重庆市名校联盟2020届高三二诊数学（理）试题 Word版含解析 29页

www.ks5u.com 数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）‎ ‎1. 已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解分式不等式，得，再求交集即可.‎ ‎【详解】解：解分式不等式，得，解得：，‎ 即，又，所以，‎ 故选C ‎【点睛】本题考查了分式不等式的解法及集合交集的求法，属基础题.‎ ‎2. 若单位向量、夹角为，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平面数量积的定义和运算性质计算出的值，进而可得出的值.‎ ‎【详解】由于位向量、夹角为，则，‎ ‎，因此，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用平面向量数量积计算平面向量的模，考查计算能力，属于基础题.‎ - 29 -‎ ‎3. 观察式子：，，，，则可归纳出式子为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察式子：不等号的右边是一个分数，分母依次为，分子依次为，归纳得到答案.‎ ‎【详解】观察式子：，，，不等号的右边是一个分数，分母依次为，分子依次为，进而归纳得：.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力.‎ ‎4. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数的图像以及性质，即可容易判断大小，根据指数函数的性质，即可判断的范围，据此即可得到结果.‎ ‎【详解】画出的图象如下所示：‎ - 29 -‎ 由图可知，‎ 又因为 故可得，则.‎ 综上所述：.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用对数函数图像以及指数函数的单调性比较大小，属基础题.‎ ‎5. 某教研机构随机抽取某校20个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（ ）‎ A. B. ‎ - 29 -‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由频率分布直方图可知：第一组的频数为20×0.01×5=1个，‎ ‎[0,5)的频数为20×0.01×5=1个，‎ ‎[5,10)的频数为20×0.01×5=1个，‎ ‎[10,15)频数为20×0.04×5=4个，‎ ‎[15,20)频数为20×0.02×5=2个，‎ ‎[20,25)频数为20×0.04×5=4个，‎ ‎[25,30)频数为20×0.03×5=3个，‎ ‎[30,35)频数为20×0.03×5=3个，‎ ‎[35,40]频数为20×0.02×5=2个，‎ 则对应的茎叶图为A，‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的．茎叶图由所有样本数据构成，没有损失任何样本信息，可以随时记录；而频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息，必须在完成抽样后才能制作．‎ ‎6. 我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.右图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为 A. B. 40 C. D. ‎ ‎【答案】D - 29 -‎ ‎【解析】‎ 分析：根据三视图，还原几何体的直观图可得，该几何体的表面由两个全等的矩形，与四个全等的等腰梯形组成，根据三视图所给数据，求出矩形与梯形的面积，求和即可.‎ 详解：‎ 由三视图可知，该刍童的直观图是如图所示的六面体，图中正方体棱长为，分别是所在正方体棱的四等分点，其表面由两个全等的矩形，与四个全等的等腰梯形组成，矩形面积为，梯形的上下底分别为，梯形的高为，梯形面积为，所以该刍童的表面积为，故选D. ‎ 点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.‎ ‎7. 已知，向量在向量上的投影为1，则与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 29 -‎ ‎【分析】‎ 根据条件可得出，从而得出，这样根据向量夹角的范围即可求出夹角．‎ ‎【详解】解：在上的投影为：，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】考查投影的计算公式，向量夹角的范围，以及已知三角函数值求角的方法，属于基础题．‎ ‎8. 已知函数（，，），将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据图象求出函数的解析式,再由平移知识得到的解析式,然后分别找出 和的等价条件,即可根据充分条件,必要条件的定义求出.‎ ‎【详解】设,根据图象可知,‎ - 29 -‎ ‎,‎ 再由, 取,‎ ‎∴.‎ 将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,‎ ‎∴.‎ ‎,,‎ 令,则,显然,‎ ‎∴是的必要不充分条件.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用图象求正(余)弦型函数的解析式,三角函数的图形变换, 二倍角公式的应用,充分条件,必要条件的定义的应用,意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力,属于中档题.‎ ‎9. 如图两个同心球，球心均为点，其中大球与小球的表面积之比为3:1，线段与是夹在两个球体之间的内弦，其中两点在小球上，两点在大球上，两内弦均不穿过小球内部.当四面体的体积达到最大值时，此时异面直线与的夹角为，则（ ）‎ - 29 -‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先判断出正方体内切球和外接球的半径比为，内切球和外接球的表面积之比为，符合题意中的小球和大球的比例.判断当四面体体积最大时，的位置关系，作出异面直线所成的角，解直角三角形求得.‎ ‎【详解】设正方体的边长为，则其内切球半径为，外接球的半径为，所以内切球和外接球的表面积之比为，符合题意中的小球和大球的比例. 依题意最长为，最长为小球的直径.由于三角形的面积，若为定值，则时面积取得最大值.