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- 2021-05-13 发布
第章 数 列
第一节 数列的概念与简单表示法
[考纲传真] (教师用书独具)1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
(对应学生用书第78页)
[基础知识填充]
1．数列的有关概念
概念
含义
数列
按照一定顺序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
数列的通项
数列{an}的第n项an
通项公式
数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式
前n项和
数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和
2.数列的表示方法
列表法
列表格表示n与an的对应关系
图象法
把点(n，an)画在平面直角坐标系中
公式法
通项公式
把数列的通项使用公式表示的方法
递推公式
使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法
3.an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，
则an＝
4．数列的分类
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大小关系
递增数列
an＋1＞an
其中
n∈N*
递减数列
an＋1＜an
常数列
an＋1＝an
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( )
(2)一个数列中的数是不可以重复的．( )
(3)所有数列的第n项都能使用公式表达．( )
(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．( )
(5)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3( )
A．不是数列{an}中的项
B．只是数列{an}中的第2项
C．只是数列{an}中的第6项
D．是数列{an}中的第2项或第6项
D [令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6，
故3是数列{an}中的第2项或第6项．]
3．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为( )
A．15 B．16 C．49 D．64
A [当n＝8时，a8＝S8－S7＝82－72＝15.]
4．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5等于( )
A． B． C. D．
D [a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，
a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.]
5．(教材改编)数列1，，，，，…的一个通项公式an是__________．
[由已知得，数列可写成，，，…，故通项为.]
(对应学生用书第79页)
由数列的前几项归纳数列的通项公式
写出下面各数列的一个通项公式：
(1)3,5,7,9，…；
(2)－，，－，，…；
(3)，2，，8，，…；
(4)5,55,555,5 555，….
[解] (1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.
(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an＝(－1)n×，n∈N*.
(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即，，，，，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an＝.
(4)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝(10n－1)．
[规律方法] 1.求数列通项时，要抓住以下几个特征：
(1)分式中分子、分母的特征.
(2)相邻项的变化特征.
(3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征.
(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想.
2.若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸显出来.对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整，可代入验证归纳的正确性.
[跟踪训练] (1)已知n∈N*，给出4个表达式：
①an＝
②an＝；
③an＝；
④an＝.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是( )
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①③④
(2)数列{an}的前4项是，1，，，则这个数列的一个通项公式是an＝__________.
(1)A (2) [(1)检验知①②③都是所给数列的通项公式．
(2)数列{an}的前4项可变形为，，，，故an＝.]
由an与Sn的关系求通项an
已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：
(1)Sn＝2n2－3n；
(2)Sn＝3n＋b.
[解] (1)a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.
(2)a1＝S1＝3＋b，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.
当b＝－1时，a1适合此等式．
当b≠－1时，a1不适合此等式．
∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；
当b≠－1时，an＝
[规律方法] 已知Sn求an的三个步骤
(1)先利用a1＝S1求出a1.
(2)用n－1替换Sn中的n得出Sn－1，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式.
(3)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应写成分段函数的形式.
易错警示：利用an＝Sn－Sn－1求通项时，应注意n≥2这一前提条件，易忽视验证n＝1致误.
[跟踪训练] (1)(2017·石家庄质检(二))已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4(n∈N*)，则an＝( ) 【导学号：97190166】
A．2n＋1 B．2n
C．2n－1 D．2n－2
(2)(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.
(1)A (2)－ [(1)由Sn＝2an－4可得Sn－1＝2an－1－4(n≥2)，两式相减可得an＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．又a1＝2a1－4，a1＝4，∴数列{an}是以4为首项，2为公比的等比数列，则an＝4×2n－1＝2n＋1，故选A．
(2)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，
∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.
∵Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1.
又＝－1，∴是首项为－1，公差为－1的等差数列．
∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.]
由递推关系式求数列的通项公式
分别求出满足下列条件的数列的通项公式．
(1)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2(n∈N*)；
(2)a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)；
(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)．
[解] (1)∵an＋1－an＝3n＋2，
∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝(n≥2)．
当n＝1时，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公式，
∴an＝n2＋.
(2)当n≥2，n∈N*时，
an＝a1×××…×
＝1×××…×××＝n，
当n＝1时，也符合上式，
∴该数列的通项公式为an＝n.
(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
又a1＝1，∴a1＋1＝2，
故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，
∴an＋1＝2·3n－1，因此an＝2·3n－1－1.
[规律方法] 由数列的递推关系求通项公式的常用方法
(1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.
(2)已知a1(a1≠0)，且＝f(n)，可用“累乘法”求an.
(3)已知a1，且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为{an＋k}为等比数列.
易错警示：本题(1)，(2)中常见的错误是忽视验证a1是否适合所求式.
[跟踪训练] (1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋，求an.
【导学号：97190167】
(2)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2nan，求an.
[解] (1)an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝＋＋…＋＋＋2＝3－.
(2)由于＝2n，
故＝21，＝22，…，＝2n－1，
将这n－1个等式叠乘，
得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，故an＝2.