2018届二轮复习（文）专题三第2讲　数列的求和及综合应用课件（全国通用） 41页

第 2 讲　数列的求和及综合应用 高考定位　 1. 高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下； 2. 在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透 . 真 题 感 悟 考 点 整 合 2. 数列与函数、不等式的交汇 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出 S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化 . 数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题、不等关系或恒成立问题 . 热点一　数列的求和问题 命题角度 1 　分组转化求和 探究提高　 1. 在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想 . 把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和 . 在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数 n 进行讨论 . 最后再验证是否可以合并为一个表达式 . 2. 分组求和的策略： (1) 根据等差、等比数列分组； (2) 根据正号、负号分组 . 探究提高 　 1. 裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项 . 2. 消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项 . 命题角度 3 　错位相减求和 【例 1 － 3 】 (2017· 天津卷 ) 已知 { a n } 为等差数列，前 n 项和为 S n ( n ∈ N * ) ， { b n } 是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0 ， b 2 ＋ b 3 ＝ 12 ， b 3 ＝ a 4 － 2 a 1 ， S 11 ＝ 11 b 4 . (1) 求 { a n } 和 { b n } 的通项公式； (2) 求数列 { a 2 n b n } 的前 n 项和 ( n ∈ N * ). 解　 (1) 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，等比数列 { b n } 的公比为 q ， 由已知 b 2 ＋ b 3 ＝ 12 ，得 b 1 ( q ＋ q 2 ) ＝ 12 ， 而 b 1 ＝ 2 ，所以 q 2 ＋ q － 6 ＝ 0 ， 又因为 q >0 ，解得 q ＝ 2 ，所以 b n ＝ 2 n . 由 b 3 ＝ a 4 － 2 a 1 ，可得 3 d － a 1 ＝ 8 ， ① 由 S 11 ＝ 11 b 4 ，可得 a 1 ＋ 5 d ＝ 16 ， ② 联立 ①② ，解得 a 1 ＝ 1 ， d ＝ 3 ，由此可得 a n ＝ 3 n － 2. 所以 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 3 n － 2 ， { b n } 的通项公式为 b n ＝ 2 n . 探究提高　 1. 一般地，如果数列 { a n } 是等差数列， { b n } 是等比数列，求数列 { a n · b n } 的前 n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列 { b n } 的公比，然后作差求解 . 2. 在写 “ S n ” 与 “ qS n ” 的表达式时应特别注意将两式 “ 错项对齐 ” ，以便下一步准确地写出 “ S n － qS n ” 的表达式 . 【训练 2 】 (2017· 衡阳模拟 ) 已知等差数列 { a n } 满足： a n ＋ 1 > a n ( n ∈ N * ) ， a 1 ＝ 1 ，该数列的前三项分别加上 1 ， 1 ， 3 后成等比数列，且 a n ＋ 2log 2 b n ＝－ 1. (1) 求数列 { a n } ， { b n } 的通项公式； (2) 求数列 { a n · b n } 的前 n 项和 T n . 探究提高　 1. 给出 S n 与 a n 的递推关系求 a n ，常用思路是：一是利用 S n － S n － 1 ＝ a n ( n ≥ 2) 转化为 a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 S n 的递推关系，先求出 S n 与 n 之间的关系，再求 a n . 2. 形如 a n ＋ 1 ＝ pa n ＋ q ( p ≠ 1 ， q ≠ 0) ，可构造一个新的等比数列 . 热点三　数列与函数、不等式的综合问题 【例 3 】 (2017· 惠州三调 ) 在数列 { a n } 中，点 ( a n ， a n ＋ 1 ) 在直线 y ＝ x ＋ 2 上，且首项 a 1 ＝ 1. (1) 求数列 { a n } 的通项公式； (2) 数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，等比数列 { b n } 中， b 1 ＝ a 1 ， b 2 ＝ a 2 ，数列 { b n } 的前 n 项和为 T n ，请写出适合条件 T n ≤ S n 的所有 n 的值 . 解　 (1) ∵ 点 ( a n ， a n ＋ 1 ) 在直线 y ＝ x ＋ 2 上，且 a 1 ＝ 1. ∴ a n ＋ 1 ＝ a n ＋ 2 则 a n ＋ 1 － a n ＝ 2 ， 因此数列 { a n } 是公差为 2 ，首项为 1 的等差数列 . ∴ a n ＝ 1 ＋ 2( n － 1) ＝ 2 n － 1. 探究提高 　 1. 求解数列与函数交汇问题注意两点： (1) 数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集 ( 或它的有限子集 ) ，在求数列最值或不等关系时要特别重视； (2) 解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件 . 2. 数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理 . 1. 错位相减法的关注点 (1) 适用题型：等差数列 { a n } 乘以等比数列 { b n } 对应项得到的数列 { a n · b n } 求和 . (2) 步骤： ① 求和时先乘以数列 { b n } 的公比 . ② 把两个和的形式错位相减 . ③ 整理结果形式 . 2. 裂项求和的常见技巧 3. 数列与不等式综合问题 (1) 如果是证明不等式，常转化为数列和的最值问题，同时要注意比较法、放缩法、基本不等式的应用； (2) 如果是解不等式，注意因式分解的应用 .