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- 2021-05-13 发布
专题1：基本初等函数（两课时）
班级 姓名
一、前测训练
1．已知函数f(x)＝，①若f(x)≥2，则x的取值范围为 ．②f(x)在区间[－1，3]的值域为 ．
答案：①[－，＋∞)；②[2，4].
2．①若f(x2＋1)＝x2，则f(x)＝ ．
②已知f[f(x)]＝9＋4x，且f(x)是一次函数，则f(x)＝ ．
答案：①x－1(x≥1)；②2x＋3或－2x－9．
3．①若二次不等式f(x)＜0的解集为(1，2)，且函数y＝f(x)的图象过点(－1，2)，则f(x)＝ ．
②已知f(x)＝－x2＋2x－2，x∈[t，t＋1]，若f(x)的最小值为h(t)，则h(t)＝ ．
答案：①x2－x＋；②．
4．①已知2≤()，则函数y＝()的值域为 ．
②设loga＜2，则实数a的取值范围为 ．
③已知函数y＝log(x2－2x＋2)，则它的值域为 ．
答案：①[，81]；②(0，)∪(1，＋∞)；③(－∞，0]．
5．①函数f(x)＝lgx－sinx零点的个数为 ．
②函数f(x)＝2x＋x－4零点所在区间为(k，k＋1 )，k∈N，则k＝ ．
答案：①3；②1.
二、方法联想
1．分段函数(与分段函数有关的解不等式与值域问题)．
方法1：分类讨论，按分段区间进行分类讨论，最后汇总(求并集)；
方法2：图象法，画出分段函数的图象，根据图象探讨不等式解集及值域问题．
变式:已知f(x)＝，则f[f(－1)]＝ ．
答案：0．(考查分段函数求值问题)
2．求函数解析式问题．
方法1：换元法、拼凑法；
方法2：待定系数法；
方法3：函数方程法．
变式：已知f(x)－2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)．
（答案:f(x)＝－x2＋x，考查利用函数方程法求函数解析式）
3．与二次函数有关问题．
(1) 求二次函数解析式问题:
方法:待定系数法:
一般设为三种形式：①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2) 二次函数在给定区间内的值域与最值问题:
方法: 结合图象，分区间讨论．
步骤: ①配方求对称轴（也可以用公式），画出草图(关注：对称轴，开口方向及给定区间)；
②结合图象，由函数的单调性，求出最值．若对称轴在给定区间内，则考虑顶点及端点的函数值，若对称轴不在给定区间内，则最值为端点的函数值．
4．与指(对)数、指(对)数函数有关问题:
（1）指(对)数方程与不等式问题：
方法1：转化为同底的指(对)数，利用指(对)数函数的单调性化简方程或不等式，与对数有关问题要注意定义域及转化过程中的等价性．
方法2：利用换元法，转化为代数方程或不等式．
变式：解不等式lg2x－lgx2－3≥0．
(答案：0＜x≤或x≥1000，考查利用换元法解指(对)不等式)．
（2）与指(对)数函数有关的值域问题，
方法1：复合函数法，转化为利用指(对)数函数的单调性；
方法2：换元法，转化为基本初等函数的复合函数来求．
5．函数零点的有关问题
(1)求函数的零点．
方法：解方程f(x)=0，方程的根即为对应函数的零点．
变式1: 若一次函数f(x)=ax＋b有一个零点为2，那么函数g(x)=bx2－ax的零点是 ．
(答案：0和－，考查求函数的零点)．
(2)判断零点的个数问题
方法1：解方程f(x)=0求出函数的零点，有几个解就有几个零点．
方法2: 零点的存在定理．
方法3：数形结合，函数零点与方程的根的关系进行转化，化为两个“恰当的函数”，根据函数图象的交点个数来判断函数零点个数．
注意 作函数图象的相对准确性和考虑特殊情况．
(3)确定函数f(x)的零点所在区间问题
方法1：零点的存在定理；
方法2：图象法．
变式2：函数f(x)＝2x＋x－4零点所在区间为(k，k＋1 )，k∈N，则k＝ ．
(答案：1，考查确定零点所在区间)
(4)零点是否存在问题：
方法1：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，求不等式确定参数的范围，
即解出x＝x0且满足x0∈A（定义域）；
方法2：分离参数转化为求值域；
方法3：数形结合法，先对解析式变形，在同一坐标系中，画出函数图象，再数形结合求解．
可能要用到一个结论：连续函数y＝f(x)在区间(a，b)上有f(a)f(b)＜0，则f(x)在(a，b)上至少存在一个零点．反之不一定成立．
推广：二次函数y＝f(x)在区间(a，b)上有f(a)f(b)＜0，则f(x)在(a，b)上存在唯一一个零点．
变式3：已知函数f(x)＝则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m
的取值范围是 ．
（答案：m≤0或m＞1，考查零点存在问题)
三、例题分析
例1.已知函数f(x)＝loga(8－2x)(a＞0，且a≠1).
