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- 2021-05-19 发布
第06节 正弦定理和余弦定理
【考纲解读】
考 点
考纲内容
5年统计
分析预测
正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理及其应用
2013浙江文18；
2014浙江文18；理10，18；
2015浙江文16；理16；
2016浙江文16；理16；
2017浙江14.
1.正弦定理或余弦定理独立命题；
2.正弦定理与余弦定理综合命题；
3.与三角函数的变换结合命题.
4.备考重点：
(1) 掌握正弦定理、余弦定理；
(2) 掌握几种常见题型的解法.
【知识清单】
1.正弦定理
正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题．
面积公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B
对点练习：
【2017浙江省高考模拟】在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，，则________，__________.
【答案】，.
2. 余弦定理
余弦定理： ， ， .
变形公式cos A＝，cos B＝，os C＝
3. 正弦定理与余弦定理的综合运用
应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．
对点练习：
【2017浙江湖州、衢州、丽水三市4月联考】在中，内角所对的边分别是
若， ，A=60°，则__________， 的面积S=__________．
【答案】 1或2 或
【考点深度剖析】
高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．
【重点难点突破】
考点1 正弦定理
【1-1】【2018届河南省新乡市第一中学8月】在中，内角的对边分别为， ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ,故选A .
【1-2】【2017浙江台州上学期】已知在错误！未找到引用源。中，内角错误！未找到引用源。的对边分别为错误！未找到引用源。且错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。的面积为__________．
【答案】错误！未找到引用源。
【1-3】在中，角的对边分别为，若角依次成等差数列，且，，则 .
【答案】
∴.
【领悟技法】
已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．
已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．
已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＜bsin A
a＝bsin A
bsin A＜a＜b
a≥b
a＞b
a≤b
解的个数
无解
一解
两解
一解
一解
无解
【触类旁通】
【变式1】【2018届安徽合肥一中、马鞍山二中等六校第一次联考】在中，角的对边分别为.已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由得，由正弦定理，所以，
故选A.
【变式2】在中，已知，
，则为（ ）
A.等边三角形 B.等腰直角三角形
C.锐角非等边三角形 D.钝角三角形
【答案】B
又，
，
，
，
，，，
，所以是等腰直角三角形.
考点2 余弦定理
【 2-1】【2018届安徽合肥调研】在中，角对应的边分别为， ，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由余弦定理得，即，故，应选答案A.
【2-2】中，角所对的边分别为．若，则边（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【2-3】【2017浙江温州二模】在错误！未找到引用源。中，内角错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。的对边分别为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。若错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。_______，错误！未找到引用源。的面积错误！未找到引用源。_______．
【答案】错误！未找到引用源。
【解析】由余弦定理可得错误！未找到引用源。；由三角形的面积公式可得错误！未找到引用源。，应填答案 错误！未找到引用源。 和 错误！未找到引用源。.
【领悟技法】
已知三边，由余弦定理求，再由求角，在有解时只有一解.
已知两边和夹角，余弦定理求出对对边.
【触类旁通】
【变式1】在中，内角所对应的边分别为，若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 由可得；由及余弦定理可得，所以，所以．
【变式2】各角的对应边分别为，满足，则角的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，整理得，由余弦定理得，.
考点3 正弦定理与余弦定理的综合运用
【3-1】在中，三内角，，的对边分别为，，且，，为的面积，则的最大值为（ ）
（A）1 （B） （C） （D）
【答案】C
【3-2】【2018届广东省阳春市第一中学上学期第一次月考】在中，内角的对边分别为，且．
（1）求；
（2）若，求．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）由正弦定理将边化为角得，即得．再根据三角形内角范围得．（2）由正弦定理将角化为边得，再根据余弦定理得，解方程组可得．
（2）由及正弦定理，得，①
由余弦定理得，
即，②
由①②，解得．
【3-3】【2017届浙江嘉兴测试】在中，内角所对的边分别为，已知．
（1）求角的大小；
（2）若的面积，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）由正弦定理，将条件中的边化成角，可得，进而可得的值；（2）由三角形面积公式可得，再由余弦定理可得，得最后结论．
试题解析：（1），又∴
又 得
（2）由， ∴
又
得， ∴ 得.
【领悟技法】
依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：
(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
[注意] 在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形．如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意A，B，C
的范围对三角函数值的影响．
提醒：1．在△ABC中有如下结论sin A＞sin B⇔a＞b.
2．当b2＋c2－a2＞0时，角A为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；
当b2＋c2－a2＝0时，角A为直角，三角形为直角三角形；
当b2＋c2－a2＜0时，角A为钝角，三角形为钝角三角形．
【触类旁通】
【变式1】在中，内角所对的边分别是.已知，，则的值为_______.
【答案】
【变式2】【2018届河南省名校联盟第一次段考】锐角错误！未找到引用源。的内角错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。的对边分别为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，已知错误！未找到引用源。的外接圆半径为错误！未找到引用源。，且满足错误！未找到引用源。.
（1）求角错误！未找到引用源。的大小；
（2）若错误！未找到引用源。，求错误！未找到引用源。周长的最大值.
【答案】（1）错误！未找到引用源。；（2）当错误！未找到引用源。为正三角形时，错误！未找到引用源。周长的最大值为6.
【解析】试题分析：（1）根据已知条件，由正弦定理，求出角错误！未找到引用源。；（2）由余弦定理和基本不等式求出错误！未找到引用源。，再求出周长的最大值。
试题解析：（1）由正弦定理，得错误！未找到引用源。，
再结合错误！未找到引用源。，得错误！未找到引用源。，
解得错误！未找到引用源。，由错误！未找到引用源。为锐角三角形，得错误！未找到引用源。.
故当错误！未找到引用源。为正三角形时，错误！未找到引用源。周长的最大值为6.
【易错试题常警惕】
易错典例：在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝，b＝，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．
易错分析：忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根．
正确解析：∵在△ABC中，cos(B＋C)＝－cos A，
又∵1＋2cos(B＋C)＝0，∴1－2cos A＝0，∴A＝.
在△ABC中，根据正弦定理＝，得sin B＝＝.
∴B＝或.
∵a＞b，∴B＝.
温馨提醒：应用正弦定理解三角形，最易出现的错误，就是角的增解问题.解题过程中应特别注意，一般要注意利用“大边对大角”结合已知角确定取舍.
【学科素养提升之思想方法篇】
数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想
我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.
向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.
【典例】【2017云南昆明二测】在平面四边形中， 的面积为.
（1）求的长；
（2）求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：
试题解析：
(2)由，得，所以，又
所以.