标原点，则 S △ AOB 的最小值为 ___. 答案 解析 12 ∵ 点 P (2,3) 在直线 l 上， 4. 若动点 A ， B 分别在直线 l 1 ： x ＋ y － 7 ＝ 0 和 l 2 ： x ＋ y － 5 ＝ 0 上移动，则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为 __ _ ___. 解析　 依题意知 AB 的中点 M 的集合是与直线 l 1 ： x ＋ y － 7 ＝ 0 和 l 2 ： x ＋ y － 5 ＝ 0 的距离都相等的直线， 则点 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离 . 设点 M 所在直线的方程为 l ： x ＋ y ＋ m ＝ 0 ， 答案 解析 即 | m ＋ 7| ＝ | m ＋ 5| ，解得 m ＝－ 6 ，即 l ： x ＋ y － 6 ＝ 0 . 根据 点到直线的距离公式， 考点二　圆的方程 方法技巧 　 (1) 直接法求圆的方程：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 .(2) 待定系数法求圆的方程：设圆的标准方程或圆的一般方程，依据已知条件列出方程组，确定系数后得到圆的方程 . 5. 已知圆 C 与直线 x － y ＝ 0 及 x － y － 4 ＝ 0 都相切，圆心在直线 x ＋ y ＝ 0 上，则圆 C 的标准方程为 A.( x ＋ 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 2 B .( x － 1) 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 2 C.( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 2 D .( x ＋ 1) 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 2 √ 解析　 设圆心坐标为 ( a ，－ a ) ， 答案 解析 解得 a ＝ 1 ， 故圆 C 的标准方程为 ( x － 1) 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 2. 6. 圆心在曲线 y ＝ ( x ＞ 0) 上，且与直线 2 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0 相切的面积最小的圆的方程为 A.( x － 1) 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 5 B.( x － 2) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 5 C.( x － 1) 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 25 D.( x － 2) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 25 √ 答案 解析 得 x ＝ 1( 舍负 ) ， 代入曲线方程，得切点坐标为 (1,2) ，以该点为圆心且与直线 2 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0 相切的圆的面积最小， 故所求圆的方程为 ( x － 1) 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 5. 7. 已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M (0 ， ) 在圆 C 上，且圆心到 直线 2 x － y ＝ 0 的距离 为 则 圆 C 的方程为 ______________. 解析　 ∵ 圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C ( a ， 0 ) ，且 a >0. 答案 解析 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 9 解得 a ＝ 2( 舍负 ). 因此圆 C 的方程为 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 9. 8. 圆心在直线 x － 2 y ＝ 0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截 x 轴所得的弦长 为 则 圆 C 的标准方程为 __________________. 答案 解析 ( x － 2) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 4 所以圆心为 (2,1) ，半径为 2 ， 所以圆 C 的标准方程为 ( x － 2) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 4. 考点三　点、直线、圆的位置关系 方法技巧 　 (1) 研究点、直线、圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题 . (2) 与弦长 l 有关的问题常用几何法，即利用圆的半径 r ，圆心到直线的距离 d ，及半 弦长 构成 直角三角形的三边，利用其关系来处理 . 9. 