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- 2021-05-19 发布
证明不等式的基本方法
[必备知识]
考点1 比较法
比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种．
名称
作差比较法
作商比较法
理论依据
a>b⇔a－b>0
a0，>1⇒a>b
b<0，>1⇒a1，则x＋2y>x－y.( )
3.|a＋b|＋|a－b|≥|2a|.( )
4.若实数x、y适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.( )
二、小题快练
1.[2017·温州模拟]若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )
A.< B．a2>b2
C.> D．a|c|>b|c|
2.[课本改编]不等式：①x2＋3>3x；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③＋≥2，其中恒成立的是( )
A.①③ B．②③
C．①②③ D．①②
3.[2017·南通模拟]若|a－c|<|b|，则下列不等式中正确的是( )
A.ac－b
C.|a|>|b|－|c| D．|a|<|b|＋|c|
4.已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．
考向 比较法证明不等式
例1 [2016·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)<2的解集．
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.
【变式训练1】 [2017·福建模拟]已知函数f(x)＝|x＋1|.
(1)求不等式f(x)<|2x＋1|－1的解集M；
(2)设a，b∈M，证明：f(ab)>f(a)－f(－b)．
考向 用综合法与分析法证明不等式
例2 [2015·全国卷Ⅱ]设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：
(1)若ab>cd，则＋>＋；
(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．
【变式训练2】 柯西不等式是大数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，柯西不等式是指：对任意实数ai，bi(i＝1,2，…，n)，有(a1b1＋a2b2＋…anbn)2≤(a＋a＋…a)(b＋b＋…b)，当且仅当ai＝ bi(i＝1,2，…n)时，等号成立．
(1)证明当n＝2时的柯西不等式；
(2)设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，求的最小值．
考向 反证法证明不等式
例3 [2015·湖南高考]设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：
(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
【变式训练3】 法国数学家阿达玛说过“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”．这是对反证法精辟的概括．试用反证法证明命题：若a，b，c都是正数，则a＋，b＋，c＋中至少有一个不小于2.