2018届二轮复习数列求和及综合应用课件（全国通用） 87页

第二讲　 数列求和及综合应用 【 知识回顾 】 1. 常用的拆项公式 ( 其中 n∈N * ) 2. 常见的求和方法 (1) 公式法求和 : 适合求等差数列或等比数列的前 n 项和 . 对等比数列利用公式法求和时 , 一定注意公比 q 是否取 1. (2) 错位相减法 主要用于求数列 { a n ·b n } 的前 n 项和 , 其中 { a n },{b n } 分别是等差数列和等比数列 . (3) 裂项相消法 把数列和式中的各项分别裂开后 , 消去一部分从而计 算和的方法 , 适用于求通项为 的数列的前 n 项和 . (4) 分组求和法 一个数列既不是等差数列 , 也不是等比数列 , 若将这个数列适当拆开 , 重新组合 , 就会变成几个可以求和的部分 , 分别求和 , 然后再合并 . 【 易错提醒 】 1. 裂项求和的系数出错 : 裂项时 , 把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误 . 2. 求通项公式忽略验证第一项致误 : 利用 a n = 忽略 n≥2 的限定 , 忘记第一项单独求解与检验 . 3. 求项数致误 : 错位相减法求和时 , 易漏掉减数式的最后一项 . 【 考题回访 】 1.(2016· 浙江高考 ) 如图 , 点列 { A n },{B n } 分别在某锐 角的两边上 , 且 |A n A n+1 |=|A n+1 A n+2 |,A n ≠A n+2 ,n∈N * , |B n B n+1 |=|B n+1 B n+2 |,B n ≠B n+2 ,n∈N * (P≠Q 表示点 P 与 Q 不 重合 ). 若 d n =| A n B n |,S n 为△ A n B n B n+1 的面积 , 则　 ( 　　 ) A.{S n } 是等差数列 B.{ } 是等差数列 C.{d n } 是等差数列 D.{ } 是等差数列 【 解析 】 选 A. 先求出三角形的面积 , 再利用等差数列的定义判断数列是否为等差数列 . 作 A 1 C 1 ,A 2 C 2 ,A 3 C 3 ,…, A n C n ,… 垂直于直线 B 1 B n , 垂足分别为 C 1 ,C 2 ,C 3 ,…, C n ,… 则 A 1 C 1 ∥A 2 C 2 ∥…∥ A n C n ∥…, 因为 |A n A n+1 |=|A n+1 A n+2 |, 所以 |C n C n+1 |=|C n+1 C n+2 |, 设 |A 1 C 1 |=a,|A 2 C 2 |=b,|B 1 B 2 |=c, 则 |A 3 C 3 |=2b-a,…,| A n C n |=(n-1)b-(n-2)a(n≥3), 所以 S n = c[(n-1)b-(n-2)a]= c[(b-a)n+(2a-b)], 所以 S n+1 -S n = c[(b-a)(n+1)+(2a-b)-(b-a)n-(2a-b)] = c(b-a), 又 S 1 = ac,S 2 = bc,S 3 = c(2b-a),S 2 -S 1 = c(b-a),S 3 -S 2 = c(b-a), 所以数列 {S n } 是等差数列 . 2.(2016· 浙江高考 ) 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n . 若 S 2 =4,a n+1 =2S n +1,n∈N * , 则 a 1 =________,S 5 =________. 【 解析 】 由题意得 ,a 1 +a 2 =4,a 2 =2a 1 +1, 解得 a 1 =1,a 2 =3, 再由 a n+1 =2S n +1,a n =2S n-1 +1(n≥2), 所以 a n+1 -a n =2a n ,a n+1 =3a n , 又 a 2 =3a 1 , 所以 a n+1 =3a n (n≥1), S 5 = =121. 答案 : 1 　 121 热点考向一 　求数列的通项公式 命题解读 : 主要考查等差数列与等比数列的定义、有关性质以及逻辑推理和各种变形能力 , 一直是高考的重点和热点 . 以选择题、填空题、解答题为主 . 【 典例 1】 (1)(2016· 武汉一模 ) 已知数列 {a n } 中 ,a 1 =3, 满足 , 则数列 {a n } 的通项公式为 ________. (2)(2016· 全国卷 Ⅲ) 已知各项都为正数的数列 {a n } 满足 a 1 =1, -(2a n+1 -1)a n -2a n+1 =0. ① 求 a 2 ,a 3 . ② 求 {a n } 的通项公式 . 【 解题导引 】 (1) 将 变形 , 构造等差数列求解 . (2)① 将 a 1 =1 代入递推关系式求得 a 2 , 将 a 2 的值代入递推关系式可求得 a 3 ;② 将已知的递推关系式进行因式分解 , 由题设条件可判断数列 {a n } 为等比数列 , 由此可求得数列 {a n } 的通项公式 . 