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- 2021-05-19 发布
通榆一中高二下学期第四次考试数学试卷（文科）
命题人 高二备课组
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1. 已知集合A={1,2}，B={a,a2,2}，若A∩B={1,2}，则实数a的值为( )
A. 1 B. -1 C. ±1 D. -2
2. 设i是虚数单位，复数z=|i|2-i，则复数z在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 若i(x+yi)=3+4i，x,y∈R，则复数x+yi的模是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 下列命题的说法正确的是( )
A. 命题“若sinα>sinβ，则α>β”的逆否命题是真命题
B. 命题“∀x≥0，均有2x≥x2”的否定为“∃x0≥0，使得2x0<x02”
C. 命题“p∧q”的否定是“¬p∧¬q”
D. 命题“若a>b，则a3>b3的否命题为“若a>b，则a3≤b3”
5. 若命题“存在x0∈R，使x2-2x-m⩽0”是假命题，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. [-1,1] D.
6. 若复数z=2i+21+i(其中i是虚数单位)，则复数z的共轭复数的模为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
7. 已知bn为等比数列，b5=2，则b1b2b3…b9=29.若an为等差数列，a5=2，则an的类似结论为( )
A. a1a2a3…a9=29 B. a1+a2+…+a9=29
C. a1a2a3…a9=2×9 D. a1+a2+…+a9=2×9
8. 下列推理正确的是( )
A. 如果不买彩票，那么就不能中奖．因为你买了彩票，所以你一定中奖
B. 因为a>b，a>c，所以a-b>a-c
C. 若a>0，b>0，则lga+lgb≥2lga·lgb
D. 若a>0，b<0，则ab+ba=--ab+-ba≤-2-ab·-ba=-2
9. 函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是( )
A. (-∞,-2) B. (-∞,-1) C. (1,+∞) D. (4,+∞)
10. 数列an的前项和为Snn∈N*，且a1=12,Sn=n2ann∈N*,，利用归纳推理，猜想an的通项公式为( )
A. an=2n-43n B. an=1nn+1n∈N*
C. an=12n D. an=2n
11. 已知a，b，c为正实数，则下列三个数a+1b，b+4c，c+9a( )
A. 都大于4 B. 都小于4
C. 至少有一个不大于4 D. 至少有一个不小于4
12. 已知∀x∈R，∃m∈R，使4x-2x+1+m=0成立，则m的取值范围是( )
A. (-∞,1] B. -∞,1 C. -∞,-1 D. -1,+∞
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 集合A={1,3，a2}，集合B={a+1,a+2}，若B∪A=A，则实数a=_________．
14. 函数y=(13)x2-1的值域是___
15. 函数y=x-1-x(x≥2)的值域为_____．
16. 已知函数f(x)=mx2+mx+1的定义域是一切实数，则m的取值范围是______________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.己知点P的极坐标为(2,π2)，曲线C的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ=1，曲线D的参数方程为，x=1+cosαy=sinα(α为参数).曲线C和曲线D相交于A,B两点．
(1)求点P的直角坐标;
(2)求曲线C的直角坐标方程和曲线D的普通方程;
(3)求ΔPAB的面枳S．
1. 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1、l2的极坐标方程分别为ρsin(θ+π6)=1，θ=2π3(ρ∈R)，设直线l1、l2的交点为M．(1)求点M的直角坐标；
(2)设过点M且倾斜角为π3的直线与圆x2+y2=7交于A、B两点，求1|MA|+1|MB|的值．
2. (1)在极坐标系中，过点P(2,π4)作曲线ρ=2cosθ的切线l，求直线l的极坐标方程．
(2)已知直线l：x=tcosα+my=tsinα(t为参数)恒经过椭圆C：x=5cosϕy=3sinϕ (j为参数)的右焦点F．
①求m的值；
②设直线l与椭圆C交于A，B两点，求FA⋅FB的最大值与最小值．
3. 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C:ρsin2θ=2acosθ(a>0)，过点P(-2,-4)的直线l:x=-2+22ty=-4+22t(t为参数)与曲线C相交于点M,N两点
