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- 2021-05-12 发布
河南省南阳市第一中学 2019-2020 学年
高二下学期第三次月考（6 月）（理）
一、单选题
1．若 服从正态分布 2(10, )N ，若 ( 11) 0.9P ，则 (| 10| 1)P （ ）
A． 0.1 B． 0.2 C． 0.4 D． 0.8
2．如图，在正方形OABC 内任取一点 M ，则点 M 恰好取自阴影部分
内的概率为（ ）
A． 1
4 B． 1
3 C． 2
5 D． 3
7
3．若 3 4
1
iz izi
（i是虚数单位），则| |z （ ）
A． 3
2 B．2 C． 5
2 D．3
4．已知 7 2 7
0 1 2 7x m a a x a x a x 的展开式中 4x 的系数是 35 ，则各项系数最
大的是（ ）
A． 0a B． 3a C． 4a D． 5a
5．对平面中的任意平行四边形 ABCD ，可以用向量方法证明：
2 2 2 22AC BD AB BC ， 若 将 上 述 结 论 类 比 到 空 间 的 平 行 六 面 体
1 1 1 1ABCD A B C D ，则得到的结论是（ ）
A． 2 2 2 2
1 1 2AC AC AB AD
B． 2 2 2 2 2
1 1 12AC BD AB AD AA
C． 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 13AC BD AC DB AB AD AA
D． 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 14AC BD AC DB AB AD AA
6．设 ( )f x 是 2 61( )2x x
展开式的中间项，若 ( )f x mx 在区间 2[ , 2]2
上恒成立，则实
数 m 的取值范围是（ ）
A．[0, ) B． 5[ , )4
C． 5[ ,5]4 D．[5, )
7．函数 1( ) ln 1f x x x
的图象大致是( )
A． B． C． D．
8．如图为我国数学家赵爽 ( 约 3 世纪初 ) 在为《周髀算经》作注时验
证勾股定理的示意图，现在提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规
定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则 ,A C 区域涂色不相
同的概率为 ( )
A． 1
7 B． 2
7 C． 3
7 D． 4
7
9．设函数 f x 在 R 上存在导函数 f x ，对任意的实数 x 都有 2f x f x x ，当
0 2 1x f x x 时， .若 1 2 1f a f a a ，则实数 a 的取值范围是( )
A． 1 ,2
B． 3 ,2
C． 1, D． 2,
10．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方
形 ABCD （边长为 2 个单位）的顶点 A 处，然后通过掷骰子来确定棋
子 沿 正 方 形 的 边 按 逆 时 针 方 向 行 走 的 单 位 ， 如 果 掷 出 的 点 数 为
( 1,2, ,6)i i ，则棋子就按逆时针方向行走 i个单位，一直循环下去.
则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点 A 处的所有不同走法共有（ ）
A．22 种 B．24 种 C．25 种 D．27 种
11．已知 7 2 8
0 1 2 8( 2) ( 1) ( 1) ( 1)x x a a x a x a x ，则 5 6a a ( )
A． 14 B．0 C．14 D． 28
12．若对任意的 1x ， 2 2,0x ， 1 2x x ，
1 2
2 1
1 2
x xx e x e ax x
恒成立，则 a 的最小值为( )
A． 2
3
e
B． 2
2
e
C． 2
1
e
D． 1
e
二、填空题
13．某种产品的加工需要 A，B，C，D，E 五道工艺，其中 A 必须在 D 的前面完成（不一
定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与 C 必须相
邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有____种.（用数字作答）
14．已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有 2
3
的概率解答正确，
且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的
概率_______
15．甲、乙两人被随机分配到 , ,A B C 三个不同的岗位（一个人只能去一个工作岗位）．记分
配到 A 岗位的人数为随机变量 X ，则随机变量 X 的数学期望 ( )E X _____．
16．已知函数 2
ln 2 , 0
3 , 02
x x x x
f x
x x x
，函数 1g x f x kx 有四个零点，则实数 k 的
取值范围是______．
三、解答题
17．已知曲线 C 的直角坐标方程是 122 yx ，把曲线 C 的点横坐标变为原来的 2 倍，
纵坐标不变，得到曲线 E，直线
1
:
3
x t
l
y t
（t 为参数）与曲线 E 交于 A，B 两点．
（1）设曲线 C 上任一点为 ,M x y ，求 3x y 的最小值；
（2）求出曲线 E 的直角坐标方程，并求出直线 l 被曲线 E 截得的弦 AB 长．
18．习近平总书记在十九大报告中指出,必须树立和
践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念,这将进一步推动新能源汽车产业的迅速
发展.以下是近几年我国某新能源乘用车的年销售量数据及其散点图:
年份 2015 2016 2017 2018 2019
年份代码
(x)
1 2 3 4 5
某新能源
车年销量 y
（万辆）
1.5 5.9 17.7 32.9 55.6
(1)请根据散点图判断,y=bx+a 与 中哪一个更适宜作为年销售量 关于年
份代码 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立 关于 的回归方程,并预测 2020 年我国某新能
源乘用车的销售量(计算过程精确到 0.01，最后结果精确到 ).
