- 1.22 MB
- 2021-05-13 发布
高考总复习：二项分布与正态分布
【考纲要求】
一、二项分布及其应用
1、了解条件概率和两个事件相互独立的概念；
2、理解n次独立重复试验的模型及二项分布；
3、能解决一些简单的实际问题。
二、正态分布
利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。
【知识网络】
随机变量
二项分布
正态分布
离散型随机变量
【考点梳理】
考点一、条件概率
1．条件概率的定义
设A、B为两个事件，且P（A）＞0，称P（B|A）=P（AB）/P（A）为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。
要点诠释：
条件概率不一定等于非条件概率。若A，B相互独立，则P（B|A）=P（B）。
2．条件概率的性质
①0≤P（B|A）≤1；
②如果B、C是两个互斥事件，则P（B∪C|A）=P（B|A）+P（C|A）。
考点二、独立重复试验及其概率公式
1．事件的相互独立性
设A、B为两个事件，如果P（AB）=P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立。
2.判断相互独立事件的方法
(1)利用定义:
事件A、B相互独立，则P(AB)=P(A)·P(B)；反之亦然。
(2)利用性质:A与B相互独立,则与,与, 与也都相互独立.
(3)具体模型
①有放回地摸球,每次摸球结果是相互独立的.
②当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验.
要点诠释：
要明确“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的含义。已知两个事件A、B，则
A、B中至少有一个发生的事件为A∪B；
A、B都发生的事件为AB；
A、B都不发生的事件为；
A、B恰有一个发生的事件为∪；
A、B中至多有一个发生的事件为∪∪。
3．独立重复试验
（1）独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，即若用表示第次试验结果，则
（2）独立重复试验的概率公式
如果事件A在一次试验中发生的概率为P，那么n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为：
。
令得，在n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为
令得，在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为
要点诠释：
1．独立重复试验，是在同样的条件下重复的，各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次的试验结果只有两种，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。
2．独立重复试验是相互独立事件的特例（概率公式也是如此），就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样。
3．n次独立重复试验常见实例：
①反复抛掷一枚均匀硬币
②已知产品率的抽样
③有放回的抽样
④射手射击目标命中率已知的若干次射击
⑤反复投篮
考点三、二项分布
在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量，如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是，
于是得到随机变量的概率分布如下：
0
1
…
K
…
N
p
…
…
由于恰好是二项展开式中的各项的值，所以称这样的随机变量服从二项分布，记作～，其中n,p为参数，并记
若～，则，。
要点诠释：
二项分布是高中概率中最重要的概率分布模型，是近年高考非常重要的一个考点。二项分布概率模型的特点是“独立性”和“重复性”，事件的发生都是独立的、相互之间没有影响，事件又在相同的条件之下重复发生。但是在试题中，有的问题是局部的二项分布概率的模型问题，解题时要注意这种特殊情况。同时要记住二项分布概率模型的特点，在解题时把负号这种特点的概率问题归结到二项分布模型上面，直接根据二项分布概率模型公式解决。
考点四、正态分布
1.正态曲线及性质
（1）正态曲线的定义
函数其中实数和（>0）为参数，我们称
的图象（如图）为正态分布密谋曲线，简称正态曲线。
注：是正态分布的期望，是正态分布的标准。
（2）正态曲线的性质：
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x=对称；
③曲线在x=处达到峰值
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示；
⑥当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙表示。
2．正态分布
（1）正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a,b(a3)．
【思路点拨】首先分析题目重复抛掷一枚骰子5次，得到点数为6的次数记为ξ，可得到随机变量ξ～B（5，），则求ξ＞3可分为2种情况ξ=4与ξ=5，分别求出它们的概率再相加即可得到答案
【解析】依题意，随机变量ξ～B ．
∴P(ξ=4)==，P(ξ=5)==．
∴P(ξ>3)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=
【总结升华】本题考查二项分布概念性的试题，涵盖知识点少，计算量小，注意对基础知识的把握牢固。
【例13】在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是．
（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；
（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；
（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？
【解析】（Ⅰ）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.
依条件可知X~B(6，).
()
X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
5
6
P
所以=.