（1）当a＝2时，求满足不等式f(x)≤2的实数x的取值范围；
（2）当a＞1时，求函数y＝f(x)＋f(－x)的最大值.
答案：（1）实数x的取值范围为[2，3).
（2）函数y＝f(x)＋f(－x)的最大值为loga49.
〖教学建议〗
（1）主要问题归类与方法：
1．解指(对)数不等式问题：
方法：①利用指(对)数函数的单调性，将不等式转化为代数不等式来解．
②换元法：转化为整式不等式，指（对）数必须先注意值（定义）域．
2．与指(对)数有关的函数值域：
方法：①考察对应函数(复合函数)的单调性，利用单调性处理．
②用换元法，转化为几个基本函数的值域问题．
（2）方法选择与优化建议：
对于问题1，学生一般会选择方法①，因为本题既含对数，也含有指数，用换元不能一次转化
为代数不等式，所以选择方法①．
对于问题2，学生一般会选择方法②，因为用换元法转化为几个基本函数的值域，处理比较方
便，所以选择方法①．
指数函数、对数函数的单调性受底数a的影响，解决与指、对数函数特别是单调性有关的问题时，首先要看底数的范围.
本题的易错点有两个，一是第一问中的“8－2x＞0”的定义域部分；二是第二问中函数y＝f(x)＋f(－x)的定义域.
例2.已知函数f(x)＝(a∈R)的定义域为R，求关于x的方程＝|a－1|＋1的根的取值范围.
答案：取值范围为[，18].
〖教学建议〗
（1）主要问题归类与方法：
1．已知函数的定义域，求参数的范围：
方法：与求函数的定义域的处理方法一致，将问题转化为已知不等式的解集，再利用对应方程的根已知，求参数的范围．
2．分段函数的值域：
方法：①利用函数的图象，求值域．
②分别求每个区间的值域，再求并集．
（2）方法选择与优化建议：
对于问题2，学生一般会选择方法②，在解答题中，需要解题过程，所以选择方法②．
本题的易错点是最后求得的x的取值范围应该两段函数的值域的并集.
例3. 已知函数f(x)＝a－.
