【数学】2020届一轮复习人教B版（理）第九章45圆的方程作业 5页

第 45 节 圆的方程 一、选择题 1．(2018 山东潍坊二模)圆 M：x2＋y2＋2x＋2 3y－5＝0 的圆心 坐标为( ) A．(1， 3) B．(1，－ 3) C．(－1， 3) D．(－1，－ 3) 【答案】D 【解析】x2＋y2＋2x＋2 3y－5＝0⇒(x＋1)2＋(y＋ 3)2＝9，故 圆心坐标为(－1，－ 3)．故选 D. 2．(2018 广州测试)圆(x－1)2＋(y－2)2＝1 关于直线 y＝x 对称的 圆的方程为( ) A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1 【答案】A 【解析】∵圆心(1,2)关于直线 y＝x 对称的点为(2,1)，∴圆(x－1)2 ＋(y－2)2＝1 关于直线 y＝x 对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1. 3．(2018 吉林质检)过点 A(a，a)可作圆 x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3 ＝0 的两条切线，则实数 a 的取值范围为( ) A．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B. －∞，3 2 C．(－3,1)∪ 3 2 ，＋∞ D．(－∞，－3)∪(1，3 2) 【答案】D 【解析】把圆的方程化为标准方程，得(x－a)2＋y2＝3－2a， 可得圆心 P 的坐标为(a,0)，半径 r＝ 3－2a，且 3－2a＞0，即 a ＜3 2 ， 由 题 意 可 得 点 A 在 圆 外 ， 即 |AP| ＝ a－a2＋a－02 ＞ r ＝ 3－2a， 即有(a－a2)＋(a－0)2>3－2a 整理得 a2＋2a－3＞0，即(a＋3)(a－ 1)＞0，解得 a＜－3 或 a＞1，又 a＜3 2 ，可得 a＜－3 或 1＜a＜3 2 ，则 实数 a 的取值范围是(－∞，－3)∪(1，3 2)． 4．(2018 南昌检测)圆心在 y 轴上，且过点(3,1)的圆与 x 轴相切， 则该圆的方程是( ) A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0 C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0 【答案】B 【解析】根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为 r，则 32＋(r －1)2＝r2，解得 r＝5，可得圆的方程为 x2＋y2－10y＝0.故选 B. 5．(2019 唐山一中调研)点 P(4，－2)与圆 x2＋y2＝4 上任一点连 线的中点的轨迹方程是( ) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 【答案】A 【 解 析 】 设 圆 上 任 意 一 点 为 (x1 ， y1) ， 中 点 为 (x ， y) ， 则 x＝x1＋4 2 ， y＝y1－2 2 ， 即 x1＝2x－4， y1＝2y＋2， 代入 x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1. 6．(2018 株洲模拟)圆心在直线 2x－y－7＝0 上的圆 C 与 y 轴交 于 A(0，－4)，B(0，－2)两点，则圆 C 的标准方程为( ) A．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5 B．(x－2)2＋(y－3)2＝5 C．(x＋2)2＋(y－3)2＝5 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝5 【答案】D 【 解 析 】 设 圆 的 标 准 方 程 为 (x － a)2 ＋ (y － b)2 ＝ r2 ， 故 2a－b－7＝0， a2＋4＋b2＝r2， a2＋2＋b2＝r2， 解得 a＝2， b＝－3， 半径 r＝ 22＋12＝ 5，故圆 C 的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.选 D. 7．(2018 天津五县一模)若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2 上有且只有两个 点到直线 4x－3y＝2 的距离等于 1，则半径 r 的取值范围是( ) A．(4,6) B．[4,6] C．[4,6) D．(4,6] 【答案】A 【解析】易求圆心(3，－5)到直线 4x－3y＝2 的距离为 5.令 r＝4， 可知圆上只有一点到已知直线的距离为 1；令 r＝6，可知圆上有三点 到已知直线的距离为 1，所以半径 r 取值范围在(4,6)之间符合题意． 8．(2018 四川雅安三诊)已知圆 C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆 C2： (x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N 分别是圆 C1，C2 上的动点，P 为 x 轴上 的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( ) A．6－2 2 B．5 2－4 C. 17－1 D． 17 【答案】B 【解析】圆 C1 关于 x 轴对称的圆 C1′的圆心为 C1′(2，－3)， 半径不变，圆 C2 的圆心为(3,4)，半径 r＝3，|PM|＋|PN|的最小值为圆 C1′和圆 C2 的圆心距减去两圆的半径，所以|PM|＋|PN|的最小值为 3－22＋4＋32－1－3＝5 2－4.故选 B. 二、填空题 9．(2018 绍兴模拟)点 P(1,2)和圆 C：x2＋y2＋2kx＋2y＋k2＝0 上 的点的距离的最小值是________． 【答案】2 【解析】圆的方程化为标准式为(x＋k)2＋(y＋1)2＝1， ∴圆心 C(－k，－1)，半径 r＝1. 易知点 P(1,2)在圆外． ∴点 P 到圆心 C 的距离|PC|＝ k＋12＋32＝ k＋12＋9≥3.∴ |PC|min＝3. ∴点 P 和圆 C 上点的最小距离 dmin＝|PC|min－r＝3－1＝2. 10．(2018 陕西汉中模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0) 为圆心且与直线 mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最 大的圆的标准方程为____________________． 【答案】(x－1)2＋y2＝2 【解析】因为直线 mx－y－2m－1＝0 恒过定点(2，－1)，所以圆 心 (1,0) 到 直 线 mx － y － 2m － 1 ＝ 0 的 最 大 距 离 为 d ＝ 2－12＋－1－02＝ 2，所以半径最大为 2，所以半径最大的圆的 标准方程为(x－1)2＋y2＝2. 三、解答题 11．(2018 河南名校模拟)已知点 M(1,0)是圆 C：x2＋y2－4x－2y ＝0 内的一点，求过点 M 的最短弦所在直线的方程． 【解】过点 M 的最短弦与 CM 垂直，圆 C：x2＋y2－4x－2y＝0 的圆心为 C(2,1)， ∵kCM＝1－0 2－1 ＝1， ∴最短弦所在直线的方程为 y－0＝－(x－1)，即 x＋y－1＝0. 12．(2018 江苏苏州张家港质检)在平面直角坐标系 xOy 中，经过 函数 f(x)＝x2－x－6 的图象与两坐标轴交点的圆记为圆 C. (1)求圆 C 的方程； (2)求经过圆心 C 且在坐标轴上截距相等的直线 l 的方程． 【解】(1)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，函数 f(x)＝x2－ x － 6 的 图 象 与 两 坐 标 轴 交 点 为 (0 ， － 6) ， ( － 2,0) ， (3,0) ， 由 36－6E＋F＝0， 4－2D＋F＝0， 9＋3D＋F＝0， 解得 D＝－1， E＝5， F＝－6， 所以圆C的方程为x2＋y2－x ＋5y－6＝0. (2)由(1)知圆心坐标为 1 2 ，－5 2 ，若直线经过原点，则直线 l 的方 程为 5x＋y＝0；若直线不过原点，设直线 l 的方程为 x＋y＝a，则 a ＝1 2 －5 2 ＝－2，即直线 l 的方程为 x＋y＋2＝0.综上可得，直线 l 的方 程为 5x＋y＝0 或 x＋y＋2＝0.