画出图像如下图所示，其中分别是所在正方形的中心，是正方体内切球与外接球的球心..由于，故此时四面体的体积最大.‎ 由于，所以四边形为平行四边形，所以，所以是异面直线和所成的角.所以由于，设是的中点，则 - 29 -‎ ‎，所以，所以.‎ 故选：A ‎ 【点睛】本小题主要考查几何体与球的外切和内接的问题，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎10. 2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大.武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为（）且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 29 -‎ 根据题意分别求出事件A：检测5个人确定为“感染高危户”发生的概率和事件B：检测6个人确定为“感染高危户”发生的概率,即可得出的表达式,再根据基本不等式即可求出.‎ ‎【详解】设事件A：检测5个人确定为“感染高危户”,‎ 事件B：检测6个人确定为“感染高危户”,‎ ‎∴,.‎ 即 设,则 ‎∴‎ 当且仅当即时取等号,即.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查概率的计算,涉及相互独立事件同时发生的概率公式的应用,互斥事件概率加法公式的应用,以及基本不等式的应用,解题关键是对题意的理解和事件的分解,意在考查学生的数学运算能力和数学建模能力,属于较难题.‎ ‎11. 在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列三个命题：‎ ‎①对任意三点、、，都有；‎ ‎②已知点和直线：，则；‎ ‎③到定点的距离和到的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.‎ 其中正确的命题有（ ）‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 29 -‎ ‎①讨论，，三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断；‎ ‎②设点是直线上一点，且，可得，，讨论，的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值；‎ ‎③设定点，且相等距离为1，从而可判断出命题的真假.‎ ‎【详解】① 对任意三点、、，若它们共线，设，、，，，，如图，结合三角形的相似可得，，为，，，或，，，则；‎ 若，或，对调，可得；‎ 若，，不共线，且三角形中为锐角或钝角，如图，‎ 由矩形或矩形，‎ ‎；‎ 则对任意的三点，，，都有，故①正确；‎ ‎②设点是直线上一点，且，‎ 可得，，‎ 由，解得，即有，‎ 当时，取得最小值；‎ 由，解得或，即有，‎ 的范围是，无最值；‎ 综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为；故②正确；‎ - 29 -‎ ‎③假设定点，到定点的距离和到的“切比雪夫距离”相等且距离为1的点为，则到定点的距离为1的点的轨迹为单位圆；到的“切比雪夫距离”的距离为1的点，所以，即或显然点的轨迹为正方形，所以只有四个点符合要求，故③错误；‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题．‎ ‎12. 已知函数f（x）＝﹣x3+1+a（x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. [0，e3﹣4] B. [0，2]‎ C. [2，e3﹣4] D. [e3﹣4，+∞）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据题意，可以将原问题转化为方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，构造函数g（x）＝x3﹣3lnx，利用导数分析g（x）最大最小值，可得g（x）的值域，进而分析可得方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，解可得a的取值范围，即可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，若函数f（x）＝﹣x3+1+a（x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，‎ 则方程﹣x3+1+a＝﹣3lnx在区间[，e]上有解，‎ ‎﹣x3+1+a＝﹣3lnx⇔a+1＝x3﹣3lnx，即方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，‎ 设函数g（x）＝x3﹣3lnx，其导数g′（x）＝3x2，‎ 又由x∈[，e]，g′（x）＝0在x＝1有唯一的极值点，‎ - 29 -‎ 分析可得：当x≤1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，‎ 当1≤x≤e时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，‎ 故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最小值g（1）＝1，‎ 又由g（）3，g（e）＝e3﹣3；比较可得：g（）＜g（e），‎ 故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最大值g（e）＝e3﹣3，‎ 故函数g（x）＝x3﹣3lnx在区间[，e]上的值域为[1，e3﹣3]；‎ 若方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，‎ 必有1≤a+1≤e3﹣3，则有0≤a≤e3﹣4，‎ 即a的取值范围是[0，e3﹣4]；‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知存在关于x轴对称的点转化为方程a﹣x3＝﹣3lnx⇔﹣a＝3lnx﹣x3在上有解，属于难题．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 若，则函数的图象在处的切线方程为________．‎ ‎【答案】（或）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出,再对求导,从而得到切线斜率,求出切线方程.