- 2.04 MB
- 2021-05-13 发布
高二数学月考试题
一、单项选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据对数函数的性质确定集合，由二次函数的性质确定集合，再由交集定义求解．
【详解】由题意，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查集合交集运算，考查对数函数与二次函数的性质，属于基础题．
2.已知是虚数单位，是关于的方程的一个根，则（ ）
A. 4 B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据实系数方程的虚数根成对出现得出另一个根，然后由韦达定理求出，
【详解】∵是关于的方程的一个根，∴方程的另一根为，
∴，，，∴．
故选：A．
【点睛】本题考查实系数方程的复数根问题，需掌握下列性质：实系数方程的虚数根成对出现，它们是共轭复数．
3.小明的妈妈为小明煮了 个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件，事件，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由题意，P（A）==，P（AB）==，
∴P（B|A）==，
故选B．
4.对具有线性相关关系的变量，有一组观测数据（），其回归直线方程是，且，则实数的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
因为，
所以，所以样本中心点的坐标为，
代入回归直线方程得，解得，故选C.
5.有红、黄、蓝三个小球放到7个不同的盒子里，每个盒子最多放两个球，放到同一个盒子的两球不考虑顺序，则不同的放法数为( )
A. 336 B. 320 C. 240 D. 216
【答案】A
【解析】
【分析】
分3个球分别放到不同盒子里及3个球中有2个球放到同一个盒子里两种情况求出放法种数，再根据分类加法规则相加即可得解.
【详解】3个球分别放到不同盒子里的放法有种；3个球中有2个球放到同一个盒子里的放法有种，所以总共有336种放法.
故选：A
【点睛】本题考查分类加法计数原理，简单的排列组合，属于基础题.
6.已知，为的导函数，则的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简f（x）＝，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B，D．再根据导函数的导函数小于0的x的范围，确定导函数在上单调递减，从而排除C，即可得出正确答案．
【详解】由f（x）＝，
∴，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D．
又，当﹣＜x＜时，cosx＞，∴＜0，
故函数y＝在区间 上单调递减，故排除C．
故选A．
【点睛】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，属于基础题．
7.已知函数，则使得成立的的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
把函数化为，代入不等式直接解对数不等式即可．
【详解】由已知，令∴不等式为，，∴，
即，，，∴，
∴，．
故选：B．
【点睛】本题考查解对数不等式和指数不等式，掌握对数函数与指数函数性质是解题关键．
8.已知方程在上有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得方程在上有两个不等的实数根，设，求得函数的导数和单调性，可得极值和最值，画出的图象，可得的不等式，即可求解.
【详解】由题意，方程在上有两个不等的实数根，
即为在上有两个不等的实数根，
即在上有两个不等的实数根，
设，则，
当时，，函数递减，
当时，，函数递增，
所以当时，函数取得最大值，且，
所以，解得，故选C.
【点睛】本题主要考查了函数与方程，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中把方程的根转化为在上有两个不等的实数根，利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.
二、多项选择题：木大题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则下列说法正确的是（ ）
A. 甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件
B. 甲的不同的选法种数为15
C. 已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是
D. 乙、丙两名同学都选物理的概率是
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据对立事件的概念可判断A；直接根据组合的意义可判断B；乙同学选技术的概率是可判断 C；根据相互独立事件同时发生的概率可判断D.
【详解】甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故A错误；
由于甲必选物理，故只需从剩下6门课中选两门即可，即种选法，故B正确；
由于乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是，故C错误；
乙、丙两名同学各自选物理的概率均为，故乙、丙两名同学都选物理的概率是，故D正确；
故选BD.
【点睛】本题主要考查了对立事件的概念，事件概率的求法以及相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.
10.2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令，防控就是责任.在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争.下图表展示了2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是（ ）
A. 16天中每日新增确诊病例数量呈下降趋势且19日的降幅最大
B. 16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数
C. 16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000
D. 19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据折线图中的数据变化趋势，逐项判断.
【详解】选项A，16天中每新增确诊病例数量有起伏，19日的降幅最大，而20日又上升，所以错误；
选项B，根据图象16天中每日新增确诊病例大部分小于新增疑似病例，因此16天中每日新增确诊病例中位数小于新增疑似病例的中位数，所以正确；
选项C，根据图象可得新增确诊、新增疑似、新增治愈病例最大值与最小值的差都大于2000人，所以正确；
选项D，2月14日至18日，新增治愈病例数量均明显小于新增确诊与新增疑似病例之和，所以错误.
故选：BC.
【点睛】本题考查折线统计图，根据折线图表示的数量，以及折线图上升和下降分析数量的增减变化情况是解题的关键，属于基础题.
