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- 2021-05-13 发布
专题12 让抽象函数不再抽象
考纲要求:
抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识.
函数的周期性、对称性一般与抽象函数结合，综合函数的其它性质一起考查.
函数的周期性要紧扣周期函数的定义.要注意，函数的周期性只涉及到一个函数.
函数的对称性比较复杂，要分清是一个函数的对称性，还是两个函数的对称性；分清是轴对称还是中心对称.
基础知识回顾:
一、解析式问题：
1.换元法：即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
2.凑配法：在已知的条件下，把并凑成以表示的代数式，再利用代换即可求.此解法简洁，还能进一步复习代换法。
3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.
5、方程组法：通过变量代换，构造方程组，再通过加减消元法消去无关的部分。
二、求值问题
三、定义域问题
四、值域问题
五、判断函数的奇偶性：
六、单调性问题
一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。
七、解抽象不等式（确定参数的取值范围）
八、对称性问题
九、周期问题
十.四类抽象函数解法
1、线性函数型抽象函数
线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。
2、指数函数型抽象函数
3、对数函数型抽象函数
对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。
4、幂函数型抽象函数
幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。
应用举例:
招数一：赋值法
【例1】【河南省南阳市第一中学2018届高三实验班第一次考试】为定义在上的不等于0的函数，，且任意，有，则下列式子中成立的是()
A.B.C.D.
【答案】A
招数二：函数的奇偶性和单调性的应用
【例2】定义在上的单调递减函数:
对任意都有，．
（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并证明之；
（Ⅱ）若对任意，不等式（为常实数）都成立，求的取值范围；（Ⅲ）设，，，
，．
若，，比较的大小并说明理由．
【答案】（Ⅰ）为上的奇函数；证明见解析（Ⅱ）（Ⅲ）；
（Ⅰ）解:为上的奇函数
证明：取得
∴
取得
即：对任意都有
∴
∴为上奇函数
（Ⅱ）∵
∴
∵在上单减
∴在上恒成立
∴
∴在上恒成立
在上恒成立
∴当时，
∴
即
同理：
∴。
招数三：抽象函数的周期性
【例3】【河南省南阳市第一中学2018届高三第一次考试】设定义在上的函数满足，若，则=__________．
【答案】.
考点：函数的周期性.
招数四：抽象函数综合题目
【例4】【湖北省荆州中学2018届高三第二次月考】已知函数满足：①对任意的，都有；②对任意的都有.则______________．
【答案】66
实战演练:
1．已知定义在上的函数满足，且，则（）
A.2B.－2C.1D.－1
【答案】A
【解析】,,函数的周期为，故，故选A.
2．已知函数是上的奇函数，当时为减函数，且，则=（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】∵奇函数满足f(2)=0,
∴f(−2)=−f(2)=0.
对于{x|f(x−2)>0},当x−2>0时,f(x−2)>0=f(2)，
∵x∈(0,+∞)时,f(x)为减函数，
∴00，f(1)＝－2.
(1)求f(2)的值；
(2)判断f(x)的单调性，并证明；
(3)若函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)，求不等式g(x)≤0的解集．
【答案】（1）f(2)＝－4；（2）见解析；（3）(0,2].
(3)由g(x)≤0得f(x－1)＋f(3－2x)≤0，
所以f(x－1)≤－f(3－2x)．
又f(x)满足f(－x)＝－f(x)，
所以f(x－1)≤f(2x－3)，
又f(x)在(－3,3)上单调递减，
所以解得0