过点 P ( － 3,1) ， Q ( a ， 0 ) 的光线经 x 轴反射后与圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 相切，则 a 的值为 解析　 点 P ( － 3,1) 关于 x 轴的对称点为 P ′ ( － 3 ，－ 1) ， 由 题意得直线 P ′ Q 与圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 相切 ， 因为 直线 P ′ Q ： x － ( a ＋ 3) y － a ＝ 0 ， √ 答案 解析 10. 已知圆 C ： ( x － a ) 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 4( a >0) ，若倾斜角为 45° 的直线 l 过抛物线 y 2 ＝－ 12 x 的焦点，且直线 l 被圆 C 截得的弦长 为 则 a 等于 解析　 ∵ 抛物线 y 2 ＝－ 12 x 的焦点为 ( － 3,0) ， 故直线的方程为 x － y ＋ 3 ＝ 0. √ 答案 解析 11. 已知圆 C 1 ： ( x － 2) 2 ＋ ( y － 3) 2 ＝ 1 ，圆 C 2 ： ( x － 3) 2 ＋ ( y － 4) 2 ＝ 9 ， M ， N 分别是圆 C 1 ， C 2 上的动点， P 为 x 轴上的动点，则 | PM | ＋ | PN | 的最小值为 ________. 答案 解析 解析　 两圆的圆心均在第一象限，先求 | PC 1 | ＋ | PC 2 | 的最小值 ， 由 点 C 1 关于 x 轴的对称点 C 1 ′ (2 ，－ 3) ， 12. 设抛物线 y 2 ＝ 4 x 的焦点为 F ，准线为 l . 已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A . 若 ∠ FAC ＝ 120° ，则圆的方程为 ____________________. 答案 解析 解析　 由题意知该圆的半径为 1 ，设圆心 C ( － 1 ， a )( a >0) ，则 A (0 ， a ). 1. 直线 x cos θ ＋ y ＋ 2 ＝ 0 的倾斜角 α 的取值范围是 _______________. 易错易混专项练 答案 解析 解析　 当 l 斜率不存在时，符合题意； 当 l 斜率存在时，设 l ： y ＝ k ( x － 2) ＋ 4 ， C ： ( x － 1) 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 10. 2. 已知过点 (2,4) 的直线 l 被圆 C ： x 2 ＋ y 2 － 2 x － 4 y － 5 ＝ 0 截得的弦长为 6 ，则直线 l 的方程为 _____________ __ _________. 答案 解析 x － 2 ＝ 0 或 3 x － 4 y ＋ 10 ＝ 0 综上，直线 l 的方程是 x － 2 ＝ 0 或 3 x － 4 y ＋ 10 ＝ 0. 3. 由直线 y ＝ x ＋ 1 上的一点向圆 ( x － 3) 2 ＋ y 2 ＝ 1 引切线，则切线长的最小值为 _____. 答案 解析 解析　 如图所示，设直线上一点 P ，切点为 Q ，圆心 为 M ， 则 | PQ | 即为切线长， MQ 为圆 M 的半径，长度为 1 ， 要使 | PQ | 最小，即求 | PM | 的最小值，此题转化为求直线 y ＝ x ＋ 1 上的点到圆心 M 的最小距离，设圆心到直线 y ＝ x ＋ 1 的距离为 d ， 解题秘籍 　 (1) 直线倾斜角的范围是 [0 ， π) ，要根据图形结合直线和倾斜角的关系确定倾斜角或斜率范围 . (2) 求直线的方程时，不要忽视直线平行于坐标轴和直线过原点的情形 . (3) 和圆有关的最值问题，要根据图形分析，考虑和圆心的关系 . 1. 已知命题 p ： “ m ＝－ 1 ” ，命题 q ： “ 直线 x － y ＝ 0 与直线 x ＋ m 2 y ＝ 0 互相垂直 ” ，则命题 p 是命题 q 的 A. 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 √ 解析　 “ 直线 x － y ＝ 0 与直线 x ＋ m 2 y ＝ 0 互相垂直 ” 的充要条件是 1 × 1 ＋ ( － 1)· m 2 ＝ 0 ⇔ m ＝ ±1. ∴ 命题 p 是命题 q 的充分不必要条件 . 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考押题冲刺练 2. 两条平行线 l 1 ， l 2 分别过点 P ( － 1,2) ， Q (2 ，－ 3) ，它们分别绕 P ， Q 旋转，但始终保持平行，则 l 1 ， l 2 之间距离的取值范围是 A.(5 ，＋ ∞ ) B .(0,5] C .( ，＋ ∞ ) D .