(Ⅰ)求曲线C和直线l的普通方程;
(Ⅱ)若PM,MN,PN成等比数列，求实数a的值。
4. 柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析，得出下表数据：
x
4
5
7
8
y
2
3
5
6
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；
(3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数．
(相关公式：
b=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2,a=y-bx )
5. 为了调查某品牌饮料的某种食品添加剂是否超标，现对该品牌下的两种饮料一种是碳酸饮料(含二氧化碳)，另一种是果汁饮料(不含二氧化碳)进行检测，现随机抽取了碳酸饮料、果汁饮料各10瓶(均是500ml)组成的一个样本，进行了检测，得到了如下茎叶图.根据国家食品安全规定当该种添加剂的指标大于40(毫克/l)为偏高，反之即为正常．
(1)依据上述样本数据，完成下列2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为食品添加剂是否偏高与是否含二氧化碳有关系？
正常
偏高
合计
碳酸饮料
果汁饮料
合计
(2)现从食品添加剂偏高的样本中随机抽取2瓶饮料去做其它检测，求这两种饮料都被抽到的概率．
参考公式：K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d
参考数据：
PK2≥k0
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考答案
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了集合交集的运算，元素与集合的关系以及集合中元素性质运用，属于基础题．
根据A∩B={1,2}，得到1∈B，进而得到a=1或a2=1，再验证集合中元素的互异性即可求解．
【解答】
解：∵集合A={1,2}，B={a,a2,2}，且A∩B={1,2}，
∴1∈B，
∴a=1或a2=1，
①当a=1时，则a2=1，即B={1,1,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去，
②当a2=1时，a=±1，
由①知，当a=1时，不符合题意，当a=-1时，B={-1,1,2}，符合题意，
∴实数a的值为-1，
故选B．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查复数的四则运算，模以及复数的几何意义，属于基础题．
先通过四则运算，化简z，得到它对应点的坐标，即可得到答案．
【解答】
解：因为z=|i|2-i=12-i=2+i2-i2+i=25+15i，
所以复数z在复平面内对应的点为(25,15)，其位于第一象限．
故选A．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查复数的乘法运算以及复数的相等，考查复数的模，解题的关键是正确求得x，y的值．
由i(x+yi)=3+4i利用复数的乘法运算以及复数的相等可得x，y的值，进而求得x+yi的模．
【解答】
解：∵i(x+yi)=xi-y=3+4i，x，y∈R，
∴x=4，-y=3，即x=4，y=-3．
∴|x+yi|=|4-3i|=42+(-3)2=5．
故选D．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查命题的真假判断.根据四种命题及其关系，全称命题的否定，逐一判断即可．
【解答】
解：命题“若sinα>sinβ，则α>β为假命题，所以其逆否命题是假命题，A错误；
命题“∀x⩾0，均有2x≥x2”的否定为“∃x0⩾0，使得2x0<x02”， 正确；
命题“p∧q”的否定是“¬p∨¬q”，C错误；
命题“若a>b，则a3>b3”的否命题为“若a≤b，则a3≤b3” D错误．
故选B．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了命题真假的判断，以及不等式求解问题，考查了基本的分析和转化能力，属于基础题．
根据命题“存在x0∈R，使x2-2x-m⩽0”是假命题，即不等式x2-2x-m⩽0无解，转化为Δ=-22+4m<0即可求解．
【解答】
解：∵命题“存在x0∈R，使x2-2x-m⩽0”是假命题，
∴不等式x2-2x-m⩽0无解，
∴Δ=-22+4m<0，
解得m<-1，
∴实数m的取值范围是 ，
故选D．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查复数的运算，以及共轭复数，复数的模，属于基础题．
由复数的四则运算法则进行计算求得z，由共轭复数的定义以及复数的模的定义可得答案．
【解答】
解：z=2i+21-i1+i1-i=2i+(1-i)=1+i，
∴z=1-i，
∴|z|=2．
