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- 2021-05-19 发布
数学试卷（文科）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前考生务必将自
己的姓名、考号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，只需将答题卡上交.
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.已知全集 ，集合 ， ，则如图所示阴影区域表示的集合为
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出 ，阴影区域表示的集合为 ，由此能求出结果．
【详解】 全集 3，5， ，集合 ， ，
3， ，
如图所示阴影区域表示的集合为：
．
{1,3,5,7}U = {1,3}A = {3,5}B =
{3} {7}
{3,7} {1,3,5}
A B∪ ( )U A B∪
{1,U = 7} { }1,3A = { }3,5B =
{1,A B∴ ∪ = 5}
∴
( ) { }7U A B∪ =
故选 B．
【点睛】本题考查集合的求法，考查并集、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，
考查集合思想，是中等题．
2.已知复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先通过复数的乘法运算化简复数，再根据模的求法求解.
【详解】因为 ，
，
所以 .
【点睛】本题主要考查复数的运算和复数模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
3.已知函数 ，则 的值是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
根据分段函数的解析式，求得 ，进而求解 的值，得到答案．
【详解】 ，则 ，
又 ，则 ，
故答案选 C
【点睛】本题考查分段函数求值，对于多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自
变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解．
【
2019 (1 )z i i= ⋅ − z =
2 2− 1−
2019 2 1009(1 ) ( ) (1 )z i i i i i= ⋅ − = × × −
(1 )i i= − ⋅ − 1 i= − −
2z =
( ) ( )
( )2log 0
3 0x
x xf x x
>= ≤
1
4f f
9 9− 1
9
1
9
−
1( ) 24f = − 1
4f f
1 04
> 2
1 1( ) log 24 4f = = −
2 0− <
21 1= ( 2) 34 9f f f − − = =
4.已知等比数列 的各项均为正数，前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A. 10 B. 16 C. 30 D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为 q，根据 ，求出公比，再结合 求解.
【详解】设等比数列 公比为 q，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
解得 或 （舍去），
所以 .
故选：B
【点睛】本题主要考查等比数列的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
5.已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数
学计算等数学素养．先由 得出向量 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角
公式即可计算出向量夹角．
【 详 解 】 因 为 ， 所 以 =0 ， 所 以 ， 所 以 =
，所以 与 的夹角为 ，故选 B．
【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式
的
{ }na n nS 2 6 4 42, S 6a S a= − = 5a =
6 4 46S S a− = 2 2a =
2 6 4 42, S 6a S a= − =
4 3 2
2 2 26a q a q a q+ =
2 6 0q q+ − =
2q = 3q = −
3 3
5 2 2 2 16a a q= = × =
a b ， 2a b = ba b ⊥ （ – ） a b
π
6
π
3
2π
3
5π
6
( )a b b− ⊥ ,a b
( )a b b− ⊥ 2
( )a b b a b b− ⋅ = ⋅ − 2
a b b⋅ = cosθ
2
2
| | 1
22 | |
a b b
ba b
⋅ = =
⋅
a b
3
π
求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为 ．
6.已知命题 ： ， ，则 为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案.
【详解】 全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题 ： ， ，
.
故选： .
【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.
7.已知 ，则 为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：先求出 的值，再把 变形为 ，再利用差角的余
弦公式展开化简即得 的值.
详解：∵ ，
∴90°＜ ＜180°，
∴ =- ，
∵c = ,
∴c =- × ，
故选 D.
点睛：三角恒等变形要注意“三看（看角看名看式）”和“三变（变角变名变式）”，
[0, ]π
P x R∀ ∈ sin 1x ≤ p¬
0x R∃ ∈ 0sin 1x ≥ x R∀ ∈ sin 1x≥
0x R∃ ∈ 0sin 1x > x R∀ ∈ sin 1x >
P x R∀ ∈ sin 1x ≤
0 0: ,sin 1p x R x∴¬ ∃ ∈ >
C
( ) 3sin 30 ,60 1505
α α°+ = ° < < ° cosα
3 10
10
3 10
10
− 4 3 3
10
− 3 4 3
10
−
( )cos 30 α°+ cosα 0 0cos[(30 ) 30 ]α+ −
cosα
60 150α° < < °
30 α°+
( )cos 30 α°+ 4
5
osα 0 0cos[(30 ) 30 ]α+ −
osα 4
5
3 3 1 3 4 3
2 5 2 10
−+ × =
本题主要利用了看角变角， ，把未知的角向已知的角转化,从而完
成解题目标.
