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- 2021-05-13 发布
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重庆市渝北区松树桥中学2019-2020学年
高二上学期第一次段考试题
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.已知为不同的平面,为不同的直线则下列选项正确的是（ ）
A. 若,则 B. 若,则
C. 若,则 D. 若,则
【答案】C
【解析】对于A选项，有可能异面，故错误；对于B选项，可能相交或异面，故错误；对于C选项，，显然故正确；对于D选项，也有可能，故错误.所以答案选C.
2.已知是平面的法向量，则下列也能作为平面的法向量的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】为平面的法向量 与共线的向量均可以作为平面的法向量，向量与共线，可以作为平面的法向量.
故选：D.
3.已知圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，则这个圆柱的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得：圆柱的底面半径为，母线长为
圆柱的表面积
故选：A.
4.纸制的正方体的展开图如图所示，展开后相应的面分别标记为1，2，3，4，5，6，则在原正方体“5”所在面相对应的面的数字是（ ）
A. 2 B. 3 C. 6 D. 4
【答案】A
【解析】以所在面为底面，将正方体还原如下图所示：
可知所在面为正方体上底面，则其对应的面的数字为
故选：A.
5.的斜二测直观图如图所示，则原的面积为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】D
【解析】由题意可得，
所以由，即.
故选：D.
6.正方体中,直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】作出相关图形，由于，所以直线与所成角即为直线与所成角，由于为等边三角形，于是所成角余弦值为，故答案选C.
7.已知圆锥的母线长为6，母线与底面所成角为60°，则此圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】圆锥母线长为，母线与底面所成角为
圆锥的高，底面半径
圆锥体积
故选：B.
8.在直三棱柱中，，，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】, 为边长为的等边三角形
，又平面
，
中边上的高，
设点到平面距离为
，解得：
故选：B.
9.在平行六面体，设，，，分别是，，的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
，故选：A.
10.如图所示，扇形的半径为2，圆心角为，若扇形绕旋转一周，则图中阴影部分绕旋转一周所得几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】阴影部分旋转一周以后所得的几何体为一个以为半径的半球减掉一个底面半径为，高为圆锥，几何体表面积
11.已知三棱锥中，平面，且，.则该三棱锥的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，，∴ 是以 为斜边的直角三角形，
其外接圆半径 ，则三棱锥外接球即为以为底面，以 为高的三棱柱的外接球，∴三棱锥外接球的半径满足 故三棱锥外接球的体积 故选D.
12.如图，在单位正方体中，点P在线段上运动，给出以下四个命题：
异面直线与间的距离为定值；
三棱锥的体积为定值；
异面直线与直线所成的角为定值；
二面角的大小为定值．
其中真命题有( )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】对于①，异面直线与间的距离即为两平行平面和平面间的距离，即为正方体的棱长，为定值．故①正确．
对于②，由于，而为定值，又P∈AD1，AD1∥平面BDC1，所以点P到该平面的距离即为正方体的棱长，所以三棱锥的体积为定值．故②正确．
对于③，由题意得在正方体中，B1C⊥平面ABC1D1，而C1P⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P，故这两条异面直线所成的角为．故③正确；
对于④，因为二面角P−BC1−D的大小，即为平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角的大小，而这两个平面位置固定不变，故二面角的大小为定值．故④正确．
综上①②③④正确．选D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.圆台的底半径为1和2，母线长为3，则此圆台的体积为________．
【答案】
【解析】∵圆台的底半径为1和2，母线长为3，
∴圆台高h==2，
∴此圆台体积V=（r2+R2+Rr）h=π．
故答案为π．
14.已知l∥α,且l的方向向量为u=(2,m,1),平面α的法向量为v=(1,,2),则m= .
【答案】-8
【解析】由l∥α可推出u⊥v,列出方程,求得m.
∵l∥α,∴u⊥v,∴u·v=0,
即2×1+m×+1×2=0,解得m=-8.
15.已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的_______．(填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”)
【答案】外心
【解析】过P作平面，连接，由于，
则，则，
点P在平面ABC内的射影是△ABC的外心.
16.如图，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点．下列命题正确的为_______________.
①存在点，使得//平面；
②对于任意的点，平面平面；
③存在点，使得平面；
④对于任意的点，四棱锥的体积均不变．
【答案】①②④
【解析】①当为棱上的一中点时，此时也为棱上的一个中点，此时//，满足//平面，故①正确；
②连结，则平面，因为平面，所以平面平面，故②正确；
③平面，不可能存在点，使得平面，故③错误；
④四棱锥的体积等于，设正方体的棱长为1.
∵无论、在何点，三角形的面积为为定值，三棱锥的高，保持不变，三角形的面积为为定值，三棱锥的高为，保持不变.
∴四棱锥的体积为定值，故④正确.
故答案为①②④.
三、填空题（17题10分，剩余每题12分，共70分）
17.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，点E、F分别是AB和PC的中点．
(1)求证：AB⊥平面PAD；
(2)求证：EF//平面PAD．
【解】（1）∵侧棱PA垂直于底面，∴PA⊥AB．又底面ABCD是矩形，∴AD⊥AB，
这样，AB垂直于平面PAD内的两条相交直线，∴AB⊥平面PAD．
（2）取CD的中点G，∵E、F分别是AB、PC的中点，∴FG是三角形CPD的中位线，
∴FG∥PD，FG∥面PAD．∵底面ABCD是矩形，∴EG∥AD，EG∥平面PAD．
故平面EFG∥平面PAD，∴EF∥平面PAD．
18.如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点.
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
【解】（1）证明：因为平面,所以；
因为底面是菱形，所以;
因为,平面,
所以平面.
（2）证明：因为底面是菱形且，
所以为正三角形，所以,
因为,所以；
因为平面，平面,所以；
因为，所以平面，
平面,所以平面平面.
19.如图，平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，
，，，．
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积．
【解】（1）取中点，连接
且
四边形平行四边形
平面，平面
平面， 平面
平面
（2）平面，平面
，
平面， 平面
20.如图，在三棱柱中，底面，，，，点，分别为与的中点.
（1）证明：平面.
（2）求与平面所成角的正弦值.
【解】（1）证明：如图，连接，.
在三棱柱中，为的中点.
又因为为的中点，所以.
又平面，平面，
所以平面.
（2）解：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，
则，令，得.
记与平面所成角为，则 .
21.如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面．
（1）证明：；
（2）若，，，求二面角的余弦值．
【解】（1）连接
四边形为菱形，，且
平面，平面，
平面，，平面
平面，
（2）作，垂足为，连接
四边形为菱形， 为等边三角形
又 ，
平面，平面
又，平面， 平面
平面
二面角的平面角为
，中点
，
二面角的余弦值为
22.长方形中，，是中点（图1）．将△沿折起，使得
（图2）在图2中：
（1）求证：平面平面；
（2）在线段上是否存点，使得二面角为大小为，说明理由．
【解】（1）在长方形中，连结，因为，是中点，
所以，从而，所以．
因为，，所以平面．
因为平面，所以平面 平面．
（2）因为平面 平面，交线是，
所以在面过垂直于的直线必然垂直平面．
以为坐标原点，为轴，为轴，
过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系．
设，则，，，．
设，则．
设是平面的法向量，则，即，
取，平取面的一个法向量是．
依题意，即，解方程得，或，
取，因此在线段上存点，使得二面角为大小为．