【 规范解答 】 (1) 由 , 得 =2, 所以数列 { } 是首项为 , 公差为 2 的等差数列 . 所以 = +(n-1)×2=2n- , 所以 a n = . 答案 : a n = (2)① 由题意可得 a 2 = ,a 3 = . ② 由 -(2a n+1 -1)a n -2a n+1 =0, 得 2a n+1 (a n +1)=a n (a n +1). 因为 {a n } 的各项都为正数 , 所以 故 {a n } 是首项为 1, 公比为 的等比数列 , 因此 a n = 【 母题变式 】 1. 本例 (1) 改为 : 若数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 且 a 1 =1,a n+1 =3S n (n≥1), 求 a 6 的值 . 【 解析 】 因为 a n+1 =3S n , 所以 a n =3S n-1 (n ≥ 2), 两式相减得 ,a n+1 -a n =3a n , 即 =4(n≥2), 所以数列 a 2 ,a 3 ,a 4 ,… 构成以 a 2 =3S 1 =3a 1 =3 为首项 , 以 4 为公比的等比数列 , 所以 a 6 =a 2 ·4 4 =3×4 4 =768. 2. 本例 (1) 改为 : 已知数列 {a n } 中 ,a 1 =1,a n =2a n-1 +1 (n≥2), 求数列 {a n } 的通项公式 . 【 解析 】 由 a n =2a n-1 +1(n ≥ 2) 得 a n +1=2(a n-1 +1), 即 =2, 所以数列 {a n +1} 是首项为 2, 公比为 2 的等比数列 , 所以 a n +1=2 n , 所以 a n =2 n -1. 【 规律方法 】 求通项的常用方法 (1) 归纳猜想法 : 已知数列的前几项 , 求数列的通项公式 , 可采用归纳猜想法 . (2) 已知 S n 与 a n 的关系 , 利用 a n = 求 a n . (3) 累加法 : 数列递推关系形如 a n+1 = a n +f(n ), 其中数列 { f(n )} 前 n 项和可求 , 这种类型的数列求通项公式时 , 常用累加法 ( 叠加法 ). (4) 累乘法 : 数列递推关系形如 a n+1 = g(n)a n , 其中数列 { g(n )} 前 n 项积可求 , 此数列求通项公式一般采用累乘法 ( 叠乘法 ). (5) 构造法 :① 递推关系形如 a n+1 = pa n +q(p,q 为常数 ) 可化为 a n+1 + (p≠1) 的形式 , 利用 是以 p 为公比的等比数列求解 . ② 递推关系形如 a n+1 = (p 为非零常数 ) 可化为 的形式 . 【 题组过关 】 1.(2016· 合肥一模 ) 已知正项数列 {a n } 满足 a 1 =1, (n+2) -(n+1) +a n a n+1 =0, 则它的通项 a n =( 　　 ) 【 解析 】 选 B. 由 (n+2) -(n+1) +a n a n+1 =0, 可得 (n+2) =n+1, 又因为 a n >0, 所以 又 a 1 =1, 则 a n = ·…· ·a 1 2.(2016· 银川一模 ) 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 且 S n =4a n -3(n∈N * ). (1) 证明 : 数列 {a n } 是等比数列 . (2) 若数列 { b n } 满足 b n+1 = a n +b n (n∈N * ), 且 b 1 =2, 求数列 { b n } 的通项公式 . 【 解析 】 (1) 依题意 S n =4a n -3(n ∈ N * ), 当 n=1 时 ,a 1 =4a 1 -3, 解得 a 1 =1. 因为 S n =4a n -3, 则 S n-1 =4a n-1 -3(n≥2), 所以当 n≥2 时 ,a n =S n -S n-1 =4a n -4a n-1 , 整理得 a n = a n-1 . 又 a 1 =1, 所以 {a n } 是首项为 1, 公比为 的等比数列 . (2) 由 (1) 知 a n = 由 b n+1 = a n +b n (n∈N * ), 得 b n+1 -b n = 可得 b n =b 1 +(b 2 -b 1 )+(b 3 -b 2 )+…+(b n -b n-1 ) =2+ =3· -1(n≥2). 当 n=1 时也满足 , 所以数列 { b n } 的通项公式为 b n =3· -1(n∈N * ). 【 加固训练 】 1.(2016· 三亚二模 ) 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 且 a 1 =a 2 =1, 若 {nS n +(n+2)a n } 为等差数列 , 则 a n = 　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 A. 