‎ ‎【详解】,‎ 所以,,故,‎ 又,则切线方程为,即,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查求曲线上某点处的切线方程,难度不大.‎ ‎14. 已知圆C的圆心是抛物线x2＝4y的焦点，直线4x﹣3y﹣2＝0与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝6，则圆C的标准方程为_____‎ ‎【答案】x2+（y﹣1）2＝10‎ - 29 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，圆心C（0，1），再利用点到直线距离公式求出圆心到直线4x﹣3y﹣2＝0的距离，再利用勾股定理即可求解．‎ ‎【详解】解：由题意可知，圆心C（0，1），‎ ‎∴圆心C（0，1）到直线4x﹣3y﹣2＝0的距离d，‎ 又∵直线4x﹣3y﹣2＝0与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝6，‎ ‎∴圆C的半径r，‎ ‎∴圆C的标准方程为：x2+（y﹣1）2＝10，‎ 故答案为：x2+（y﹣1）2＝10．‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆相交的问题，是中档题．‎ ‎15. 已知两矩形ABCD与ADEF所在的平面互相垂直，AB=1，若将DEF沿直线FD翻折，使得点E落在边BC上（即点P），则当AD取最小值时，边AF的长是 ;此时四面体F—ADP的外接球的半径是 .‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：：∵形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，‎ ‎∴FE=FP=AD=BC=y，AB=DC=1，FA=DE=DP=x，在Rt△DCP中，PC=，在Rt△FAP中，AP=‎ 在Rt△ABP中，BP=∵BC=BP+PC=‎ - 29 -‎ 整理得，令，则，则当，即时，y取最小值，，则 取的中点，由为直角三角形，所以点为外接球的球心 所以，该外接球的半径为 故答案为：；‎ 考点：点、线、面间的距离计算 ‎16. 设函数的两个极值点分别为，若恒成立，则实数的取值范围是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数有两个极值点分别为，可知不单调，利用导数求得的范围，运用韦达定理可得，作差，再由条件，结合恒成立思想，运用函数的单调性，构造函数，通过求导，判断单调性可得，即可得到的范围.‎ ‎【详解】解：∵函数有两个极值点分别为， 的定义域为，‎ ‎， 令，其判别式. ‎ - 29 -‎ 当时，在上单调递减，不合题意. 当时，的两根都小于零，在上，，则在上单调递减，不合题意. 当时，，设的两个根都大于零， 令， 当时，，当时，，当时，， 故分别在上单调递减，在上单调递增， ∴的取值范围是. 则， ‎ ‎， . 若恒成立，则， ， 不妨设，则. 又， ①恒成立. ‎ - 29 -‎ 记， 记， 在上单调递增，在上单调递减， 且易知.又， ∴当时，；当时，. 故由①式可得，，代入方程， 得，（在上递增）. 又，‎ ‎∴的取值范围是. 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求单调区间、极值，主要考查极值的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，同时考查函数的单调性的运用和基本不等式的运用，考查运算能力，属于难题.‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17. 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3＝5，S7＝49．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设，Tn为数列{bn}的前n项和，求证：Tn＜3．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．‎ ‎（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出结果．‎ - 29 -‎ ‎【详解】（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，‎ 则：，‎ 解得：a1＝1，d＝2，‎ 故： ．‎ ‎（2）由于：an＝2n﹣1，‎ 所以，‎ 则：①‎ ‎②‎ ‎①﹣②得：．‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．‎ ‎18. 如图，在四面体中，，点E是的中点，点F在线段上，且.‎ ‎（1）若平面，求实数的值；‎ ‎（2）求证：平面平面.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由线面平行的性质得出，可以判断点F为的中点，从而求出的值；‎ ‎（2）由，点E是的中点，得到，‎ - 29 -‎ ‎，由面面垂直的判断定理即可证明平面平面.‎ ‎【详解】（1）因为平面，得平面，‎ 平面平面，‎ 所以，‎ 又点E是的中点，点F在线段上，‎ 所以点F为的中点，‎ 由，得；‎ ‎（2）因为，点E是的中点，‎ 所以，，‎ 又，平面，平面，‎ 所以平面，‎ 又平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面平行的性质和面面垂直的证明，考查学生空间想象能力，属于基础题.‎ ‎19. 2020年，新冠状肺炎疫情牵动每一个中国人的心，危难时刻众志成城，共克时艰，为疫区助力．福建省漳州市东山县共101个海鲜商家及个人为缓解武汉物质压力，募捐价值百万的海鲜输送武汉．东山岛，别称陵岛，形似蝴蝶亦称蝶岛，隶属于福建省漳州市东山县，是福建省第二大岛，中国第七大岛，介于厦门市和广东省汕头之间，东南是著名的闽南渔场和粤东渔场交汇处，因地理位置发展海产品养殖业具有得天独厚的优势．根据养殖规模与以往的养殖经验，某海鲜商家的海产品每只质量（克）在正常环境下服从正态分布．‎ ‎（1）随机购买10只该商家的海产品，求至少买到一只质量小于265克该海产品的概率；‎ ‎（2）2020年该商家考虑增加先进养殖技术投入，该商家欲预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．现用以往的先进养殖技术投入（千元）与年收益增量（千元）．