2018届二轮复习（理）回扣11　推理与证明、算法、复数课件（全国通用） 38页

回扣 11 　 推理与证明、算法、复数 考前回扣 基础回归 易错提醒 回归训练 Ⅰ 基础回归 1. 复数的相关概念及运算法则 (1) 复数 z ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R ) 的分类 ① z 是实数 ⇔ b ＝ 0 ； ② z 是虚数 ⇔ b ≠ 0 ； ③ z 是纯虚数 ⇔ a ＝ 0 且 b ≠ 0. (2) 共轭复数 (4) 复数相等的充要条件 a ＋ b i ＝ c ＋ d i ⇔ a ＝ c 且 b ＝ d ( a ， b ， c ， d ∈ R ). 特别地， a ＋ b i ＝ 0 ⇔ a ＝ 0 且 b ＝ 0( a ， b ∈ R ). (5) 复数的运算法则 加减法： ( a ＋ b i)±( c ＋ d i) ＝ ( a ± c ) ＋ ( b ± d )i ； 乘法： ( a ＋ b i)( c ＋ d i) ＝ ( ac － bd ) ＋ ( ad ＋ bc )i ； 2. 复数的几个常见结论 (1)(1±i) 2 ＝ ±2i. 3. 程序框图的三种基本逻辑结构 (1) 顺序结构：如图 (1) 所示 . (2) 条件结构：如图 (2) 和图 (3) 所示 . (3) 循环结构：如图 (4) 和图 (5) 所示 . 4. 推理 推理分为合情推理与演绎推理，合情推理包括归纳推理和类比推理；演绎推理的一般模式是三段论 . 合情推理的思维过程 (1) 归纳推理的思维过程 (2) 类比推理的思维过程 5. 证明方法 (1) 分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知 . 推理模式： 框图表示 (2) 综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知 . 推理模式 (3) 反证法 一般地，假设原命题不成立 ( 即在原命题的条件下，结论不成立 ) ，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法 . Ⅱ 易错提醒 1. 复数 z 为纯虚数的充要条件是 a ＝ 0 且 b ≠ 0( z ＝ a ＋ b i ， a ， b ∈ R ). 还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧 . 2. 复数的运算与多项式运算类似，要注意利用 i 2 ＝－ 1 化简合并同类项 . 3. 在解决含有循环结构的框图时，要弄清停止循环的条件 . 注意理解循环条件中 “≥” 与 “ ＞ ” 的区别 . 4. 解决程序框图问题时，要注意流程线的指向与其上文字 “ 是 ”“ 否 ” 的对应 . 5. 类比推理易盲目机械类比，不要被表面的假象 ( 某一点表面相似 ) 迷惑，应从本质上类比 . 用数学归纳法证明时，易盲目以为 n 0 的起始值 n 0 ＝ 1 ，另外注意证明传递性时，必须用 n ＝ k 成立的归纳假设 . 6. 在循环结构中，易错误判定循环体结束的条件，导致错求输出的结果 . III 回归训练 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1. 复数 z 满足 z (2 － i) ＝ 1 ＋ 7i ，则复数 z 的共轭复数为 A. － 1 － 3i B . － 1 ＋ 3i C.1 ＋ 3i D.1 － 3i √ 解析　 ∵ z (2 － i) ＝ 1 ＋ 7i ， 共轭复数为－ 1 － 3i. 答案 解析 2. 复数 z 1 ， z 2 在复平面内对应的点关于直线 y ＝ x 对称，且 z 1 ＝ 3 ＋ 2i ，则 z 1 · z 2 等于 A.13i B . － 13i C.13 ＋ 12i D.12 ＋ 13i √ 解析　 z 1 ＝ 2 ＋ 3i ， z 1 · z 2 ＝ (2 ＋ 3i)(3 ＋ 2i) ＝ 13i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 3. 用反证法证明命题：三角形的内角至少有一个钝角 . 假设正确的是 A. 假设至少有一个钝角 B. 假设至少有两个钝角 C. 假设没有一个钝角 D. 假设没有一个钝角或至少有两个钝角 √ 解析　 原命题的结论为至少有一个钝角 . 则反证法需假设结论的反面 . “ 至少有一个 ” 的反面为 “ 没有一个 ” ，即假设没有一个钝角 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 4. 下面几种推理过程是演绎推理的是 A. 由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质 B. 所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能够导电 C. 高一参加军训有 12 个班， 1 班 51 人， 2 班 53 人， 3 班 52 人，由此推测 各 班 都超过 50 人 D. 在数列 { a n } 中， a 1 ＝ 2 ， a n ＝ 2 a n － 1 ＋ 1( n ≥ 2) ，由此归纳出 { a n } 的 通项 公式 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 A. 