2012年福建高考试题（理数解析版） 14页

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）‎ 数学（理科）‎ ‎【整理】佛山市三水区华侨中学 骆方祥 第I卷（选择题 共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 1. 若复数满足，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ 考点：复数的运算。‎ 难度：易。‎ 分析：本题考查的知识点为复数的计算，直接套用复数运算公式即可。‎ 解答：‎ ‎。‎ 2. 等差数列中，，则数列的公差为（ ）‎ A．1 B．‎2 ‎‎ C．3 D．4‎ 考点：等差数列的定义。‎ 难度：易。‎ 分析：本题考查的知识点为复等差数列的通项公式。‎ 解答：。‎ 3. 下列命题中，真命题是（ ）‎ A． B．‎ C．的充要条件是 D．是的充分条件 考点：逻辑。‎ 难度：易。‎ 分析：本题考查的知识点为复逻辑中的充要条件的判定。‎ 解答：A中，。‎ ‎ B中，，。‎ ‎ C中，的充要条件是。‎ ‎ D中，可以得到，当时，不一定可以得到。‎ 1. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）‎ A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱 考点：空间几何体的三视图。‎ 难度：易。‎ 分析：本题考查的知识点为空间几何体的三视图，直接画出即可。‎ 解答：圆的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆；‎ 三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形；‎ 正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形；‎ 圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆。‎ 2. 下列不等式一定成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 考点：不等式及基本不等式。‎ 难度：中。‎ 分析：本题考查的知识点为不等式的性质及基本不等式的性质。‎ 解答：A中，。‎ ‎ B中，；。‎ ‎ C中，。‎ ‎ D中，。‎ 3. 如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 考点：积分的计算和几何概型。‎ 难度：中。‎ 分析：本题考查的知识点为公式法计算积分和面型的几何概型。‎ 解答：，‎ ‎。‎ ‎ 所以。‎ 1. 设函数，则下列结论错误的是（ ）‎ A．的值域为 B．是偶函数 C．不是周期函数 D．不是单调函数 考点：分段函数的解析式及其图像的作法。‎ 难度：中。‎ 分析：本题考查的知识点为分段函数的定义，单调性、奇偶性和周期性的定义和判定。‎ 解答：A中，由定义直接可得，的值域为。‎ ‎ B中，定义域为，，所以为偶函数。‎ ‎ C中，，所以可以找到1为的一个周期。‎ ‎ D中，，所以不是单调函数。‎ 2. 双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）‎ A． B． C．3 D．5‎ 考点：双曲线的定义。‎ 难度：中。‎ 分析：本题考查的知识点为双曲线的定义，焦点，渐近线，抛物线的定义。‎ 解答：抛物线的焦点为。‎ ‎ 双曲线中，。‎ ‎ 双曲线渐近线方程为。‎ ‎ 所以焦点到渐近线的距离。‎ 1. 若直线上存在点满足约束条件，则实数的最大值为（ ）‎ A． B．‎1 C． D．2‎ 考点：线性规划。‎ 难度：中。‎ 分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像。‎ 解答：可行域如下：‎ 所以，若直线上存在点满足约束条件，‎ 则，即。‎ 2. 函数在上有定义，若对任意，有，则称在上具有性质。设在[1,3]上具有性质，现给出如下命题：‎ ‎①在上的图像时连续不断的；‎ ‎②在上具有性质；‎ ‎③若在处取得最大值1，则，；‎ ‎④对任意，有。‎ 其中真命题的序号是（ ）‎ A．①② B．①③ C．②④ D．③④‎ 考点：演绎推理和函数。‎ 难度：难。‎ 分析：本题考查的知识点为函数定义的理解，说明一个结论错误只需举出反例即可，说明一个结论正确要证明对所有的情况都成立。‎ 解答：A中，反例：如图所示的函数的是满足性质的，但不是连续不断的。‎ ‎ B中，反例：在上具有性质，在上不具有性质。‎ ‎ C中，在上，，‎ ‎，‎ 所以，对于任意。‎ ‎ D中，‎ ‎。 ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。‎ 1. 的展开式中的系数等于8，则实数_________。【2】‎ 考点：二项式定理。‎ 难度：易。‎ 分析：本题考查的知识点为二项式定理的展开式，直接应用即可。‎ 解答：中含的一项为，令，则，即。‎ 1. 阅读右图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的值等于_____________________。【】‎ 考点：算法初步。‎ 难度：易。‎ 分析：本题考查的知识点为算法中流程图的读法，直接根据箭头的指向运算即可。‎ 解答： ；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ 结束。‎ 2. 已知的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_________。【】‎ 考点：等比数列和余弦定理。‎ 难度：易。‎ 分析：本题考查的知识点为等比数列的定义和余弦定理的应用。‎ 解答：设三边为，‎ ‎ 则可得所对的边最大，‎ 且。‎ 3. 数列的通项公式，前项和为，则 ___________。【3018】‎ 考点：数列和三角函数的周期性。‎ 难度：中。‎ 分析：本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和，所以先要找出周期，然后分组计算和。‎ 解答： ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ 所以。‎ 即。‎ 1. 对于实数，定义运算“”：，设，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是_____。【】‎ 考点：演绎推理和函数。‎ 难度：难。‎ 分析：本题考查的知识点为新定义的理解，函数与方程中根的个数。‎ 解答：由题可得，‎ ‎ ‎ ‎ 可得，‎ ‎ 且 ‎ 所以时，，‎ 所以。