附:1.最小二乘法估计公式:
tbya
tt
yytt
b n
i
i
n
i
ii
,
)(
))((
1
2
1
参考数据： 72.22y ，
5
1
2 374)(
i
i ，
5
1
2.135))((
i
ii yyxx ，
5
1
2.851))((
i
ii yy （其中 2
ii x ）
19．设函数 2( ) 1xf x x e ax
（Ⅰ）若 a= 1
2
，求 ( )f x 的单调区间；
（Ⅱ）若当 x ≥0 时 ( )f x ≥0，求 a 的取值范围
20．2019 年 4 月，甲乙两校的学生参加了某考试机构举行的大联考，现对这两校参加考试
的学生的数学成绩进行统计分析，数据统计显示，考生的数学成绩 X 服从正态分布
(110,144)N ，从甲乙两校 100 分及以上的试卷中用系统抽样的方法各抽取了 20 份试卷，并
将这 40 份试卷的得分制作成如图所示的茎叶图：
（1）试通过茎叶图比较这 40 份试卷的两校学生数学成绩的中位数；
（2）若把数学成绩不低于 135 分的记作数学成绩优秀，根据茎叶图中的数据，判断是
否有 90% 的把握认为数学成绩在 100 分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有
关？
（3）从所有参加此次联考的学生中（人数很多）任意抽取 3 人，记数学成绩在 134 分
以上的人数为 ，求 的数学期望．
附：若随机变量 X 服从正态分布 2( , )N ，则 ( ) 0.6826P X ，
( 2P X 2 ) 0.9544 ， ( 3 3 ) 0.9974P X ≤ ．
参考公式与临界值表：
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
，其中 n a b c d ．
2
0( )P K k 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
0k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
21．设 )(1
3
1
2
11 *Nnnan ，是否存在一次函数 g(x)，使得
)1)((1321 nn angaaaa 对 n≥2 的一切自然数都成立，并试用数学归纳法证明
你的结论.
22．已知函数 ( ) ln 1, ( ) 4xf x x x g x ae （ e 为自然对数的底数， a R ）.
（1）求函数 ( )f x 在点 (2, (2))f 处的切线方程；
（2）若对于任意 1 0,1x ，存在 2 0,1x ，使得 1 2( ) ( )f x g x ，求 a 的取值范围；
（3）若 ( ) 2 ( ) 0f x x x g x 恒成立，求 a 的取值范围.
参考答案
一、选择题
1、D 2、B 3.C 4.B
5.【答案】D
如图所示的平行六面体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，
在平行四边形 ABCD 中， 2 2 2 22AC BD AB AD ①
在平行四边形 1 1ACC A 中， 2 2 2 2
1 1 12AC AC AC AA ②
在平行四边形 1 1BDD B 中， 2 2 2 2
1 1 12B D BD BD BB ③
②③相加，得
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 12 2AC AC B D BD AC AA BD BB ④
将①代入④，再结合 1 1AA BB 得，
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 14AC BD AC DB AB AD AA
6.D 7.B 8.【答案】D
提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，
根据题意，如图，设 5 个区域依次为 , , , ,A B C D E ,分 4 步进行分析：
① ，对于区域 A，有 5 种颜色可选；
② ，对于区域 B 与 A区域相邻，有 4 种颜色可选；
③ ，对于区域 E ，与 ,A B 区域相邻，有 3 种颜色可选；
④ ，对于区域 ,D C ，若 D 与 B 颜色相同，C 区域有 3 种颜色可选，
若 D 与 B 颜色不相同， D 区域有 2 种颜色可选，C 区域有 2 种颜色可选，
则区域 ,D C 有3 2 2 7 种选择，
则不同的涂色方案有5 4 3 7 420 种，
其中， ,A C 区域涂色不相同的情况有：
① ，对于区域 A，有 5 种颜色可选；
② ，对于区域 B 与 A区域相邻，有 4 种颜色可选；
③ ，对于区域 E 与 , ,A B C 区域相邻，有 2 种颜色可选；
④ ，对于区域 ,D C ，若 D 与 B 颜色相同，C 区域有 2 种颜色可选，