由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质为类比推理 . B. 所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能够导电 . 由一般到特殊，为演绎推理 . C. 高一参加军训有 12 个班， 1 班 51 人， 2 班 53 人， 3 班 52 人，由此推测各班都超过 50 人为归纳推理 . D. 在数列 { a n } 中， a 1 ＝ 2 ， a n ＝ 2 a n － 1 ＋ 1( n ≥ 2) ，由此归纳出 { a n } 的通项公式为归纳推理 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5. z ＝ ( m ∈ R ， i 为虚数单位 ) 在复平面上的点不可能位于 A. 第一象限 B . 第二象限 C. 第三象限 D . 第四象限 √ 答案 解析 由于 m － 1 ＜ m ＋ 1 ，故不可能在第四象限 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序， 若 输出 的 S 为 ， 则判断框中填写的内容可以是 A. n ＝ 6 B. n ＜ 6 C. n ≤ 6 D. n ≤ 8 答案 解析 √ 解析　 S ＝ 0 ， n ＝ 2 ，判断是， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 7. 以下是解决数学问题的思维过程的流程图： 在此流程图中， ① ， ② 两条流程线与 “ 推理与证明 ” 中的思维方法匹配正确的是 A. ① — 综合法， ② — 分析 法 B . ① — 分析法， ② — 综合法 C. ① — 综合法， ② — 反证法 D . ① — 分析法， ② — 反证法 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 根据已知可得该结构图为证明方法的结构图 . 由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法 ， 故 ①② 两条流程线代表 “ 推理与证明 ” 中的思维方法是 ① — 综合法， ② — 分析法 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 8. 执行如图所示的程序框图，若输出的是 n ＝ 6 ，则输入整数 p 的最小值 为 A.15 B.16 C.31 D.32 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 列表分析如下： 　　　 是否继续循环　　　 S 　　　 n 循环前　　　　　　　　　　 0 　　 1 第一圈　　是　　　　　　　 1 　　 2 第二圈　　是　　　　　　　 3 　　 3 第三圈　　是　　　　　　　 7 　　 4 第四圈　　是　　　　　　　 15 　 5 第五圈　　是　　　　　　　 31 　 6 第六圈　　否 故当 S 值不大于 15 时继续循环，大于 15 但不大于 31 时退出循环，故 p 的最小正整数值为 16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 9. 小明用电脑软件进行数学解题能力测试，每答完一道题，软件都会自动计算并显示出当前的正确率 ( 正确率＝已答对题目数 ÷ 已答题目总数 ) ，小明依次共答了 10 道题，设正确率依次为 a 1 ， a 2 ， a 3 ， … ， a 10 . 现有三种说法： ① 若 a 1 ＜ a 2 ＜ a 3 ＜ … ＜ a 10 ，则必是第一道题答错，其余题均答对； ② 若 a 1 ＞ a 2 ＞ a 3 ＞ … ＞ a 10 ，则必是第一道题答对，其余题均答错； ③ 有可能 a 5 ＝ 2 a 10 ，其中正确的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 解析　 ①② 显然成立， ③ 前 5 个全答对，后 5 个全答错，符合题意，故选 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 下列类比推理的结论不正确的是 ① 类比 “ 实数的乘法运算满足结合律 ” ，得到猜想 “ 向量的数量积运算满足结合律 ” ； ② 类比 “ 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，则 S 4 ， S 8 － S 4 ， S 12 － S 8 成等差数列 ” ， 得到 猜想 “ 设等比数列 { b n } 的前 n 项积为 T n ，则 T 4 ， 成 等比数列 ” ； ③ 类比 “ 平面内，垂直于同一条直线的两直线相互平行 ” ，得到猜想 “ 空间中 ， 垂直 于同一条直线的两直线相互平行 ” ； ④ 类比 “ 设 AB 为圆的直径， P 为圆上任意一点，直线 PA ， PB 的斜率存在，则 k PA · k PB 为常数 ” ，得到猜想 “ 设 AB 为椭圆的长轴， P 为椭圆上任意一点，直线 PA ， PB 的斜率存在，则 k PA · k PB 为常数 ” . A. ①④ B . ①③ C . ②③ D . ②④ √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ④ 由圆中 k PA · k PB 为－ 1 ，而类比到椭圆： ① 类比 “ 实数的乘法运算满足结合律 ” ，得到猜想 “ 向量的数量积运算满足结合律 ” 不成立，即 a · b · c ≠ a ·( b · c ) ，这由向量数量积的定义决定的 . ③ 类比 “ 平面内，垂直于同一条直线的两直线相互平行 ” ，得到猜想 “ 空间中，垂直于同一条直线的两直线相互平行 ” 不成立，空间中可能出现相交，异面的情况 . 