或因为X~B(6，)，所以. 即X的数学期望为4．
（Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，
则
答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为
（Ⅲ）设教师乙在这场比赛中获奖为事件B，
则.
即教师乙在这场比赛中获奖的概率为.
显然，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等．
举一反三：
【变式】一名学生骑自行车上学，从他的家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是独立的，并且概率都是。
(Ⅰ)求这名学生首次遇到红灯前，已经过了两个交通岗的概率；
(Ⅱ)求这名学生在途中遇到红灯数ξ的期望与方差。
【解析】
(Ⅰ)由于该学生在各交通岗遇到红灯的事件是独立的，利用相互独立事件的概率，
其首次遇到红灯前已经过了两个交通岗的概率．
(Ⅱ)依题意该学生在途中遇到红灯数ξ服从二项分布
则期望望，
方差
【例14】今年雷锋日，某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下：
高一年级
高二年级
高三年级
10人
6人
4人
（I）若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率；
（II）若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
【思路点拨】（I）利用古典概型的概率公式，求恰好有1人是高一年级学生的概率；
（II）确定的所有取值为0，1，2，3，4，求出相应的概率，从而可得随机变量的分布列和数学期望；利用随机变量服从二项分布，也可以求解。
【解析】（I）设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件，则
答：若从选派的学生中任选3人进行文明交通宣传活动，他们中恰好有1人是高一年级学生的概率为.
（II）解法1：的所有取值为0，1，2，3，4.由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为.所以
; ;
;;
.
随机变量的分布列为：
0
1
2
3
4
所以
解法2：由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为.
则随机变量服从参数为4，的二项分布，即～.
随机变量的分布列为：
0
1
2
3
4
所以
【思路点拨】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，解题的关键是确定变量的取值，求出相应的概率。
【例15】某批n件产品的次品率为1%，现从中任意地依次抽出2件进行检验，问：
（1）当n=100，1000，10000时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到一件次品的概率各是多少？（精确到0.00001）
（2）根据（1），谈谈你对超几何分布与二项分布关系的认识．某批n件产品的次品率为1%，现在从中任意地依次抽出2件进行检验，问：
【解析】（1）当n=100时，如果放回，这是二项分布．抽到的2件产品中有1件次品1件正品，其概率为 •0.01•0.99=0.0198．
如果不放回，这是超几何分布．100件产品中次品数为1，正品数是99，
从100件产品里抽2件，总的可能是，次品的可能是．
所以概率为=0.2．
当n=1000时，
如果放回，这是二项分布．抽到的2件产品中有1件次品1件正品，其概率为
•0.01•0.99=0.0198．
如果不放回，这是超几何分布．1000件产品中次品数为10，正品数是990，
从1000件产品里抽2件，总的可能是，次品的可能是．
所以概率为是≈0.0198．
如果放回，这是二项分布．抽到的2件产品中有1件次品1件正品，其概率为
•0.01•0.99=0.0198．
如果不放回，这是超几何分布．10000件产品中次品数为1000，正品数是9000，
从10000件产品里抽2件，总的可能是，次品的可能是．
所以概率为≈0.0198．
（2）对超几何分布与二项分布关系的认识：
共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败．
不同点：1、超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取；
2、超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”；
联系：当产品的总数很大时，超几何分布近似于二项分布．
【总结升华】本题考查二项分布和超几何分布的性质和应用，具有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答，注意区分超几何分布与二项分布的区别和联系。
类型五、正态分布的性质
【例16】若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为
(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；
(2)求正态总体在(－4,4]的概率．
【思路点拨】要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关。
【解析】(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由＝，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是
(2)P(－4110)＝(1－0.6826)＝0.1587，
∴P(ξ≥90)＝0.6826＋0.1587＝0.8413.
∴及格人数为2 000×0.841 3≈1 683(人)．
【总结升华】解决此类问题，首先要确定μ与σ的值，然后把所求问题转化到已知概率的区间上来，在求概率时，要注意关于直线x＝μ对称的区间上概率相等这一性质的应用。
举一反三：
【变式】工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布，问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间(3,5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？
【解析】∵X～，∴μ＝4，σ＝.
∴不属于区间(3,5]的概率为
P(X≤3)＋P(X>5)＝1－P(3