若 D 与 B 颜色不相同， D 区域有 2 种颜色可选，C 区域有 1 种颜色可选，
则区域 ,D C 有 2 2 1 4 种选择，
不同的涂色方案有5 4 3 4 240 种，
,A C 区域涂色不相同的概率为 240
4
4
20 7p ,故选 D．
9.【答案】A 详解：设 g x f x x （ ） （ ） ，则 0g x g x f x x f x x （ ） （ ） （ ） （ ） ，
∴ ,g x g x g x （ ）是偶函数．
当 0 2 1x f x x 时， .，
∴ g x（ ）在 0, 上是增函数，
∵ 1 2 1f a f a a ，
∴ 1 1f a a f a a ，
即 1g a g a （ ） （ ） ，
∴ 1a a ，
即 1
2a ．
10.D 详解：由题意知正方形 ABCD （边长为 2 个单位）的周长是8 ，
抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点 A处的表示三次骰子的点数之和是8,16 ，
列举出在点数中三个数字能够使得和为8,16 的有125;134;116;224;233;466;556 ，
共有 7 种组合，
前 2 种组合125;134 ，每种情况可以排列出 3
3 6A 种结果，
共有 3
32 2 6 12A 种结果；
116;224;233;466;556 各有3 种结果，共有5 3 15 种结果，
根据分类计数原理知共有12 15 27 种结果，故选 D.
11.B 解：由题知， 7 2 8
0 1 2 8( 2) ( 1) ( 1) ( 1)x x a a x a x a x ，
且 77( 2) 1 1 1 1x x x x ，
则 2 35 4
5 7 71 1 1 14a C C ，
1 26 5
6 7 71 1 1 14a C C ，
所以 5 6 14 14 0a a .
12.【答案】A 对任意的 1x ， 2 2,0x ， 1 2x x ，可知 1 2 0x x ，
则
1 2
2 1
1 2
x xx e x e ax x
恒成立等价于 21
1 22 1 ( )x xx e x e a x x ，即
1 2
1 2
x xe a e a
x x
，
令 ( )
xe af x x
，则函数 ( )
xe af x x
在 2,0 上为减函数，
∴
2
1( ) 0
xe x af x x
，∴ ( 1)xa e x ，
再令 (( )) 1xg e xx ， 2,0x ，∴ ( ) 0xg x xe ，
∴ ( )g x 在 2,0 上为减函数，∴ 2
3( ) ( 2)maxg x g e
，∴a 2
3
e
，
二、填空题
13、 24 14、 1
5 15、【答案】 2
3
由题意可得 X 的可能取值有 0，1，2
2 2 4( 0) 3 3 9P X
，
1
2 2 4 1 1( 1) , ( 2)3 3 9 3 3 9
CP X P X
则数学期望 4( ) 0 9E X 4 1 21 29 9 3
．
故答案为： 2
3
16、【答案】 1( 1, )2
1g x f x kx 有四个零点等价
于 y f x 与 1y kx 有四个不同的交点
当 0x 时， ln 2f x x x x ， ln 1f x x
当 0,x e 时， 0f x ；当 ,x e 时， 0f x
即 f x 在 0,e 上单调递减，在 ,e 上单调递增
minf x f e e
当 0x 时， 2 3
2f x x x ，此时 min
3 9
4 16f x f
由此可得 f x 图象如下图所示：
1y kx 恒过 0, 1 ，由图象可知，直线位于图中阴影部分时，有四个不同交点
即临界状态为 1y kx 与 f x 两段图象分别相切
当 1y kx 与 2 3 02f x x x x 相切时，可得： 1
2k
当 1y kx 与 ln 2 0f x x x x x 相切时
设切点坐标为 , ln 2a a a a ，则 ln 1k f a a
又 1y kx 恒过 0, 1 ，则 ln 2 1
0
a a ak a
即 ln 2 1ln 1 a a aa a
，解得： 1a 1k
由图象可知： 11, 2k
解答题
17、【答案】（1） 2 （2）
2
2 12
x y ； 8 2
7
解：（1）根据 2 2: 1C x y
得曲线 C 的参数方程 cos
sin
x
y
（ 为参数）
设 ( )cos ,sinM q q
∴ π3 cos 3sin 2sin 6x y
则当 π
6 2
，即 2
3
时， 3x y 取最小值为 2
（2）可得 E 方程：
2
2 12
x y ．
将直线l 的参数方程可化为标准形式
1 2
3
2
tx
y t
（t 为参数）
代入曲线 E 方程得： 27 4 4 0t t （A，B 处对应的参数为 1t ， 2t ）
