2021届高考数学一轮总复习课时作业32数列的概念与简单表示法含解析苏教版 5页

课时作业32　数列的概念与简单表示法 一、选择题 ‎1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式an等于(　D　)‎ A． B．cos C．cosπ D．cosπ 解析：令n＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D正确．‎ ‎2．若数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋1＝(2n－λ)an(n＝1,2，…)，则a3等于(　D　)‎ A．5 B．9‎ C．10 D．15‎ 解析：令n＝1，则3＝2－λ，即λ＝－1，由an＋1＝(2n＋1)an，得a3＝5a2＝5×3＝15.故选D．‎ ‎3．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则等于(　D　)‎ A． B． C． D．30‎ 解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，所以＝5×6＝30.‎ ‎4．(2020·辽宁锦州月考)已知数列{an}满足a1＝，对任意正整数n，an＋1＝an(1－an)，则a2 019－a2 018＝(　B　)‎ A． B． C．－ D．－ 解析：∵a1＝，an＋1＝an(1－an)，∴a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，∴n≥2时，{an}的奇数项为，偶数项为，∴a2 019－a2 018＝－＝，故选B．‎ ‎5．(2020·山西河津月考)设数列{an}满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝(n∈N*)，则{an}的通项公式为an＝(　C　)‎ A． B． C． D． 5‎ 解析：∵a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝(n∈N*)，‎ ‎∴易知n≥2时，2n－1an＝，又a1＝，∴对一切n∈N*,2n－1an＝，∴an＝，故选C．‎ ‎6．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{nan}中数值最小的项是(　B　)‎ A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项 解析：∵Sn＝n2－10n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；‎ 当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式．‎ ‎∴an＝2n－11(n∈N*)．‎ 记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，‎ 此函数图象的对称轴为直线n＝，但n∈N*，‎ ‎∴当n＝3时，f(n)取最小值．‎ ‎∴数列{nan}中数值最小的项是第3项．‎ ‎7．(2020·西宁模拟)数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a(an>0)，则an＝(　D　)‎ A．10n－2 B．10n－1‎ C．102n－4 D．22n－1‎ 解析：因为数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a(an>0)，所以log2an＋1＝2log2an⇒＝2，所以{log2an}是公比为2的等比数列，所以log2an＝log2a1·2n－1⇒an＝22n－1.‎ ‎8．(2020·陕西西安模拟)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－(n∈N*)，则使a1＋a2＋…＋ak<100(k∈N*)成立的k的最大值为(　C　)‎ A．198 B．199‎ C．200 D．201‎ 解析：∵a1＝，an＋1＝1－(n∈N*)，∴a2＝－1，a3＝2，a4＝，…，∴a1＋a2＋a3＝，∴a1＋a2＋a3＋…＋a198＋a199＋a200＝<100，a1＋a2＋a3＋…＋a198＋a199＋a200＋a201＝>100，a1＋a2＋a3＋…＋a198＋a199＋a200＋a201＋a202＝101>100，a1＋a2＋a3＋…＋a198＋a199＋a200＋a201＋a202＋a203＝100，∴满足题意的k的值为200，故选C．‎ 二、填空题 ‎9．若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝.‎ 解析：当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．‎ 故数列{an}的通项公式为an＝ ‎10．已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，则an＝.‎ 5‎ 解析：由an－an＋1＝nanan＋1，得－＝n，‎ 则由累加法得－＝1＋2＋…＋(n－1)＝(n≥2)，‎ 又因为a1＝1，所以＝＋1＝，‎ 所以an＝(n≥2)，经检验，当n＝1时，a1＝1符合上式．‎ 所以an＝(n∈N*)．‎ ‎11．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝3×2n－1－2.‎ 解析：由an＋2＋2an－3an＋1＝0，得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，‎ ‎∴数列{an＋1－an}是以a2－a1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1－an＝3×2n－1，‎ ‎∴n≥2时，an－an－1＝3×2n－2，…，a3－a2＝3×2，a2－a1＝3，‎ 将以上各式累加得an－a1＝3×2n－2＋…＋3×2＋3＝3(2n－1－1)，∴an＝3×2n－1－2(n≥2)，‎ 经检验，当n＝1时，a1＝1，符合上式．‎ ‎∴an＝3×2n－1－2.‎ ‎12．(2019·福州质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且Sn＝λan－1(λ为常数)，若数列{bn}满足anbn＝－n2＋9n－20，且bn＋11，则n>＋1，所以当1≤n<3时，bn>bn＋1，当n≥3时，bnb3，所以b3最小．故选B．‎ ‎16．(2020·河北唐山模拟)各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，an·an＋2＝3an＋1(n∈N*)，则a5·a2 019＝27.‎ 解析：由an·an＋2＝3an＋1知n≥2时，an－1·an＋1＝3an，两式相乘得an－1·an＋2＝9，又an＋2·an＋5＝9，得an－1＝an＋5，则数列周期为6，又a1a4＝9，则a4＝9，故a5·a2 019＝a5·a6×336＋3＝a5·a3＝3a4＝27.‎ ‎17．已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(a>0，x∈R)有且只有一个零点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝1－(n∈N*)，定义所有满足cm·cm＋1<0正整数m的个数，称为这个数列{cn}的变号数，求数列{cn}的变号数．‎ 解：(1)依题意，Δ＝a2－4a＝0，所以a＝0或a＝4.‎ 又由a>0得a＝4，所以f(x)＝x2－4x＋4.‎ 所以Sn＝n2－4n＋4.‎ 当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋4＝1；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5.‎ 所以an＝ ‎(2)由题意得cn＝ 由cn＝1－可知，当n≥5时，恒有cn>0.‎ 又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－，c5＝，c6＝，‎ 即c1·c2<0，c2·c3<0，c4·c5<0，‎ 所以数列{cn}的变号数为3.‎ 5‎