2019届二轮复习第2讲　数列的通项与求和课件（35张）（全国通用） 35页

第 2 讲　数列的通项与求和 高考定位　 高考对本内容的考查主要有： (1) 数列的通项公式求法，常在解答题的第 (1) 问出现，难度中档以下； (2) 求数列的前 n 项和的几种方法，一般两种题型都有涉及，是数列命题的重点 . 真 题 感 悟 2. (2018· 江苏卷 ) 已知集合 A ＝ { x | x ＝ 2 n － 1 ， n ∈ N * } ， B ＝ { x | x ＝ 2 n ， n ∈ N * }. 将 A ∪ B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 { a n }. 记 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和，则使得 S n >12 a n ＋ 1 成立的 n 的最小值为 ________. 1. 求通项公式的常见类型 考 点 整 合 2. 数列求和 热点一　数列的通项公式 [ 考法 1] 　由 S n 与 a n 的关系求 a n 【例 1 － 1 】 (1) (2018· 全国 Ⅰ 卷 ) 记 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和 . 若 S n ＝ 2 a n ＋ 1 ，则 S 6 ＝ ________. (2) 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，已知 a 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ 2 ，且 a n ＋ 2 ＝ 3 S n － S n ＋ 1 ＋ 3, n ∈ N * . 证明： a n ＋ 2 ＝ 3 a n ，并求 a n . 解　 由条件，对任意 n ∈ N * ，有 a n ＋ 2 ＝ 3 S n － S n ＋ 1 ＋ 3 ， 因而对任意 n ∈ N * ， n ≥ 2 ，有 a n ＋ 1 ＝ 3 S n － 1 － S n ＋ 3. 两式相减，得 a n ＋ 2 － a n ＋ 1 ＝ 3 a n － a n ＋ 1 ，即 a n ＋ 2 ＝ 3 a n ， n ≥ 2. 又 a 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ 2 ， 所以 a 3 ＝ 3 S 1 － S 2 ＋ 3 ＝ 3 a 1 － ( a 1 ＋ a 2 ) ＋ 3 ＝ 3 a 1 ，故对一切 n ∈ N * ， a n ＋ 2 ＝ 3 a n . 探究提高 　 给出 S n 与 a n 的递推关系求 a n ，常用思路是：一是利用 S n － S n － 1 ＝ a n ( n ≥ 2) 转化为 a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 S n 的递推关系，先求出 S n 与 n 之间的关系，再求 a n . [ 考法 2] 　已知 a n 与 a n ＋ 1 的递推关系式求 a n 探究提高 　 (1) 形如 a n ＋ 1 － a n ＝ f ( n ) ，其中 f ( n ) ＝ k 或多项式 ( 一般不高于三次 ) ，用累加法即可求得数列的通项公式； (2) 形如 a n ＋ 1 ＝ a n · f ( n ) ，可用累乘法； (3) 形如 a n ＋ 1 ＝ pa n ＋ q ( p ≠ 1 ， q ≠ 0) ，可构造一个新的等比数列； (4) 形如 a n ＋ 1 ＝ qa n ＋ q n ( q 为常数，且 q ≠ 0 ， q ≠ ±1) ，解决方法是在递推公式两边同除以 q n ＋ 1 . 【训练 1 】 (1) (2017· 南京、盐城调研 ) 在数列 { a n } 中，已知 a 1 ＝ 1 ， a n ＋ 1 ＝ 2 a n ＋ 1 ，则其通项公式 a n ＝ ________. (2) (2018· 盐城三模 ) 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S n ＝ 2 a n ＋ n ( n ∈ N * ) ，则数列 { a n } 的通项公式 a n ＝ ________. 解析　 (1) 由题意知 a n ＋ 1 ＋ 1 ＝ 2( a n ＋ 1) ， ∴ 数列 { a n ＋ 1} 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列， ∴ a n ＋ 1 ＝ 2 n ， ∴ a n ＝ 2 n － 1. 