故选B．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查合情推理(归纳、类比推理)及等差等比数列的性质，由题可得a1+a2+…+a9=2×9．
【解答】
解：等比数列对应的是乘积，则等差数列对应的是和．
∵在等比数列{bn}中，b1b9=b2b8=b3b7=b4b6=b52=22，
∴b1b2…=29，
而在等差数列{an}中，a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5=2×2，
∴a1+a2+…+a9=2×9．
故选D．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，逐项判断即可，注意均值定理的合理运用，属基础题．
【解答】
解：如果不买彩票，那么就不能中奖．
即使你买了彩票，你也不一定中奖，故A错误；
因为a>b，a>c，但是a-b不一定大于a-c，故B错误；
因为lga+lgb≥2lga⋅lgb成立的条件是a>1，b>1，故C错误；
若a>0，b<0，则ba<0,ab<0，
则由均值定理，ab+ba=--ab+-ba≤-2-ab⋅-ba=-2，
故D正确．
故选D．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了复合函数的单调性的求法，属于基础题．
可令t=x2-2x-8(x>4或x<-2)，则y=lgt，由二次函数和对数函数的单调性，以及复合函数的单调性：同增异减，即可得到所求单调区间．
【解答】
解：函数f(x)=lg(x2-2x-8)，
可令t=x2-2x-8(x>4或x<-2)，
则y=lgt，由t=x2-2x-8在(-∞,-2)递减，(4,+∞)递增；
y=lgt在(0,+∞)递增，
可得函数f(x)=lg(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+∞)．
故选D．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查数列的递推关系及归纳推理，首先根据数列的递推关系得到数列的前几项，分析归纳出数列的通项公式，属基础题．
【解答】
解：由题意可知a1=12,Sn=n2ann∈N*,
所以a1+a2=4a2，即a2=16，
a1+a2+a3=9a3，即a3=112，
a1+a2+a3+a4=16a4，即a4=120，
通过分析前四项即可归纳出：an=1nn+1．
故选B．
11.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查用反证法证明不等式，基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于中档题．
把这三个数的和变形为a+9a+b+1b+c+4c，利用基本不等式可得三个数的和大于或等于12，从而得到这三个数中， 至少有一个不小于4.
【解答】
解：∵a，b，c都是正数，
故这三个数的和a+1b+b+4c+c+9a= a+9a+b+1b+c+4c≥6+2+4=12．
当且仅当a=3，b=1，c=2时，等号成立．
故三个数a+1b，b+4c，c+9a中，至少有一个不小于4(否则这三个数的和小于12)．
故选D．
12.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查理解和转化能力，属于中档题．
解答本题的关键在于将问题进行转化，即转化为两函数的图象有公共点的问题处理，并进一步转化为求函数的值域的问题求解.由题意得方程m=-4x+2x+1有解，进而转化为函数y=m和函数y=-4x+2x+1的图象有公共点，利用换元法求出函数y=-4x+2x+1的值域即为所求的范围．
【解答】
解：∵∀x∈R，∃m∈R，使4x-2x+1+m=0成立，∴方程m=2x+1-4x有解，
∴函数y=m和函数y=-4x+2x+1的图象有公共点．令t=2x(t>0)，则y=-t2+2t=-(t-1)2+1≤1，
∴函数y=-4x+2x+1的值域为(-∞,1],∴实数m的取值范围是(-∞,1]．
故选A．
13.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查元素的互异性及集合间的关系，注意解题时要验证互异性，属于基础题．
若B∪A=A，则B⊑A，根据集合中元素的关系求解，注意最后根据集合中元素的互异性进行验证．
【解答】
解：若B∪A=A，则B⊑A，
所以若a+1=1，a+2=3，则无解，
若a+1=1，a+2=a2，则无解，
若a+1=3，a+2=1，则无解，
若a+1=3，a+2=a2，则a=2，经检验符合题意，
若a+1=a2，a+2=1，则无解，
若a+1=a2，a+2=3，则无解．
综上，a=2．
故答案为2．
14.【答案】(0,3]
【解析】【分析】
本题考查求复合函数的值域，涉及指数函数与二次函数的性质的应用，属于基础题目．
先由二次函数的性质得出指数的取值范围，再由指数函数的性质得出函数的值域即可．
【解答】
解：由二次函数的性质可得函数u=x2-1≥-1，
由指数函数的性质可知函数y=(13)u为减函数，
∴(13)x2-1≤(13)-1=3，
