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- 2021-05-19 发布
【考纲解读】
考 点
考纲内容
5年统计
分析预测
离散型随机变量的均值与方差
理解随机变量的均值、方差的概念，会计算取有限个值的简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决简单的实际问题.
2013•浙江理19;
2014•浙江理9，12；
2017•浙江8；
2018•浙江7.
1.考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列、随机变量的均值、方差；
2.考查简单离散型随机变量的均值、方差，在解决简单的实际问题中的应用.
3.离散型随机变量的均值与方差是高考的热点题型，前几年以解答题为主，常与排列、组合、概率等知识综合命题．最近几年考查离散型随机变量的均值、方差的性质及计算，以小题为主．
4.备考重点：
(1) 掌握离散型随机变量的均值、方差的概念；
(2) 掌握简单离散型随机变量的均值、方差及其应用的计算方法.
【知识清单】
离散型随机变量的均值与方差
1．均值
若离散型随机变量X的分布列为
…
…
…
…
称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．．
若，其中为常数，则也是随机变量，且.
若服从两点分布，则；
若，则.
2.方差
若离散型随机变量X的分布列为
…
…
…
…
则描述了 ()相对于均值的偏离程度，而为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．称为随机变量的方差，其算术平方根为随机变量的标准差．
若，其中为常数，则也是随机变量，且．
若服从两点分布，则．
若，则．
【重点难点突破】
考点 离散型随机变量的均值与方差
【1-1】【2018年浙江省高考模拟】已知随机变量的分布列如表所示：
若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
故选D.
【1-2】【2018年浙江卷】设0>=>>
【1-5】【2018年理新课标I卷】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【答案】(1).(2) （i）490.（ii）应该对余下的产品作检验.
【解析】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为.因此
.
令，得.当时，；当时，.
所以的最大值点为.
（2）由（1）知，.
（i）令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知，，即.所以.
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于，故应该对余下的产品作检验.
【领悟技法】
1. 求离散型随机变量均值、方差的基本方法
(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；
(2)已知随机变量的均值、方差，求的线性函数的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解；
(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．
2. 求离散型随机变量均值的步骤
(1)理解随机变量的意义，写出可能取得的全部值；
(2)求的每个值的概率；
(3)写出的分布列；
(4)由均值定义求出．
3. 六条性质
(1) (为常数)
(2) (为常数)
(3)
(4)如果相互独立，则
(5)
(6)
4. 均值与方差性质的应用若是随机变量，则一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算．
【触类旁通】
【变式一】【浙江省台州中学2018届高三模拟】已知某个数的期望为，方差为，现又加入一个新数据，此时这个数的期望记为，方差记为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】分析：首先利用离散型随机变量的期望和方程的计算公式，结合题中所给的条件，列出相应的式子，从而求得的值，进而得到正确的选项.
详解：根据题意可知，，
，故选B.
【变式二】【浙江省杭州市学军中学2018年5月模拟】已知两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个．盒中有个红球与个白球，盒中有个红球与个白球，若从盒中各取一个球，表示所取的个球中红球的个数，则当取到最大值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
所以Eξ=1×+2×=1，
所以Dξ=+=，并且1≤m≤9，
所以当m=5时，Dξ取最大值．
故答案为：B
【变式三】【2017湖南】2016年8月21日第31届夏季奥运会在巴西里约闭幕，中国以26金18银26铜的成绩名称金牌榜第三、奖牌榜第二，某校体育爱好者协会在高三年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如下
表：学+ + ]
班号
一班
二班
三班
四班
五班
六班
频数
5
9
11
9
7
9
满意人数
4
7
8
5
6
6
（Ⅰ）在高三年级全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；
（Ⅱ）若从一班至二班的调查对象中随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中对“本届奥运会中国队
表现”不满意的人数为，求随机变量的分布列及其数学期望．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，.
（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2，3，
，
．
．
，
所以的分布列为：
0
1
2
3
所以的期望值为：．
【易错试题常警惕】
易错典例：某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球．规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．
（1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率；
（2）记为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量的分布律和数学期望．
易错分析：随机变量的取值错误导致出错，计算概率出错．
所以，随机变量的分布列为:
10
20
30
40
．
温馨提醒：(1) 求离散型随机变量的期望关键是写出离散型随机变量的分布列，然后利用公式计算．理解均值易失误，均值是一个实数，由的分布列唯一确定，即作为随机变量是可变的，而是不变的，它描述值的取值平均状态．注意，易错．
【学 素养提升之思想方法篇】
对立统一，峰回路转——正难则反
正难则反原则是解题学中的一个重要的思维方法，就其意义来说，就是当从问题的正面去思考问题，遇到阻力难于下手时，可通过逆向思维，从问题的反面出发，逆向地应用某些知识去解决问题.说得更具体一些，就是当我们拿到一个题目，经仔细地审题后，如感觉顺推有困难就要尝试去进行逆推，这就俗话所说的“不要一条路跑到黑”，许多事实都说明：对问题正向进行探索使问题陷入困境时，反向思维往往能使人茅塞顿开，获得意想不到效果.
具体在数学解题中，分析法、反证法、逆推法、排除法、同一法、补集法等方法技巧，都是正难则反策略的应用，往往通过逆转结构、逆转运算、逆转主元、逆转角度等，实现化难为易、化繁为简.
【典例】【2018届云南省玉溪市玉溪一中高三上第二次月考】现有四枚不同的金属纪念币，投掷时，两枚正面向上的概率均为，另两枚正面向上的概率均为，这四枚纪念币同时投掷一次，设表示出现正面向上的枚数.
(1)若出现一正一反与出现两正的概率相等，求的值；
(2)求的分布列及数学期望(用字母表示)；
(3)若有两枚纪念币出现正面向上的概率最大，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2)答案见解析；(3).
【解析】