8.执行如图所示的程序框图，若输出的 ，则判断框内应填入（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据程序框图的功能，一一循环，直至 ，终止循环，得到终止条件.
【详解】程序框图执行过程如下：
，
，
，
，
输出 ，则终止条件为 ，
故选：C
【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
0 0(30 ) 30α α= + −
1
3S =
6?i < 7?i < 4?i < 9?i <
1
3S =
2, 1S i= =
1 2 3, 1 1 21 2S i
+= = − = + =−
1 3 1 , 2 1 31 3 2S i
−= = − = + =+
11 12 , 3 1 41 31 2
S i
−
= = = + =
+
1
3S = 4?i <
9.某高中篮球社团计划招入女生 人，男生 人，若实数 满足约束条件 ，则
该社团今年计划招入学生人数最多为（ ）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】
根据实数 满足约束条件 ，画出可行域，将目标函数 ，转化为
，平移直线 ，当直线在 y 轴上截距最大时，目标函数取得最大值.
详解】由实数 满足约束条件 ，画出可行域如图所示阴影部分：
将目标函数 ，转化为 ，平移直线 ，当直线在 y 轴上截距最大时，
经过点 ，此时，目标函数取得最大值，最大值为 13.
故选：B
【
x y ,x y
2 5
2
6
x y
x y
x
− ≥
− ≤
≤
,x y
2 5
2
6
x y
x y
x
x N
y N
− ≥
− ≤ ≤
∈
∈
z x y= +
y x z= − + y x= −
,x y
2 5
2
6
x y
x y
x
x N
y N
− ≥
− ≤ ≤
∈
∈
z x y= + y x z= − + y x= −
( )6,7A
【点睛】本题主要考查简单线性规划求最值，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.
10.要得到函数 的图像，只需要将函数 的图像（ ）
A. 向右平移 个单位长度 B. 向左平移 个单位长度
C. 向右平移 个单位长度 D. 向左平移 个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】
先将函数 ，转化为 ，再利用平移变换求解.
【详解】因为 ，
所以只需要将函数 的图像向左平移 个单位长度得到函数 的
图像.
故选：D
【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换，还考查了转化问题的能力，属于基础题.
11.已知 ， ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：∵ ，∴ ∴ ， ， ∴ . 选
.
考点：利用函数图像比较大小.
12.在下列区间中，函数 的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
sin(2 )6y x
π= + sin(2 )6y x
π= −
3
π
3
π
6
π
6
π
sin(2 )6y x
π= + sin 2 6 6y x
π π = + −
sin(2 ) sin 26 6 6y x x
ππ π = + = + −
sin(2 )6y x
π= −
6
π
sin(2 )6y x
π= +
1( ,1)x e−∈ lna x= ln1( )2
xb = ln xc e= , ,a b c
c b a> > b c a> > a b c> > b a c> >
1( ,1)x e−∈ ln ( 1,0)x∈ − ( 1,0)a∈ − (1,2)b∈ 1( ,1)c e−∈ b c a> >
B
( ) 4 3xf x e x= + −
1 ,04
−
10, 4
1 1,4 2
1 3,2 4
【分析】
先判断函数 在 上单调递增，由 ,利用零点存在定理可得结果.
【详解】因为函数 在 上连续单调递增，
且 ,
所以函数的零点在区间 内，故选 C.
【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意
两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
第Ⅱ卷（非选择题）
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必
须做答.第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求做答.
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.
13.在 中， ， ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
先由题意，得到 ，再由 ，结合题中数据，即可求出结
果.
【详解】因为在 中， ， ，所以 ，
因此
故答案为：
【点睛】本题主要考查向量数量积的运算，熟记数量积的运算法则即可，属于常考题型.
14.已知 ，则 __________.