故函数y=(13)x2-1的值域为(0,3]．
故答案为(0,3]．
15.【答案】(-∞,1]
【解析】【分析】
本题主要考查了利用换元法求函数的值域，二次函数的性质，属于基础题．
设t=x-1，t⩾1，利用换元法和二次函数的性质求得原函数的值域．
【解答】
解：因为函数y=x-1-x(x≥2)
所以设t=x-1，t⩾1，
则x=t2+1，
则y=t-t2+1=-t-122-34，
则函数在[1,+∞)上单调递减，
则当t=1时，ymax=-14-34=-1，
则函数的值域为(-∞,-1]．
故答案为(-∞,-1]．
16.【答案】[0,4]
【解析】【分析】
本题考查二次函数的性质，涉及函数的定义域和不等式恒成立问题，属于中档题．
问题等价于mx2+mx+1≥0对一切x∈R恒成立，分m=0，和m≠0两种情况讨论．
【解答】
解：∵函数f(x)=mx2+mx+1的定义域是一切实数，
∴mx2+mx+1≥0对一切x∈R恒成立，
当m=0时，上式变为1>0，恒成立，
当m≠0时，必有m>0 △=m2-4m≤0，解之可得00)，
转化成直角坐标方程为：y2=2ax，
直线l的参数方程为x=-2+22ty=-4+22t(t为参数)，
转化成直角坐标方程为：x-y-2=0；
(Ⅱ)将直线的参数方程x=-2+22ty=-4+22t(t为参数)，代入y2=2ax得到：
t2-22 (4+a)t+8(4+a)=0，
设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，则有t1+t2=22(4+a)，t1t2=32+8a，
∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，
∴|MN|2=|PM|⋅|PN|，
∴(t1-t2)2=(t1+t2)2-4t1⋅t2=t1⋅t2，
∴8(4+a)2-4×8(4+a)=8(4+a)，
解得a=1．
【解析】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与直角坐标方程的互化、根和系数的关系建立方程组求解及等比数列的应用，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．
(Ⅰ)直接利用关系式把极坐标方程转化成直角坐标方程；
(Ⅱ)利用参数方程和抛物线方程建立成关于t的一元二次方程组，利用根和系数的关系求出两根和与两根积，进一步利用等比数列进一步求出a的值．
21.【答案】解：(1)散点图如图所示．
(2)由已知数据计算可得i=14xiyi=4×2+5×3+7×5+8×6=106，
x=4+5+7+84=6，y=2+3+5+64=4，
i=14xi2=42+52+72+82=154，
则b=i=14xiyi-4xyi=14xi2-4x2=106-4×6×4154-4×62=1，
a=y-bx=4-6=-2，
故线性回归方程为y=x-2.
(3)由回归直线方程，令x=9，则y=7，
则可以预测，燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7.
【解析】本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是利用公式求出最小二乘法下线性回归方程的系数，属于中档题．
(1)由表中数据，直接描点即可．
(2)根据公式计算线性回归方程的系数．
(3)由回归直线方程预测，燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7．
22.【答案】解：(1)由茎叶图可得二维列联表
正常
偏高
合计
碳酸饮料
9
1
10
果汁饮料
5
5
10
合计
14
6
20
K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=20×(9×5-5×1)10×10×14×6≈3.810>2.706，
所以能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为食品添加剂是否偏高与是否含二氧化碳有关系．
(2)由茎叶图知食品添加剂偏高的样本中碳酸饮料1瓶，果汁饮料5瓶设碳酸饮料为a，果汁饮料b1，b2，b3，b4，b5，
从这6瓶中选2瓶的所有不同选法为(a,b1)，(a,b2)，(a,b3)，(a,b4)，
(a,b5)(b1,b2)，(b1,b3)，(b1,b4)，(b1,b5)(b2,b3)，(b2,b4)，
(b2,b5)(b3,b4)，(b3,b5)(b4,b5) 共15种不同选法．
其中两种饮料都被抽到的不同选法为(a,b1)，(a,b2)，(a,b3)，(a,b4)，
(a,b5)，共5种不同选法，
故所求概率为P=515=13．
【解析】本题主要考查了独立性检验和古典概型的计算与应用，属于中档题。
(1)由茎叶图正确画出二维列联表，再计算k2≈3.810>2.706的值，最后做出总结；
(2)由茎叶图知食品添加剂偏高的样本中碳酸饮料1瓶，果汁饮料5瓶设碳酸饮料为a，果汁饮料b1，b2，b3，b4，b5，从这6瓶中选2瓶的所有不同选法有15种，其中两种饮料都被抽到的不同选法有5种，两数之比即为概率．