故选 B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 11. 图中的实心点个数 1,5,12,22 ， … ，被称为五角形数，其中第 1 个五角形数记作 a 1 ＝ 1 ，第 2 个五角形数记作 a 2 ＝ 5 ，第 3 个五角形数记作 a 3 ＝ 12 ， 第 4 个五角形数记作 a 4 ＝ 22 ， … ，若按此规律继续下去，则 a n ＝ ________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 由题观察所给的图形，对应的点分别为 1,1 ＋ 4,1 ＋ 4 ＋ 7,1 ＋ 4 ＋ 7 ＋ 10 ， … ，可得点的个数为首项为 1 ，公差为 3 的等差数列的和， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 12. 在 △ ABC 中， AD 平分 ∠ A 的内角且与对 边 BC 交于 D 点， 则 ， 将 命题类比到空间：在三棱锥 A － BCD 中，平面 ADE 平分二面角 B － AD － C 且与 对棱 BC 交于 E 点，则可得到的正确命题结论为 _________ _ _. 解析　 在 △ ABC 中，作 DE ⊥ AB ， DF ⊥ AC ，则 DE ＝ DF ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ________. 答案 解析 32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 S ＝ (log 2 2 － log 2 3) ＋ (log 2 3 － log 2 4) ＋ … ＋ [l og 2 n － log 2 ( n ＋ 1)] ＝ 1 － log 2 ( n ＋ 1) ，由 S ＜－ 4 ， 可得 1 － log 2 ( n ＋ 1) ＜－ 4 ⇒ log 2 ( n ＋ 1) ＞ 5 ，解得 n ＞ 31 ， 所以输出的 n 为 32 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14. 在平面上，如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有 c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 . 猜想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O － LMN ，如果用 S 1 ， S 2 ， S 3 表示三个侧面面积， S 4 表示截面面积，那么类比得到的结论是 ______________. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15. 复数 z ＝ ( m 2 ＋ 3 m － 4) ＋ ( m 2 － 10 m ＋ 9)i( m ∈ R ) ， (1) 当 m ＝ 0 时，求复数 z 的模； 解　 当 m ＝ 0 时， z ＝－ 4 ＋ 9i ， 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 (2) 当实数 m 为何值时，复数 z 为纯虚数； 即当 m ＝－ 4 时，复数 z 为纯虚数 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 (3) 当实数 m 为何值时，复数 z 在复平面内对应的点在第二象限？ 即当－ 4 ＜ m ＜ 1 时， 复数 z 在复平面内对应的点在第二象限 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(1)tan 10°tan 20° ＋ tan 20°tan 60° ＋ tan 60°tan 10° ＝ 1 ； (2)tan 5°tan 10° ＋ tan 10°tan 75° ＋ tan 75°tan 5° ＝ 1. 由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论 . 解答 解　 若 α ， β ， γ 都不是 90° ，且 α ＋ β ＋ γ ＝ 90° ，则 tan α tan β ＋ tan β tan γ ＋ tan α tan γ ＝ 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16