( )f x R
1 04
1 02
f
f
< >
( ) 4 3xf x e x= + − R
1 1
4 4
1 1
2 2
1 14 3 2 04 4
1 14 3 1 02 2
f e e
f e e
= + × − = − <
= + × − = − >
1 1,4 2
Rt ABC∆ 90C = ∠ 3AC = AB AC⋅ =
9
0CA CB⋅ = ( )AB AC CB CA AC⋅ = − ⋅
Rt ABC∆ 90C = ∠ 3AC = 0CA CB⋅ =
( ) 2
9AB AC CB CA AC CB CA CA⋅ = − ⋅ = − ⋅ + =
9
2sin cosα α= 2
cos2 sin 2 1
cos
α α
α
+ + =
【答案】3
【解析】
【分析】
根据 ，利用同角三角函数基本关系式得到 ，将 ，利
用二倍角公式变形为 ，分子分母同除以 ，然后将 代入求
解.
【详解】因为 ，
所以 ，
，
，
，
.
故答案为：3
【点睛】本题主要考查条件三角函数基本关系式和三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，
属于中档题.
15.曲线 在 处的切线的斜率为____________.
【答案】1
【解析】
【分析】
根据函数 ，利用导数公式求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：1
2sin cosα α= tanα 2
cos2 sin 2 1
cos
α α
α
+ +
2
2
2cos 2sin cos
cos
α α α
α
+ 2cos α tanα
2sin cosα α=
1tan 2
α =
2
cos2 sin 2 1
cos
α α
α
+ +
2
2
2cos 2sin cos
cos
α α α
α
+=
2
2 2
2
2
cos 2sin cos2 cos cos
cos
cos
α α α
α α
α
α
+
=
2 2tan 3α= + =
1y x
= − (1, 1)−
1y x
= −
1y x
= −
2
1y x
′ =
| 11y x′ ==
【点睛】本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
16.在数列 中 ， ，记 为数列 的前 项和，则 的值为
_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知结合数列递推式求出数列前 5 项，得到数列是以 4 为周期的周期数列，由此求得答
案．
【详解】 ， ， ，
，
如此继续，得 ，
.
故答案为 1010
【点睛】本题考查了数列递推式及前 n 项和的求法，关键是对数列周期性的发现，是中档
题．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
.
（1）求角 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长.
【答案】（1） （2）
【解析】
【试题分析】（1）利用已知计算 ，即可得 .（2）利用余弦定理和三
角形面积公式建立方程组，解方程组可求得 的值，进而求得周长.
【试题解析】
（1）由 得
{ }na 1 1a = 1 cos 2n n
na a
π
+ − = nS { }na n 2019S
1010
1 1a = 2 1 cos 12a a
π= + = 3 2
2cos 02a a
π= + =
4 3
3cos 02a a
π= + = 5 4
4cos 12a a
π= + =
4n na a+ =
( )2019 1 2 3 4504S a a a a= + + + 1 2 3a a a+ + + 504 2 1 1 0 1010= × + + + =
ABC∆ A B C a b c
tan tan 3 3 tan ·tanA B A B+ + =
C
3c = ABC∆ 3 3
2
ABC∆
3
π
3 3 3+
( )tan 3A B+ = − π
3C =
+a b
tan tan 3 3tan ·tanA B A B+ + =
，
又 ，则 ，故 .
另解：由已知得 ，
则 ，即 ，
又 ，则 ，故 .
（2）由余弦定理及（1），得 ，则 ，
又 ，则 ，
则 ，即 ，
所以 的周长为 .
18.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a3+2S6＝77，a10﹣a5＝10.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足：b1＝1，bn﹣bn﹣1＝an﹣n+1（n≥2），求数列{ }的前 n 项和 Tn.