∴
1 2
1 2
4
7
4
7
t t
t t
∴ 2
1 2 1 2 1 2
8 24 7AB t t t t t t ．
18、解：(1)根据散点图,
更适宜作为年销量 关于年份代码 的回归方程;………………4 分
(2) 依题意, 11 ,
5
1
5 2
1
851.2 2.28374
i i
i
i
i
y y
c
,……………………6 分
22.72 2.28 11 2.36d y c ,……………………8 分
22.28 2.36 2.28 2.36y x ……………………10 分
令 得 79.72y ,预测 2020 年我国某新能源乘用车的销量为 万辆.……12 分
19、【答案】 ( )f x 在 , 1 ， 0, 单调增加，在（-1，0）单调减少, ,1
（I）
( ) 1 ( 1)( 1).x x xf x e xe x e x
( , 1) , ( ) 0, ; ( 1,0) , ( ) 0 ; (0, ) , ( ) 0x f x x f x x f x 当 时 增当 时 ，减当 时 ，增.故
f(x)的单调增区间是（-∞，-1）和（0，+∞），单调减区间是（-1,0）
（II）
令
若
若 a>1，则当 为减函数，而
从而当
综合得 a 的取值范围为
20、【答案】（1）甲131.5，乙128.5；（2）没有 90％的把握；（3） 0.0684 .
（1）由茎叶图可知：甲校学生数学成绩的中位数为128 135 131.52
，乙校学生数学成绩的
中位数为 128 129 128.52
，所以这 40 份试卷的成绩，甲校学生数学成绩的中位数比乙校学
生数学成绩的中位数高．
（2）由题意，作出 2 2 列联表如下：
甲校 乙校 合计
数学成绩优秀 10 7 17
数学成绩不优秀 10 13 23
合计 20 20 40
计算得 2K 的观测值
240 (10 13 10 7) 0.9207 2.70620 20 17 23k
，
所以没有 90 0 0 的把握认为数学成绩在 100 分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校
有关．
（3）因为 ~ (110,144)X N ，所以 110 ， 144 12 ，
所以 (86 134) 0.9544P X ，所以 1 0.9544( 134) 0.02282P X ，
由题意可知 ~ (3,0.0228)B ，所以 3 0.0228 0.0684E ．
21 、
22、【答案】（1） 1 2 ln 22y x ；（2） 2a e
；（3） 2
1a e
.
（1） ( ) ln 1f x x x ， 1( ) 1f x x
， 1 1(2) 12 2f ，又
(2) ln 2 2 1 ln 2 3f ，
所以切线方程为： 1ln 2 3 ( 2)2y x ，即 1 ln 2 22y x ；
（2） 1 1( ) 1 xf x x x
， 0 1x 时， ( ) 0f x ， ( )f x 在 01，上单调递增，
(1) 2ln1 1 1 2f x f ，
由于对于任意 1 0,1x ，存在 2 0,1x ，使得 1 2( ) ( )f x g x ，则需 max max( ) ( )f x g x ，
( ) 4xg x ae
当 0a 时， ( ) 4g x ，不满足 max max( ) ( )f x g x ，故 0a ，
当 >0a 时， ( ) 4xg x ae 在 01，上单调递增， (1) 4g x g ae ，所以
2 4ae ( ) 4xg x ae ，解得 2a e
；
当 0a 时， ( ) 4xg x ae 在 01，上单调递减，所以 ( ) 4xg x ae 在 01，上没有最大值，
所以 0a 不满足，
综上可得， 2a e
;
(3)因为 00 xx> e >， ，所以由 ( ) 2 ( ) 0f x x x g x 得 ln 1,x
x xa ex
令
ln 1
x
x xh xex ，则
2
' +1 2 ln
x
x x
e
xh x x
，
令 2 ln ,m x x x 则 m x 在 0 +， 上单调递减，且 0 +x m x ， ，所以存在
唯一的零点 0x ，使得 0m x ，
即有 0 02 ln 0x x ，也即有 0 02 lnx x ， 02
0 ,xe x ，即 02
0
xe x e ，
所以 0 00 ( )>,x hx x ， 0 0> ), (x h xx ，所以 h x 在 00 x， 上单调递增，在 0x ，
上递减，所以 0h x h x ，
而 0 0 0 2
0 0 0 0
0
0 0 0
ln 1 2 1 1 1
x x x
x x x xh x x x xe e ee
，所以 2
1h x e
，
所以 2
1a e
.所以 a 的取值范围是 2 2
1 1[ , )a e e
即 .