的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近，且 - 29 -‎ ‎，，其中．根据所给的统计量，求y关于x的回归方程，并预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．‎ 附：若随机变量，则;‎ 对于一组数据，其回归线斜率和截距的最小二乘估计分别为．‎ ‎【答案】（1）0.0129．（2），年收益增量为576.6千元．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由单只海产品质量，可知，表示，根据附加条件可得单次小于265g的概率，根据所求表示为10次独立重复试验，即，计算既得答案；‎ ‎（2）从已知条件中缕清需要的已知，其中，，即所求回归方程应为，所以由求得，再由求得，既得回归方程，代入，既得所预测收入值.‎ ‎【详解】解：（1）由已知，单只海产品质量，则，‎ 由正态分布的对称性可知，‎ ‎，‎ - 29 -‎ 设购买10只该商家海产品，其中质量小于265g的为X只，故，‎ 故，‎ 所以随机购买10只该商家的海产品，至少买到一只质量小于265克的概率为0.0129．‎ ‎（2）由，‎ 有，‎ 且，‎ 所以y关于x的回归方程为，‎ 当时，年销售量y的预报值千元．‎ 所以预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量为576.6千元．‎ ‎【点睛】本题考查统计案例的综合问题，涉及正态分布求概率以及由最小二乘法求回归方程，属于难题.‎ ‎20. 已知函数，，.‎ ‎（1）讨论的单调性：‎ ‎（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1），分，两种情况讨论；‎ ‎（2）不等式对任意恒成立，转化为对任意恒成立，令，只需求出的最大值即可.‎ ‎【详解】（1），‎ - 29 -‎ ‎，‎ ‎①当时，，所以在上单调递减；‎ ‎②当时，由，得，由，得，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（2）不等式对任意恒成立，即恒成立，‎ 因为，所以 令 令，，‎ 故在上单调递减，且，，‎ 故存在使得，‎ 即即，‎ 当时，，；‎ 当，，；‎ 所以，‎ 故实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立问题，在处理不等式恒成立问题时，通常构造函数，转化为函数的最值问题来处理，是一道较难的题.‎ ‎21.‎ 在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.‎ - 29 -‎ ‎(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；‎ ‎(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（I）（II）存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）利用直接法设，利用直线与的斜率之积等于，得到关于的方程，求得其轨迹方程；（2）根据题意设，点的坐标分别为三个点的坐标，再利用三角形的面积公式和点到直线的距离公式，求得和的面积，利用，进而得到关于的方程，求得点的坐标为．‎ 试题解析：（1）点的轨迹方程为； 5分 ‎（2）设点的坐标为，点的坐标分别为，‎ 则直线的方程为，‎ 直线的方程为．‎ 令，得，‎ 于是的面积， 8分 直线的方程为，，‎ 点到直线的距离，‎ - 29 -‎ 于是的面积， 10分 当时，得，‎ 又，所以，解得，‎ 因为，所以，‎ 故存在点使得与的面积相等，‎ 此时点的坐标为． 12分 考点：1．动点的轨迹方程；2．点到直线的距离公式和三角形的面积公式．‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按做的第一个题目计分．‎ ‎22. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，极坐标系中，弧所在圆的圆心分别为，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.‎ ‎（1）分别写出的极坐标方程；‎ - 29 -‎ ‎（2）直线的参数方程为（为参数），点的直角坐标为，若直线与曲线有两个不同交点，求实数的取值范围，并求出的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；；；，或（2），‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设弧上任意一点 根据ABCD是边长为2的正方形，AB所在的圆与原点相切，其半径为1，求得，同理求得其他弧所对应的极坐标方程.‎ ‎（2）把直线的参数方程和的极坐标方程都化为直角坐标方程，利用数形结合求解，把直线的参数方程化为直线的标准参数方程，直角坐标方程联立，再利用参数的几何意义求解.‎ ‎【详解】（1）如图所示： ‎ - 29 -‎ 设弧上任意一点 因为ABCD是边长为2的正方形，AB所在的圆与原点相切，其半径为1，‎ 所以 所以的极坐标方程为；‎ 同理可得：的极坐标方程为；‎ 的极坐标方程为；‎ 的极坐标方程为，或 ‎（2）因为直线的参数方程为 所以消去t得，过定点，‎ 直角坐标方程为 如图所示：‎ - 29 -‎ 因为直线与曲线有两个不同交点，‎ 所以 因为直线的标准参数方程为，代入直角坐标方程 得 令 所以 所以 - 29 -‎ 所以的取值范围是 ‎【点睛】本题主要考查极坐标方程的求法和直线与曲线的交点以及直线参数的几何意义的应用，还考查了数形结合思想和运算求解的能力，属于难题.‎ ‎23. 已知，，且.‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）证明：.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用基本不等式即可求得最小值；‎ ‎（2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证．‎ ‎【详解】（1），当且仅当“”时取等号，‎ 故的最小值为；‎ ‎（2），‎ 当且仅当时取等号，此时．‎ 故．‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题．‎ - 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