（1）求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
（2）若f(x)＜2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数y＝f(x)在[m，n]上的值域是[m，n](m≠n)，求实数a的取值范围．
解：（1）f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
（2）a的取值范围为(－∞，3]．
（3）a的取值范围为{0}∪(2，＋∞)．
〖教学建议〗
（1）主要问题归类与方法：
1．讨论函数的单调性问题：
方法：①利用函数的图象；
②复合函数的单调性；
③利用函数单调性的定义．
④利用导函数来求函数的单调区间．
2．不等式恒成立问题：
方法：①分离变量转化为求函数的最值．
②直接求函数的最值，再解不等式；
③利用函数的图象，观察临界情况，再进行相应的计算．
3．已知函数的值域，求参数的取值：
方法：借助函数的图象了解函数单调性，再根据函数的单调性找最值来处理．
（2）方法选择与优化建议：
对于问题1，学生一般会选择方法③或④，因为本题是证明函数的单调性，方法①②不能用作
证明，所以选择方法③或④．
对于问题2，学生一般会选择方法①，因为本题分离变量较容易，而且对应函数的值域比较
容易求，所以选择方法①．
例4. 已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．
（1）求a和b的值；
（2）设h(x)＝f(f(x))－c，其中c∈[－2，2]，求函数y＝h(x)的零点个数．
解：（1）a＝0，b＝－3；
（2）有9 个零点．
〖教学建议〗
（1）主要问题归类与方法：
1．求函数的解析式问题:
方法：待定系数法，换元法，函数方程法
2．讨论函数的零点个数问题：
方法：解方程，图象法，零点的存在定理与单调性
（2）方法选择与优化建议：
对于第1小题，是常规问题，方法也非常清楚——待定系数法。
第2小题函数零点的个数问题，用解方程求解或零点的存在定理的方法显然不行，因为本题应用图象法来讨论。
用图象法的关键是转化为哪两个曲线的交点个数，且这两个曲线尽量满足: ①图像尽量为直线和曲线，②两个函数的图像都是曲线则必须保证图像都能够好画．
本题可以有两种考虑:一是直接画函数的y＝f(f(x))和y＝c，尽管y＝f(f(x))是9次函数，其图像还是能够画出来的，二是将问题分解成和t＝f(x
)，通过两个三次函数的图像来看解的个数问题．本题采用第二种想法，会简单些。
四、反馈练习
1.已知函数y＝f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝lgx，则f(f())的值等于 .
答案：lg2；(考查函数的奇偶性，对数运算)
2. 已知f(x)＝则不等式f(x2－x＋1)＜12的解集是________.
答案：(－1，2)；(考查分段函数及利用函数的单调性解不等式).
3.已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝ .
答案：－1；(考查函数的奇偶性)
4. 函数f(x)＝lnx＋2x－1零点的个数为_______________.
答案：1；(考查函数的图象，数形结合的思想方法).
5.已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．
答案：－；(考查分段函数的问题，解方程，分类讨论的思想).
6.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．
答案：c＝9；(考查二次函数的值域，一元二次不等式的解集).
7.已知函数f(x)＝(a≠1).①若a＞0，则f(x)的定义域是________；②若f(x)在区间(0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．
答案：①；②a＜0或1＜a≤3.
(考查函数的定义域，函数的单调性).
8. 已知函数f(x)＝log2(a－2x)＋x－2，若f(x)存在零点，则实数a的取值范围是____________．
答案：[4，＋∞)．（分离参数，函数有解问题转化为求函数的值域）
9.已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是________．
答案：[－2，0]；(考查函数的图象，数形结合的思想方法).
10. 已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2，2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，
则x的取值范围是________.
答案：(－2，)．（考查函数的单调性，不等式恒成立）
11.函数f(x)对任意的m，n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x＞0时，恒有f(x)＞1.
（1）求证：f(x)在R上是增函数；
（2）若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)＜2.
答案：（1）略；（2）a∈(－3，2)．
(考查用定义法证明函数的单调性，用函数的单调性解不等式).
12.已知f(x)是R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)．当－1≤x≤1，f(x)＝x3.
（1）求证：x＝1是函数y＝f(x)的一条对称轴；
（2）当x∈[1，5]时，求f(x)的表达式．
答案：（1）略；（2）f(x)的解析式为f(x)＝
(考查用定义证明函数的对称性，利用函数的奇偶性、周期性求函数的解析式).
13.设函数f(x)＝其中b＞0，c∈R.当且仅当x＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.
（1）求函数f(x)的表达式；
（2）若方程f(x)＝x＋a(a∈R)至少有两个不相同的实数根，求a的取值集合．
答案：(1)f(x)＝(2)实数a取值的集合为.
(考查求二次函数的解析式，方程解的个数问题，分类讨论及数形集合的思想方法).
14.已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0，1)对称．
（1）求f(x)的解析式；
（2）若g(x)＝f(x)·x＋ax，且g(x)在区间[0，2]上为减函数，求实数a的取值范围；
（3）若F(x)＝f(x)＋，F(x)在区间(0，2]上的值不小于6，求实数a的取值范围．
答案：(1)f(x)＝x＋； (2) (－∞，－4]； (3)a的取值范围为[7，＋∞)．
(考查变换求函数的解析式，函数的单调性，函数的最值，分离变量法求参数范围).