设 b n =nS n +(n+2)a n , 则数列 { b n } 为等差数 列 . 由 b 1 =4,b 2 =8, 可得 b n =4n, 则 b n =nS n +(n+2)a n =4n, 即 S n + a n =4. 当 n ≥ 2 时 ,S n -S n-1 + a n - a n-1 =0, 所以 a n = a n-1 , 即 2 · , 所以数列 是以 为公比 ,1 为首项的等比数列 , 则 即 a n = 2.(2016· 三亚一模 ) 设 S n 为等比数列 {a n } 的前 n 项和 . 若 a 1 =1, 且 3S 1 ,2S 2 ,S 3 成等差数列 , 则 a n =________. 【 解析 】 设等比数列 {a n } 的公比为 q(q ≠ 0), 依题意得 a 2 =a 1 q=q,a 3 =a 1 q 2 =q 2 ,S 1 =a 1 =1,S 2 =1+q,S 3 =1+q+q 2 . 又 3S 1 ,2S 2 ,S 3 成等差数列 , 所以 4S 2 =3S 1 +S 3 , 即 4(1+q)=3+1+q+q 2 , 所以 q=3(q=0 舍去 ), 所以 a n =a 1 q n-1 =3 n-1 . 答案 : 3 n-1 3.(2016· 成都一模 ) 已知数列 {a n } 满足 : =n 2 (n≥1,n∈N * ). (1) 求 a 1 ,a 2 及 a 2 016 . (2) 求数列 {a n } 的通项公式 . 【 解析 】 (1) 由 =n 2 (n ≥ 1,n ∈ N * ), 得 a 1 =1,a 2 = , =2 015 2 , 　① =2 016 2 , 　② 由② -①, 得 =2 016 2 -2 015 2 =4 031, 所以 a 2 016 = (2) 由 =n 2 (n≥1,n∈N * ), 得 =(n-1) 2 (n≥2,n∈N * ), 两式相减得 =n 2 -(n-1) 2 =2n-1(n≥2,n∈N * ), 所以 a n = (n≥2,n∈N * ). 当 n=1 时 ,a 1 =1 也满足上式 , 所以 a n = ( n∈N * ). 热点考向二 　求数列的前 n 项和 命题解读 : 试题一般设置两个问题 , 其中第一问考查等差、等比数列的基本运算 , 属于保分题 ; 第二问的区分度较大 , 一般与数列的求和有关 , 方法较灵活 , 主要是错位相减、裂项相消等方法 . 以解答题的形式出现 , 属于中、高档题目 . 命题角度一　裂项相消求和 【 典例 2】 (2015· 全国卷 Ⅰ) S n 为数列 {a n } 的前 n 项 和 . 已知 a n >0, +2a n =4S n +3. (1) 求 {a n } 的通项公式 . (2) 设 b n = , 求数列 { b n } 的前 n 项和 . 【 解题导引 】 (1) 由 +2a n =4S n +3 及 a n+1 =S n+1 -S n 确定 {a n } 的通项公式 . (2) 由 (1) 及 b n = 利用裂项法求和 . 【 规范解答 】 (1) 由 +2a n =4S n +3, 可知 +2a n+1 =4S n+1 +3. 可得 - +2(a n+1 -a n )=4a n+1 , 即 2(a n+1 +a n )= - =(a n+1 +a n )(a n+1 -a n ). 由于 a n >0, 可得 a n+1 -a n =2. 又 +2a 1 =4a 1 +3, 解得 a 1 =-1( 舍去 ),a 1 =3. 所以 {a n } 是首项为 3, 公差为 2 的等差数列 , 通项公式为 a n =2n+1. (2) 由 a n =2n+1 可知 b n = 设数列 { b n } 的前 n 项和为 T n , 则 T n =b 1 +b 2 +…+ b n 命题角度二　错位相减求和 【 典例 3】 (2016· 山东高考 ) 已知数列 {a n } 的前 n 项 和 S n =3n 2 +8n,{b n } 是等差数列 , 且 a n =b n +b n+1 . (1) 求数列 { b n } 的通项公式 . (2) 令 c n = 求数列 { c n } 的前 n 项和 T n . 【 解题导引 】 解答本题第 (2) 问 , 可拆解成两个小题 :① 若 c n = 求 c n .②{c n } 的前 n 项和为 T n , 求 T n . 【 解析 】 (1) 由题意知 , 当 n ≥ 2 时 ,a n =S n -S n-1 =6n+5. 当 n=1 时 ,a 1 =S 1 =11=6n+5. 所以 a n =6n+5. 设数列 { b n } 的公差为 d, 则 a 1 =2b 1 +d=11,a 2 =b 2 +b 2 +d=2b 1 +3d=17. 