【答案】（1）an＝2n﹣1（2）
【解析】
【分析】
（1）联立解方程组，得 ，求出通项公式即可；
（2）求出 ，利用裂项相消法求出数列 的前 项和 ．
【详解】（1）等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a3+2S6＝77，a10﹣a5＝10，
，得 ，
故 an＝2n﹣1；
（2）b1＝1，bn﹣bn﹣1＝an﹣n+1＝n（n≥2），
( ) tan tan 3tan tan 3tan 31 tan tan 1 tan tan
A B A BA B A B A B
+ −+ = = = −− −
0 A B π< + < 2
3A B
π+ = ( )
3C A B
ππ= − + =
sin sin 3sin sin3cos cos cos cos
A B A B
A B A B
+ + =
( ) ( )sin 3cos 0A B A B+ + + = ( )tan 3A B+ = −
0 A B π< + < 2
3A B
π+ = ( )
3C A B
ππ= − + =
2 2 2 2 cos 3c a b ab
π= + − 2 2 9a b ab+ − =
1 3 3 3sin2 4 2ABCS ab C ab∆ = = = 6ab =
( )2 2 2 2 9 2 27a b a b ab ab ab+ = + + = + + = 3 3a b+ =
ABC∆ 3 3 3+
4
nb
8
1
n
n +
1 1
2
a
d
=
=
nb 4{ }
nb n nT
1 12 2 6 15 77
5 10
a d a d
d
+ + + =
=
（ ） 1 1
2
a
d
=
=
∴bn＝（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1＝n+n﹣1+…+2+1 ，
当 n＝1 时，显然成立，
，
数列{ }的前 n 项和 Tn＝8（ ）＝8（1 ） .
【点睛】考查等差数列求通项公式，裂项相消法和累加法求数列的和，中档题．
19.“微信运动”是手机 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生 M 的微信好友中有
400 位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了 40 位参与“微信运动”的微信好友（女 20 人，
男 20 人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别： 、
步，（说明：“ ”表示大于或等于 0，小于 2000，以下同理）， 、
步， 、 步， 、 步， 、 步，且
、 、 三种类别的人数比例为 ，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走
路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）若以大学生 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的
所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生 的参与“微信运动”的 400 位微信
好友中，每天走路步数在 的人数；
（Ⅱ）若在大学生 该天抽取的步数在 的微信好友中，按男女比例分层抽取 6
人进行身体状况调查，然后再从这 6 位微信好友中随机抽取 2 人进行采访，求其中至少有一
位女性微信好友被采访的概率．
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） ．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）所抽取的 40 人中，该天行走 步的人数：男 12 人，女 14 人，由此能求出
1
2
n n += （ ）
4 1 18 1nb n n
= − +（ ）
4
nb
1 1 1 11 2 2 1n n
− + − + − +
1
1n
− +
8
1
n
n
= +
APP
A
0 2000 0 2000 B
2000 5000 C 5000 8000 D 8000 10000 E 10000 12000
A B C 1: 4:3
M
M
2000 8000
M 8000 10000
3
5
2000 8000∼
400 位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走 步的人数．
（Ⅱ）该天抽取的步数在 的人数：男 6 人，女 3 人，共 9 人，再按男女比例分
层抽取 6 人，则其中男 4 人，女 2 人，由此能求出其中至少有一位女性微信好友被采访的概
率．
【详解】（Ⅰ）由题意，所抽取的 40 人中，该天行走 步的人数：男 12 人，女 14
人，
所以 400 位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走 步的人数约为
人；
（Ⅱ）该天抽取的步数在 的人数中，根据频率分布直方图可知，男生人数所占
的频率为 ，所以男生的人数为为 人，根据柱状图可得，女生人数为
3 人，再按男女比例分层抽取 6 人，则其中男 4 人，女 2 人．再从这 6 位微信好友中随机抽取
2 人进行采访，基本事件总数 种，
至少 1 个女性的对立事件是选取中的两人都是男性，
∴其中至少有一位女性微信好友被采访的概率： ．
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及古典概型及其概率的求解，以及分层
抽样等知识的综合应用，其中解答中认真审题，正确理解题意，合理运算求解是解答此类问
题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
20.已知抛物线 ： ，过点 的直线与抛物线相交于 ，
两点，且 ．
（1）求 的值；
（2）设动直线 ： 与抛物线 相切于点 ，点 是直线 上异于点 的一点，若以
为直径的圆恒过 轴上一定点 ，求点 的横坐标 ．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）设直线 的方程为 ，与抛物线联立，根据韦达定理求解即可；
2000 8000∼
8000 10000∼
2000 8000∼
2000 8000∼
26400 26040
× =
8000 10000∼
0.15 2 0.3× = 20 0.3 6× =
2
6 15n C= =
2
4
2
6
31 5
CP C
= − =
C 2 2 ( 0)y px p= > (4,0) 1 1( , )A x y
2 2( , )B x y 1 2 8y y = −
p
l y kx m= + C P Q l P
PQ x M Q 0x
1p = 0
1
2x = −
AB 4x ty= +
（2）先将直线与抛物线联立，由相切 ，得 ，进而得到 和 的坐标，设点
的坐标为 ，由 可得
对任意的 恒成立，只需 即可得解.