热点二　数列的求和问题 [ 考法 1] 　分组转化法求和 【例 2 － 1 】 (2017· 南京高三月考 ) 已知等差数列 { a n } 的首项 a 1 ＝ 2 ，前 n 项和为 S n ，等比数列 { b n } 的首项 b 1 ＝ 1 ，且 a 2 ＝ b 3 ， S 3 ＝ 6 b 2 ， n ∈ N * . (1) 求数列 { a n } 和 { b n } 的通项公式； (2) 数列 { c n } 满足 c n ＝ b n ＋ ( － 1) n a n ，记数列 { c n } 的前 n 项和为 T n ，求 T n . ∴ a n ＝ 2 ＋ ( n － 1) × 2 ＝ 2 n ， b n ＝ 2 n － 1 . 探究提高　 1. 在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想 . 把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和 . 在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数 n 进行讨论 . 最后再验证是否可以合并为一个表达式 . 2. 分组求和的策略： (1) 根据等差、等比数列分组； (2) 根据正号、负号分组 . 探究提高 　 1. 裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项 . 2. 消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项 . [ 考法 3] 　错位相减法求和 【例 2 － 3 】 已知 { a n } 为等差数列，前 n 项和为 S n ( n ∈ N * ) ， { b n } 是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0 ， b 2 ＋ b 3 ＝ 12 ， b 3 ＝ a 4 － 2 a 1 ， S 11 ＝ 11 b 4 . (1) 求 { a n } 和 { b n } 的通项公式； (2) 求数列 { a 2 n b n } 的前 n 项和 ( n ∈ N * ). 联立 ①② ，解得 a 1 ＝ 1 ， d ＝ 3 ，由此可得 a n ＝ 3 n － 2. 所以 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 3 n － 2 ， { b n } 的通项公式为 b n ＝ 2 n . (2) 设数列 { a 2 n b n } 的前 n 项和为 T n ， 由 a 2 n ＝ 6 n － 2 ， b n ＝ 2 n ，有 T n ＝ 4 × 2 ＋ 10 × 2 2 ＋ 16 × 2 3 ＋ … ＋ (6 n － 2) × 2 n ， 2 T n ＝ 4 × 2 2 ＋ 10 × 2 3 ＋ 16 × 2 4 ＋ … ＋ (6 n － 8) × 2 n ＋ (6 n － 2) × 2 n ＋ 1 ， 探究提高　 1. 一般地，如果数列 { a n } 是等差数列， { b n } 是等比数列，求数列 { a n · b n } 的前 n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列 { b n } 的公比，然后作差求解 . 2. 在写 “ S n ” 与 “ qS n ” 的表达式时应特别注意将两式 “ 错项对齐 ” ，以便下一步准确地写出 “ S n － qS n ” 的表达式 . 【训练 2 】 (2018· 浙江卷 ) 已知等比数列 { a n } 的公比 q >1 ，且 a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ＝ 28 ， a 4 ＋ 2 是 a 3 ， a 5 的等差中项 . 数列 { b n } 满足 b 1 ＝ 1 ，数列 {( b n ＋ 1 － b n ) a n } 的前 n 项和为 2 n 2 ＋ n . (1) 求 q 的值； (2) 求数列 { b n } 的通项公式 . (2) 设 c n ＝ ( b n ＋ 1 － b n ) a n ，数列 { c n } 前 n 项和为 S n . 1. 数列的通项公式的求法主要利用 a n 与 S n 的关系和递推公式，在应用 S n 求 a n 的过程中要注意 n ＝ 1 和 n ≥ 2 的讨论 . 2. 错位相减法的关注点 (1) 适用题型：等差数列 { a n } 乘以等比数列 { b n } 对应项得到的数列 { a n · b n } 的求和 . (2) 步骤： ① 求和时先乘以数列 { b n } 的公比 . ② 把两个和的形式错位相减 . ③ 整理结果形式 . 3. 裂项求和的常见技巧