11.下列说法正确的是（ ）
A. 若幂函数的图象过点，则
B. 命题：“，”，则的否定为“，”
C. “”是“”的充分不必要条件
D. 若与是相互独立事件，则与也是相互独立事件
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据幂函数的定义与性质，可判定A不正确；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定B是正确的；根据对数函数的性质和充分、必要条件的判定，可得C上正确的；根据事件的关系，可判定D不正确.
【详解】对于A中，设幂函数，因为幂函数的图象过点，可得，
解得，所以，则，所以A不正确；
对于B中，根据全称命题与存在性命题关系，可得命题：“，”，则的否定为“，”，所以B是正确的；
对于C中，由，则，即，所以，
所以充分性是成立的；
反之：例如：当，可得，即必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，所以C上正确的；
对于D中，若与是相互独立事件，则与不一定相互独立事件，所以D不正确.
故选：BC.
【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，其中解答中涉及到幂函数的图象与性质，全称命题与存在性命题的关系，对数函数的性质，以及事件的关系等知识点的应用，属于中档试题.
12.已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象的对称中心是（0，1） B. 函数在上是增函数
C. 函数是奇函数 D. 方程的解为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
选项A. ,通过判断函数为奇函数，得到的对称性.
选项B. 利用导数来判断的单调性.
选项C. ，则,得到结论.
选项D. 由选项A有的图象关于成中心对称，即,从而得到答案.
【详解】
选项A. 设，，则，
则函数为奇函数.所以的图象关于原点成中心对称.
所以的图象关于成中心对称，故A正确.
选项B. 由，则，
所以函数在上是增函数，故B正确.
选项C. ，则，函数不是奇函数，故C不正确.
选项D. 由选项A有的图象关于成中心对称，即,
由方程，则，即，故D正确.
故选：ABD
【点睛】本题考查函数的对称性和单调性的应用，应用对称性解方程，属于中档题.
三、填空题：本大题共4小题.
13.设，已知的实部是1，则的虚部为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
设，根据复数相等即可
【详解】解：设
因为
所以
则的虚部为
故答案为：
【点睛】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，是基础题．
14.已知随机变量服从正态分布，则_____.
【答案】8
【解析】
【分析】
由已知求得，再由得答案．
【详解】随机变量服从正态分布，，
则．
故答案为8
【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查方差的求法，是基础题．
15.杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书记载.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，它出现要比杨辉三角迟393年.那么，第15行第13个数是_____.（用数字作答）
【答案】455
【解析】
【分析】
将第1、2、3、4行中的数写为组合数形式，观察可得第n行第r个数为，则第15行第13个数为.
【详解】第1行：，，第2行：，第3行：，第4行：，
观察可得第n行第r个数为，
所以第15行第13个数为.
故答案为：455
【点睛】本题考查杨辉三角中所包含的二项式定理的性质，合情推理，属于中档题.
16.若函数的图象与轴相切，且（、为相邻整数），则的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
设切点坐标为，根据题意得出，可得出关于和的方程组，解出，即可求得结果.
【详解】设切点坐标为，
，，
由题意得，即，整理得，
构造函数，则函数在区间上单调递增，
且，，，，，因此，.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用函数图象的切线方程求参数，解题时要从两方面考虑：（1）切线的斜率为函数在切点处的导数值；（2）切点为函数图象和切线的公共点.考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.命题：不等式的解集是．命题：不等式在内恒成立，若和一真一假，求的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
先分别求出当命题，命题为真命题时，参数的范围，然后由和一真一假，分真假，假真求解的范围.
【详解】命题：不等式的解集是为真命题时.
，解不等式得．
所以所以命题为真命题时,
命题：不等式在内恒成立
因为,当且仅当时“=”成立．
所以命题为真命题时,．
因为，一真一假．
当真假时有
当假真时有．
综上所述：
【点睛】本题考查根据复合命题的真假求参数的范围和不等式恒成立问题，属于中档题.
18.南昌市在2018年召开了全球VR产业大会，为了增强对青少年VR知识的普及，某中学举行了一次普及VR知识讲座，并从参加讲座的男生中随机抽取了50人，女生中随机抽取了70人参加VR知识测试，成绩分成优秀和非优秀两类，统计两类成绩人数得到如左的列联表：
优秀
非优秀
总计
男生
a
35
50
女生
30
d
70
45
75
120
总计
（1）确定a,d的值；
（2）试判断能否有90%的把握认为VR知识测试成绩优秀与否与性别有关；
（3）现从该校测试成绩获得优秀的同学中按性别采用分层抽样的方法，随机选出6名组成宣传普及小组．从这6人中随机抽取2名到校外宣传，求“到校外宣传的2名同学中至少有1名是男生”的概率.