解得 b 1 =4,d=3, 所以 b n =4+(n-1)×3=3n+1. (2) 由 (1) 知 ,c n = =3( n+1) ·2 n+1 . 所以 T n =c 1 +c 2 +…+c n 两式相减 :-T n =3×[2×2 2 +2 3 +2 4 +…+2 n+1 -( n+1) ×2 n+2 ] =-3n·2 n+2 . 所以 T n =3n·2 n+2 . 【 规律方法 】 1. 分组求和中的分组策略 (1) 根据等差、等比数列分组 . (2) 根据正号、负号分组 . 2. 裂项相消的规律 (1) 裂项系数取决于前后两项分母的差 . (2) 裂项相消后前、后保留的项数一样多 . 3. 错位相减法的关注点 (1) 适用题型 : 等差数列 {a n } 与等比数列 { b n } 对应项相乘 ({ a n ·b n }) 型数列求和 . (2) 步骤 : ① 求和时先乘以数列 { b n } 的公比 ; ② 把两个和的形式错位相减 ; ③ 整理结果形式 . 【 变式训练 】 (2016· 漳州二模 ) 已知数列 {a n } 的前 n 项和是 S n , 且 S n + a n =1(n∈N * ). (1) 求数列 {a n } 的通项公式 . (2) 设 b n =log 4 (1-S n+1 )(n∈N * ), T n = 求使 T n ≥ 成立的最小的正整数 n 的值 . 【 解析 】 (1) 当 n=1 时 ,a 1 =S 1 , 由 S 1 + a 1 =1⇒a 1 = , 当 n≥2 时 , S n + a n =1①, S n-1 + a n-1 =1②, ①-②, 得 a n + a n - a n-1 =0, 即 a n = a n-1 , 所以 {a n } 是以 为首项 , 为公比的等比数列 . 故 a n = (2) 由 (1) 知 1-S n+1 = a n+1 = , b n =log 4 (1-S n+1 )=log 4 =-(n+1), 故使 T n ≥ 成立的最小的正整数 n 的值为 2014. 【 加固训练 】 (2016· 惠州一模 ) 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， 已知 a 1 =1 ， ， n∈N * . (1) 求 a 2 的值 . (2) 求数列 {a n } 的通项公式 . (3) 证明：对一切正整数 n ，有 【 解析 】 (1) 由题意，得 2S 1 =a 2 - -1- ， 又 S 1 =a 1 =1 ，所以 a 2 =4. (2) 当 n≥2 时， 2S n =na n+1 - n 3 -n 2 - n ， 2S n-1 =(n-1)a n - (n-1) 3 -(n-1) 2 - (n-1) ， 两式相减得 2a n =na n+1 -(n-1)a n -n 2 -n ， 整理得 (n+1)a n =na n+1 -n(n+1) ， 即 =1 ，又 =1 ， 故数列 是首项为 =1 ，公差为 1 的等差数列， 所以 =1+(n-1)×1=n ，所以 a n =n 2 ， 所以数列 {a n } 的通项公式为 a n =n 2 ， n∈N * . (3) = 所以对一切正整数 n ，有 热点考向三 　与数列求和有关的综合问题 命题解读 : 数列的综合应用主要体现在以下两点 : (1) 以等差、等比数列的知识为纽带 , 在数列与函数、方程、不等式的交汇处命题 , 主要考查利用函数观点解决数列问题以及用不等式的方法研究数列的性质 . (2) 数列与解析几何交汇的命题 , 往往会遇到递推数列 , 通常以解析几何作为试题的背景 , 从解析几何的内容入手 , 导出相关的数列关系 , 再进一步地解答相关的问题 . 试题难度大都在中等偏上 , 有时会以压轴题的形式出现 . 【 典例 4】 (1)(2016· 哈尔滨一模 ) 设 n∈N * ,a n 是曲线 y=x 2n+2 +1 在点 (1,2) 处的切线与 x 轴交点的横坐标 , 设 b n = , 则数列 { b n } 前 n 项和 S n =________. (2)(2016· 枣庄一模 ) 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 数 列 { b n } 的前 n 项和为 T n , 且有 S n =1-a n (n∈N * ), 点 ( a n ,b n ) 在直线 y= nx 上 . ① 求 T n ; ② 试比较 T n 和 2- 的大小 , 并说明理由 . 【 解题导引 】 (1) 根据导数的几何意义求出曲线的切线方程 , 从而得出数列 { b n } 的通项公式 , 利用裂项法求数列 { b n } 前 n 项和 . (2) 【 题目拆解 】 本题第①问可拆成三个小题 : ① 求 {a n } 的通项公式 ; ② 求 { b n } 的通项公式 ; ③ 求 T n . 