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ 1. ‎（本小题满分13分）‎ ‎ 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下： ‎ 将频率视为概率，解答下列问题：‎ ‎（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；‎ ‎（II）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为，生产一辆乙品牌轿车的利润为，分别求，的分布列；‎ ‎（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。‎ ‎ 考点：统计概率及随机变量。‎ 难度：易。‎ 分析： ‎ 解答：‎ ‎（I）首次出现故障发生在保修期内的概率为 ‎（II）随机变量的分布列为 随机变量的分布列为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（III）(万元)‎ ‎ (万元)‎ ‎ 所以应该生产甲品牌汽车。‎ 1. ‎（本小题满分13分）‎ 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）；‎ ‎（5）。‎ ‎ （I）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎（II）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。‎ 考点：三角恒等变换。‎ 难度：中。‎ 分析： ‎ 解答：‎ ‎（I）选择（2）：‎ ‎（II）三角恒等式为：‎ ‎ （lby lfx）‎ 2. ‎（本小题满分13分）‎ 如图，在长方体中，，为中点。‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由。‎ ‎（Ⅲ）若二面角的大小为，求的长。‎ 考点：立体几何。‎ 难度：中。‎ 分析： ‎ 解答：‎ ‎（Ⅰ）长方体中，‎ ‎ 得：面 面 ‎（Ⅱ）取的中点为，中点为，连接 ‎ 在中，面 ‎ 此时 ‎（Ⅲ）设，连接，过点作于点，连接 ‎ 面，‎ ‎ 得：是二面角的平面角 ‎ 在中，‎ ‎ 在矩形中，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 得：‎ 1. ‎（本小题满分13分）‎ 如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率。过的直线交椭圆于两点，且的周长为8。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程。‎ ‎（Ⅱ）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点。试探究：‎ ‎ 在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。‎ 考点：三角恒等变换。‎ 难度：难。‎ 分析： ‎ 解答：‎ ‎（Ⅰ）设 ‎ 则 ‎ 的周长为 ‎ 椭圆的方程为 ‎（Ⅱ）由对称性可知设与 ‎ ‎ ‎ 直线 ‎ （*）‎ ‎ （*）对恒成立， 得 1. ‎（本小题满分14分）‎ 已知函数 ‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）试确定的取值范围，使得曲线上存在唯一的点，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点。‎ 考点：导数。‎ 难度：难。‎ 分析： ‎ 解答：‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎ 由题意得：‎ ‎ ‎ ‎ 得：函数的单调递增区间为，单调递减区间为 ‎（Ⅱ）设； 则过切点的切线方程为 ‎ 令；则 ‎ 切线与曲线只有一个公共点只有一个根 ‎ ，且 ‎ （1）当时，‎ ‎ 得：当且仅当时，‎ ‎ 由的任意性，不符合条件（lby lfx）‎ ‎ （2）当时，令 ‎ ①当时，‎ ‎ 当且仅当时，在上单调递增 ‎ 只有一个根 ‎ ②当时，‎ ‎ 得：，又 ‎ 存在两个数使，‎ ‎ 得：又 ‎ 存在使，与条件不符。‎ ‎ ③当时，同理可证，与条件不符 ‎ 从上得：当时，存在唯一的点使该点处的切线与曲线只有一个公共点 ‎ ‎ 1. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑，并将所选题号填入括号中。‎ ‎（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 设曲线在矩阵 对应的变换作用下得到的曲线为。‎ ‎（Ⅰ）求实数的值。 （Ⅱ）求的逆矩阵。‎ 解：（Ⅰ）设曲线上任一点在矩阵对应变换下的像是 ‎ ‎ 则 ‎ 得：‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得：‎ ‎ ‎ ‎【考点定位】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查转化化归思想.‎ ‎（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为几点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线上两点的极坐标分别为，圆的参数方程为参数）。‎ ‎（Ⅰ）设为线段的中点，求直线的平面直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）判断直线与圆的位置关系。‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意知，因为是线段中点，则 因此直角坐标方程为：‎ ‎（Ⅱ）因为直线上两点 ‎∴垂直平分线方程为：，圆心，半径.‎ ‎,故直线和圆相交.‎ ‎【考点定位】本题主要考查极坐标与参数方程的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查转化化归思想。‎ ‎（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知函数，且的解集为。‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，且，求证：。‎ ‎【解析】（1）∵，‎ ‎∴ ‎ ‎ （2）由（1）知,由柯西不等式得（lby lfx）‎ ‎【考点定位】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基本知识，考查运算求解能力，考查化归转化思想