【详解】（1）设直线 的方程为 ，
将直线 的方程与抛物线 的方程联立 ，得 ，
所以， ，得 ；
（2）将直线 的方程与抛物线 的方程联立 ，得 ，
①
，所以， ，②
方程①为 ，所以，点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，设点 的坐标为 ，
， ，
对任意的
恒成立，
∴ ，解得 .
因此，点 的横坐标 .
【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了舍设而不求的思想，着重考查了
学生的运算能力，属于中档题.
21.已知函数
（1）讨论函数 的单调性；
0∆ = 2 1km = P Q M
M ( ,0)r 0MP MQ⋅ = 2 2
0 0 02 ( 1) 0m x r x rx r− + + − + =
2 2
0 0 02 ( 1) 0m x r x rx r= − + + − + = m 0
2
0 0
1 0
0
x r
x rx r
− + =
− + =
AB 4x ty= +
AB C 2
4
2
x ty
y px
= +
=
2 2 8 0y pty p− − =
1 2 8 8y y p= − = − 1p =
l C 2 2
y kx m
y x
= +
=
2 2 2(2 2) 0k x kmx x m+ − + =
2 2 2(2 2) 4 4 8 0km k m km∆ = − − = − = 2 1km =
2 2 2 0k x x m− + = P 2(2 ,2 )m m
Q 0 0( , )x kx m+ M ( ,0)r
2(2 ,2 )MP m r m= −
0 0( , )MQ x r kx m= − +
2 2
0 0(2 )( ) 2 2MP MQ m r x r kmx m⋅ = − − + + 2 2
0 0 02 ( 1) 0m x r x rx r= − + + − + =
m
0
2
0 0
1 0
0
x r
x rx r
− + =
− + =
0
1
2
1
2
r
x
=
= −
Q 0
1
2x = −
2( ) ln ( 0, )a xf x x a a Rx a
= + + ≠ ∈
( )f x
（2）设 ，当 时，证明： .
【答案】（1）见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）首先对函数求导，对式子进行因式分解，结合函数的定义域，对参数的范围进行讨论，
从而利用导数的符号确定出函数的单调区间；
（2）构造新函数 ，对函数求导，得到函数的单调性，
从而得到函数的最值，根据函数的最小值大于等于零，从而证得结果.
【详解】（1）
当 时， ，
当 时， ，
∴ 时， 在 上递减，在 递增
时， 在 上递增，在 递减
（2）设
则
， 时， ， 递减
， 递增，
设 ， ,则
时， 时， 递增，
时， ， 递减
，
，即
【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数
单调性，注意分类讨论思想的应用，应用导数证明不等式恒成立，注意构造新函数，结合最
1( ) 2a xg x x a a
= + − + 0a > ( ) ( )f x g x≥
1( ) ( ) ( ) ln 2aF x f x g x x x a
= − = + + −
2 2
1 2 1 ( 2 )( )( ) a x a x af x x x a ax
+ −′ = − + =
0a > ( ) 0f x x a′ > ⇒ > ( ) 0 0f x x a′ < ⇒ < <
0a < ( ) 0 0 2f x x a′ > ⇒ < < − ( ) 0 2f x x a′ < ⇒ > −
0a > ( )f x (0, )a ( , )a +∞
0a < ( )f x (0, 2 )a− ( 2 , )a− +∞
1( ) ( ) ( ) ln 2aF x f x g x x x a
= − = + + −
2 2
1( ) ( 0)a x aF x xx x x
−′ = − = >
0a > (0, )x a∴ ∈ ( ) 0F x′ < ( )F x
( , )x a∈ +∞ ( ) 0,F x′ > ( )F x 1( ) ( ) ln 1F x F a a a
∴ ≥ = + −
1( ) ln 1h x x x
= + − ( 0)x >
2 2
1 1 1( ) ( 0)xh x xx x x
−′ = − = >
1x > ( ) 0,h x′ > ( )h x
0 1x< < ( ) 0h x′ < ∴ ( )h x
( ) (1) 0h x h∴ ≥ = ( ) ( ) 0F a h a∴ = ≥
( ) 0F x∴ ≥ ( ) ( )f x g x≥
值得到结果.