【 规范解答 】 (1)y′=(2n+2)x 2n+1 , 曲线 y=x 2n+2 +1 在点 (1,2) 处的切线的斜率为 2n+2, 从而切线方程为 y-2 =(2n+2)·(x-1), 令 y=0, 解得切线与 x 轴交点的横坐 标 a n = , 则 b n = , 所以 S n = 答案 : (2)① 当 n=1 时 ,a 1 =S 1 =1-a 1 , 解得 a 1 = . 当 n≥2 时 ,a n =S n -S n-1 =(1-a n )-(1-a n-1 ), 则有 2a n =a n-1 , 即 所以数列 {a n } 是以 a 1 = 为首项 , 为公比的等比数列 . 所以 a n = ( n∈N * ). 因为点 ( a n ,b n ) 在直线 y= nx 上 , 所以 b n = na n = ② 令 B n =2- , 则 T n -B n = 所以当 n=1 时 ,T 1 -B 1 <0, 所以 T 1 0, 所以 T n > B n . 综上所述 , 当 n=1 时 , T n <2- ; 当 n=2 时 , T n =2- ; 当 n≥3 时 , T n >2- . 【 规律方法 】 数列与函数交汇问题的常见类型及解法 (1) 已知函数条件 , 解决数列问题 , 此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题 . (2) 已知数列条件 , 需构造函数 , 利用函数知识解决问题 , 解决此类问题一般要充分利用数列的范围、分式、求和方法对式子化简变形 . 另外 , 解题时要注意数列与函数的内在联系 , 灵活运用函数的思想方法求解 . 【 题组过关 】 1.(2016· 枣庄一模 ) 已知函数 f(x ) 满足 f(x+1)= + f(x)(x∈R ), 且 f(1)= , 则数列 { f(n)}(n∈N * ) 前 20 项 的和为　 ( 　　 ) A.305 　 B.315 C.325 　 D.335 【 解析 】 选 D. 因为 f(1)= ,f(2)= + , f(3)= + + ,…, f(n )= +f(n-1), 所以 { f(n )} 是以 为首项 , 为公差的等差数列 . 所以 S 20 = 2.(2016· 烟台二模 ) 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，点 在直线 y= 上 . 数列 { b n } 满足 b n+2 -2b n+1 +b n =0(n∈N * ) ，且 b 3 =11 ，前 9 项和为 153. (1) 求数列 {a n } ， { b n } 的通项公式 . (2) 设 c n = ，求数列 { c n } 的前 n 项和 T n . 【 解析 】 (1) 由题意，得 即 S n = 故当 n≥2 时，有 a n =S n -S n-1 当 n=1 时， a 1 =S 1 =6 ，且 n+5=6 ， 所以 a n =n+5(n∈N * ). 又由题意知 b n+2 -2b n+1 +b n =0 ， 即 b n+2 -b n+1 =b n+1 -b n (n∈N * ) ， 所以 { b n } 为等差数列， 于是 由 b 3 =11 ，得 b 7 =23 ， d= =3 ， 因此 b n =b 3 +3(n-3)=3n+2 ， 即 b n =3n+2(n∈N * ). (2)c n = 所以 T n =c 1 +c 2 +…+ c n 【 加固训练 】 1. 设等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 若 S 10 =0,S 15 =25, 则当 nS n 取最小值时 ,n= 　 ( 　　 ) A.5 　　　 B.6 　　　　 C.7 　　　　 D.8 【 解析 】 选 C. 设等差数列 {a n } 的公差为 d, 由题意得 解得 a 1 =-3,d= , 所以 S n =-3n+ 即 nS n = 令 f(n)= 则 f′(n)=n 2 - , 令 f′(n)=n 2 - >0, 得 n> , 令 f′(n)=n 2 - <0, 得 00) ，以点 (n ， f(n )) 为切点作函数图象的切线 l n (n∈N * ) ，直线 x=n+1 与函数 y= f(x ) 图象及切线 l n 分别相交于 A n ， B n ，记 a n =| A n B n |. (1) 求切线 l n 的方程及数列 {a n } 的通项公式 . (2) 设数列 { na n } 的前 n 项和为 S n ，求证： S n <1. 【 解析 】 (1) 对 f(x )=x+ (x>0) 求导，得 f ′ (x )=1- ，则切线 l n 的方程为： 即 y= . 易知 由 a n =| A n B n | 知 a n = (2) 因为 na n = 所以 S n =a 1 +2a 2 +…+ na n =