附：
0.25
015
0.10
0.05
0025
0.010
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
【答案】（1）；（2）没有；（3）
【解析】
【分析】
（1）结合题表信息，即可计算a,d，即可．（2）结合，代入数据，计算，判定，即可．（3）计算概率，可以从反面进行进展，计算总数，计算2人全部都是女生的总数，计算概率，即可．
【详解】（1），解得
（2）结合卡方计算方法可知n=120，得到而要使得概率为则90%,，不满足条件，故没有．
（3）结合a=15，结合分层抽样原理，抽取6人，则男生中抽取2人，女生抽取4人，则从6人中抽取2人，一共有，如果2人全部都是女生，则有，故概率为
.
【点睛】本道题考查了古典概率计算方法，考查了计算方法，考查了列联表，难度中等．
19.已知
（1）若，求的系数.
（2）当，时，求除以7所得的余数.
【答案】（1）70（2）6
【解析】
【分析】
（1）令，根据等式的特点，结合等比数列前项和公式求出、的值，进而求出的值，结合二项式的通项公式、组合数的性质进行求解即可；
（2）根据等比数列前项和公式，结合二项式定理进行求解即可.
【详解】（1）令，，
又，，所以，
故，∴，
因为的通项公式为：
所以的系数是
（2）当，时，
，
而
化简得：，因此除以7所得的余数6.
【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了等比数列前项和公式，考查了数学运算能力.
20.已知函数.
（1）若函数在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间及在上的最大值与最小值；
（2）若时，函数在区间[1，2]上不单调，求实数的取值范围.
【答案】（1）在单调递减，在单调递增，，（2）
【解析】
【分析】
（1）由求得，得，求得的单调性求得最值;
（2）由在区间上不单调等价于在上有解，分离求解即可.
【详解】（1）与直线垂直的直线斜率为2，
，则
则，（），
当时， ，递减；当时，，递增.
所以的单减区间为；的单增区间为.
因为在上减，在上增,又>
所以函数在上的最大值为， 最小值为
（2）若时，
若函数在区间上不单调，则在（1，2）有解.
即，设，，
所以在上单调递增， ,所以 .
【点睛】本题考查函数的单调性与最值，考查方程在给定区间有解问题，注意转化化归的应用，考查运算能力，是中档题
21.为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
直径
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合计
件数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100
经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.
（1）由以往统计数据知，设备的性能根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）；①；②；③，评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁.为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为
，试判断设备的性能等级
（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.
（i）若从设备的生产流水线上随意抽取2件零件，求恰有一件次品的概率；
（ii）若从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数分布列和数学期望.
【答案】（1）该设备的性能为丙级别（2）（i）（ii）详见解析，
【解析】
【分析】
（1）通过计算可得答案；
（2）（i）根据独立重复事件的概率公式计算可得答案；（ii）根据二项分布的概率公式计算可得分布列，根据期望公式即可得期望.
【详解】（1）由题意知道：，，，，，.
所以由图表知道：，
，
，
所以该设备的性能为丙级别；
（2）由图表知道：直径小于或等于的零件有2件，大于的零件有4件，共计6件.
（i）从设备的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为，所以恰有一件次品的概率为（或等于0.1128）；
（ii）从100件样品中任意抽取2件，次品数可能取值为0，1，2，
，，
.
所以，随机变量的分布列为
0
1
2
故.
【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题.
22.已知函数，其中．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数存在两个极值点，，且，证明：．
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【解析】
分析：（1）对m分类讨论求函数的单调区间.(2)先求出，再构造函数，，求它的范围.
详解：（1）函数定义域为，且，，
令，，
当，即时，，∴在上单调递减；
当，即时，由，解得，
，
若，则，∴时，，单调递减；
时，，单调递增；时，，单调递减；
若，则，∴时，，单调递减；时，，单调递增；
综上所述：时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
时，的单调递减区间为，，单调递增区间为；
时，的单调递减区间为．
（2）因为函数定义域为，且，
∵函数存在两个极值点，∴在上有两个不等实根，，
记，则∴，
从而由且，可得，，
∴ ，
构造函数，，
则，
记，，则，
令，得（，故舍去），
∴在上单调递减，在上单调递增，
又，，
∴当时，恒有，即，
∴在上单调递减，
∴，即，
∴．
点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性和函数的取值范围，意在考查学生对这些
基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是求出，其二是构造函数，，求它
的范围.