(0 ， ] √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 已知过点 P (2,2) 的直线与圆 C ： ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 5 相切，且与直线 ax － y ＋ 1 ＝ 0 垂直，则 a 等于 √ 解析　 由切线与直线 ax － y ＋ 1 ＝ 0 垂直，且 P 为圆 C 上一点 ， 得 过点 P (2,2) 与圆心 (1,0) 的直线与直线 ax － y ＋ 1 ＝ 0 平行， 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 若直线 x － y ＋ m ＝ 0 被圆 C ： ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 5 截得的弦长 为 则 m 的值为 A.1 B . － 3 C.1 或－ 3 D.2 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 设 △ ABC 外接圆的一般方程为 x 2 ＋ y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 已知圆 C ： ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 25 ，则过点 P (2 ，－ 1) 的圆 C 的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 易知最长弦为圆的直径 10 ， 7. 已知圆的方程为 x 2 ＋ y 2 － 4 x － 6 y ＋ 11 ＝ 0 ，直线 l ： x ＋ y － t ＝ 0 ，若圆 上 有 且只有两个不同的点到直线 l 的距离 等于 则 参数 t 的取值范围为 A .(2,4) ∪ (6,8) B .(2.4] ∪ [6,8) C.(2,4) D .(6,8) √ 解析　 把 x 2 ＋ y 2 － 4 x － 6 y ＋ 11 ＝ 0 变形为 ( x － 2) 2 ＋ ( y － 3) 2 ＝ 2 ， 所以圆心坐标为 (2,3) ， 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 如图，圆 M 和圆 N 与直线 l ： y ＝ kx 分别相切于点 A ， B ，与 x 轴相切，并且圆心连线与 l 交于点 C ，若 | OM | ＝ | ON | 且 ＝ 则 实数 k 的值为 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 过两圆圆心分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 P ， Q ， 设 圆 M ，圆 N 的半径分别为 R ， r ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵ OB 是圆 M ，圆 N 的切线， ∴ AM ⊥ OB ， BN ⊥ OB ， △ MAC ∽△ NBC ， ∵ x 轴是两圆的公切线，且 OB 也是两圆的公切线， ∴ OM 平分 ∠ BOP ， ON 平分 ∠ BOQ ， ∴∠ NOQ ＋ ∠ POM ＝ 90° ， ∴∠ NOQ ＝ ∠ PMO ，又 | OM | ＝ | ON | ， ∴△ MPO ≌△ OQN ， ∴ | OQ | ＝ | MP | ＝ R . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 9.(2018· 全国 Ⅰ ) 直线 y ＝ x ＋ 1 与圆 x 2 ＋ y 2 ＋ 2 y － 3 ＝ 0 交于 A ， B 两点，则 | AB | ＝ ______. 解析　 由 x 2 ＋ y 2 ＋ 2 y － 3 ＝ 0 ，得 x 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 4. ∴ 圆心 C (0 ，－ 1) ，半径 r ＝ 2. 10. 直线 ax ＋ by ＝ 1 与圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 相交于 A ， B 两点 ( 其中 a ， b 是实数 ) ，且 △ AOB 是直角三角形 ( O 是坐标原点 ) ，则点 P ( a ， b ) 与点 (0,1) 之间距离的最大值为 ________. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 已知圆 C 的方程是 x 2 ＋ y 2 － 8 x － 2 y ＋ 8 ＝ 0 ，直线 l ： y ＝ a ( x － 3) 被圆 C 截得的弦长最短时，直线 l 的方程为 ____ _ ______. 解析　 圆 C 的标准方程为 ( x － 4) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 9 ， ∴ 圆 C 的圆心 C (4,1) ，半径 r ＝ 3. 又直线 l ： y ＝ a ( x － 3) 过定点 P (3,0) ， 则当直线 l 与直线 CP 垂直时，被圆 C 截得的弦长最短 . 答案 解析 x ＋ y － 3 ＝ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 故所求直线 l 的方程为 y ＝－ ( x － 3) ， 即 x ＋ y － 3 ＝ 0. 12. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x 2 ＋ y 2 － 8 x ＋ 15 ＝ 0 ，若直线 y ＝ kx － 2 上至少存在一点，使得以该点为圆心， 1 为半径的圆与圆 C 有 公共 点 ，则 k 的最大值是 ____. 解析　 圆 C 的标准方程为 ( x － 4) 2 ＋ y 2 ＝ 1 ，圆心为 (4,0). 由题意知， (4,0) 到 kx － y － 2 ＝ 0 的距离应不大于 2 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 本课结束