请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时
请在答题卡上涂上相应的题号.
选修 4—4：坐标系与参数方程
22.已知曲线 ， 是曲线 上的动点，以坐标原点 为极点， 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，以极点 为中心，将点 绕点 逆时针旋转 得到点 ，设点
的轨迹方程为曲线 .
（Ⅰ）求曲线 ， 的极坐标方程；
（Ⅱ）射线 与曲线 ， 分别交于 ， 两点，定点 ，求
的面积.
【答案】（1） ： ， ： （2）
【解析】
【分析】
（1）利用 ，即可得出答案．（2）分别计算出点 M 到
射线 距离和点 P,Q 的极坐标，结合三角形面积计算公式，即可得出答案．
【详解】（1）曲线 ，把公式 代入可得：
曲线 的极坐标方程为 .
设 ，则 ，则有 .
所以，曲线 的极坐标方程为 .
（2） 到射线 的距离为 ，
射线 与曲线 交点 ，
射线 与曲线 交点
的
2 2
1 : ( 3) 9C x y+ − = A 1C O x
O A O 90° B B
2C
1C 2C
5 ( 0)6
πθ ρ= > 1C 2C P Q ( 4,0)M − MPQ∆
1C 6sinρ α= 2C 6cosρ ϕ= − 3 3 3−
cos , sinx yρ θ ρ θ= =
5
6
πθ =
( )22
1 : 3 9C x y+ − = x cos
y sin
ρ α
ρ α
=
=
1C 6sinρ α=
( ),B ρ ϕ , 2A
πρ ϕ − 6sin 62 cos
πρ ϕ ϕ = − = −
2C 6cosρ ϕ= −
M 5
6
πθ = 54sin 26d
π= =
5
6
πθ = 1C 53, 6P
π
5
6
πθ = 2C 53 3, 6Q
π
∴
故
【点睛】本道题目考查了普通方程和极坐标方程的转化，以及在极坐标方程下面积的计算方
法，方程转化记住 ，极坐标长度用纵坐标相减．
选修 4—5：不等式选讲
23.已知函数 f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|.
(1)求 f(x)的最小值 m；
(2)若 a，b，c 均为正实数，且满足 a＋b＋c＝m，求证： ＋ ＋ ≥3.
【答案】（1）m＝3 （2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）分段讨论当 x＜－1 时，当－1≤x＜2 时，当 x≥2 时，函数 f(x)的值域，然后求函数在定义
域上的值域即可；
（2）由已知条件 a＋b＋c＝3，再结合重要不等式证明即可.
【详解】解：（1）当 x＜－1 时，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x∈(3，＋∞)；
当－1≤x＜2 时，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4∈[3,6)；
当 x≥2 时，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x∈[6，＋∞)．
即 ，
综上，f(x)的最小值 m＝3.
（2）证明：因为 a，b，c 均为正实数，且满足 a＋b＋c＝3，
所以 ＋ ＋ ＋(a＋b＋c)
＝ ＋ ＋
≥2
＝2(a＋b＋c)，
3 3 3PQ = −
1 3 3 32S PQ d= × × = −
cos , sinx yρ θ ρ θ= =
2b
a
2c
b
2d
c
[ )( ) 3,f x ∈ +∞
2b
a
2c
b
2d
c
2b aa
+
2c bb
+
2a cc
+
22 2
( )b ca ba b
a cc
+ ⋅ + ⋅⋅
当且仅当 a＝b＝c＝1 时，取“＝”，
所以 ＋ ＋ ≥a＋b＋c，
又 a＋b＋c＝3，
即 ＋ ＋ ≥3.
【点睛】本题考查了含绝对值符号的函数值域的求法，重点考查了重要不等式的应用，属中
档题.
2b
a
2c
b
2d
c
2b
a
2c
b
2d
c