高中数学人教a版必修4课时达标检测（二十七）两角和与差的正切公式 word版含解析 3页

课时达标检测（二十七）两角和与差的正切公式 一、选择题 1．已知 tan(α＋β)＝2 5 ，tan β－π 4 ＝1 4 ，那么 tan α＋π 4 等于( ) A.13 18 B.13 22 C. 3 22 D. 3 18 答案：C 2．已知1－tan α 1＋tan α ＝2，则 tan α＋π 4 的值是( ) A．2 B．－2 C.1 2 D．－1 2 答案：C 3．在△ABC 中，若 tan Atan B>1，则△ABC 的形状是( ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 答案：A 4.tan 10°＋tan 50°＋tan 120° tan 10°tan 50° 的值等于( ) A．－1 B．1 C. 3 D．－ 3 答案：D 5．(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值为( ) A．16 B．8 C．4 D．2 答案：C 二、填空题 6．计算：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°·tan 10°＝________. 答案：1 7．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β＝________. 答案：kπ－π 4 ，k∈Z 8．若 sin(θ＋24°)＝cos(24°－θ)，则 tan(θ＋60°)＝________. 答案：－2－ 3 三、解答题 9．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别 与单位圆交于 A，B 两点，已知 A，B 的横坐标分别为 2 10 ，2 5 5 . (1)求 tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值． 解：由条件得 cos α＝ 2 10 ，cos β＝2 5 5 . ∵α，β为锐角， ∴sin α＝ 1－cos2α＝7 2 10 ， sin β＝ 1－cos2β＝ 5 5 . 因此 tan α＝7，tan β＝1 2. (1)tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan α·tan β ＝ 7＋1 2 1－7×1 2 ＝－3. (2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β] ＝ tanα＋β＋tan β 1－tanα＋βtan β ＝ －3＋1 2 1－－3×1 2 ＝－1， 又∵α，β为锐角， ∴0<α＋2β<3π 2 ， ∴α＋2β＝3π 4 . 10．(四川高考)已知函数 f(x)＝2sin(1 3x－π 6)，x∈R. (1)求 f(5π 4 )的值； (2)设α，β∈[0，π 2]，f(3α＋π 2)＝10 13 ，f(3β＋2π)＝6 5 ，求 cos(α＋β)的值． 解：(1)∵f(x)＝2sin(1 3x－π 6)， ∴f(5π 4 )＝2sin(5π 12 －π 6)＝2sinπ 4 ＝ 2. (2)∵α，β∈[0，π 2]，f(3α＋π 2)＝10 13 ，f(3β＋2π)＝6 5 ， ∴2sin α＝10 13 ，2sin(β＋π 2)＝6 5 ， 即 sin α＝ 5 13 ，cos β＝3 5 ， ∴cos α＝12 13 ，sin β＝4 5 ， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝12 13 ×3 5 － 5 13 ×4 5 ＝16 65. 11．设向量 a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)． (1)若 a 与 b－2c 垂直，求 tan(α＋β)的值； (2)若 tan αtan β＝16，求证：a∥b. 解：(1)由 a 与 b－2c 垂直，得 a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝0， ∴4cos αsin β＋4sin αcos β－2(4cos αcos β－4sin α·sin β)＝0，即 4sin(α＋β)－8cos(α＋β) ＝0， ∴tan(α＋β)＝2. (2)证明：由 tan αtan β＝16， 得 sin αsin β＝16cos αcos β， 即 4cos α·4cos β－sin αsin β＝0， ∴a∥b.