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- 2021-05-12 发布
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2019—2020学年上学期期中考试卷
高一数学
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若集合M={1,2}，N={2,3},则=（ ）
A. {2} B. {1} C. {1,2,3} D. {1,2}
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用交集运算得到结果.
【详解】∵集合M={1,2}，N={2,3},
∴，
故选：A
【点睛】本题考查交集的概念及运算，属于基础题.
2.关于集合下列正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据元素和集合的关系进行判断即可．
【详解】解：，故A错；，故B错，，故C错，，故D正确.
故选：D
【点睛】本题主要考查元素和集合关系的判断，比较基础，正确理解N，Z，R，集合的意义是解决本题的关键．
3.函数的定义域是 （▲）
A. ； B. ； C. ； D. （－1，0）
【答案】C
【解析】
试题分析：要满足函数有意义，需满足，定义域为（－1，＋∞）
考点：函数定义域
4.下列函数中，是同一函数的是（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】D
【解析】
逐一考查所给函数的性质：
A．与函数对应关系不一致，不是同一个函数；
B．两函数的对应关系不一致，不是同一个函数；
C．函数的定义域为，函数的定义域为R，不是同一个函数；
D．函数与定义域和对应关系都相同，是同一个函数.
本题选择D选项.
点睛：判断两个函数是否为相同函数．一是定义域是否相同，二是对应关系即解析式是否相同(注意解析式可以等价化简).
5.若，，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：
考点：函数单调性与比较大小
6.幂函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）
A. m＞n＞p B. m＞p＞n C. n＞p＞m D. p＞n＞m
【答案】C
【解析】
【分析】
在区间（0，1）上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；在区间（1，+∞）上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴．在第一象限作出幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp的图象，数形结合能求出结果．
【详解】解：在第一象限作出幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp的图象．
在（0，1）内取同一值x0，
作直线x＝x0，与各图象有交点．
则“点低指数大”，
如图，知0＜p＜1，﹣1＜m＜0，n＞1，
∴n＞p＞m
故选：C．
【点睛】本题考查幂函数的图象的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意数形结合思想的合理运用．
7.函数的一个零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出根据零点存在性定理得解.
【详解】由题得，
，
所以
所以函数的一个零点所在的区间是.
故选B
【点睛】本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
8.函数的值域为（ ）
A. [0,3] B. [-1,0] C. [-1,3] D. [0,2]
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：二次函数对称轴为，此时取得最小值，当时取得最大值3,故选C.
考点：二次函数最值
9.下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ）
A. （x＞0） B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质即可作出判断.
【详解】（x＞0）在其定义域内是增函数，但不是奇函数，故A不满足条件；
是奇函数，但在定义域内不是增函数，故B不满足条件；
在其定义域内增函数，但不是奇函数，故C不满足条件；
在其定义域内既是增函数又是奇函数，故D满足条件.
故选：D
【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数单调性的判断，是函数图象和性质的综合应用，熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解答的关键．
10.若，则的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. -1 D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分段函数的对应法则，即可得到结果.
【详解】∵，
∴
∴，
故选：D.
【点睛】本题考查分段函数的应用，考查学生对法则的理解，属于基础题.
11.已知函数（其中），若的图像如右图所示，则函数的图像大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据的图像，得到，，进而可得出结果.
【详解】由图像可知，，，观察图像可知，答案选A．
【点睛】本题主要考查二次函数图像，指数函数图像，熟记函数性质即可，属于常考题型.
12.方程的解集为M，方程的解集为N，那么M与N的关系是（ ）
A. N⊊M B. M⊊N C. M=N D. M∩N=
【答案】B
【解析】
【分析】
解对数方程，我们可以求出集合M，解指数方程，我们可以求出集合N，进而根据集合包含关系的判定方法，易判断出集合M，N的关系．
【详解】解：∵log2x+log2（x﹣1）＝1，∴log2（x2﹣x）＝1，
即x2﹣x＝2，解得x＝﹣1，或x＝2，
又∵x＞0，x﹣1＞0，∴函数的定义域是x＞1，
M＝{2}；
若，∴2x＝4，或2x，解得x＝2，x＝0，即N＝{0，2}
故M⊊N，
故选：B．
点睛】本题考查的知识点是对数方程的解法，指数方程的解法，其中解对应的指数方程和对数方程，求出集合M，N是解答本题的关键．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．
13.函数(a>0且a≠1)的图象经过的定点的坐标是_____
【答案】
【解析】
由函数图象的变换可知，的图象过定点，的图象过定点，的图象过定点，
所以，的图象过定点．
考点：指数函数的图象，函数图象的平移、伸缩变换．
14.方程的解组成集合A，则A=_________（要求用列举法表示）．
【答案】
【解析】
【分析】
解二次方程，用列举法表示集合.
【详解】∵，
∴，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查集合的表示方法：列举法，考查二次方程的解法，属于基础题.
15.化简且_________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用指数幂的运算性质即可得出．
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
16.已知函数满足，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】
记，且为奇函数，则.
【详解】记，且为奇函数，
∴，
∴，即，
而，
故答案为：
【点睛】本题考查奇偶性的应用，考查整体思想，属于基础题.
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知集合A={x|﹣2＜x＜2}，B={x|﹣1≤x＜3}.
（1）求，.
（2）若集合，且，求实数的取值范围．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】
（1）根据交集、补集和并集的定义计算即可；
（2）由B∩C＝C知C⊆B，讨论a的取值情况，求出满足条件的a取值范围．
【详解】（1）∵集合A={x|﹣2＜x＜2}，B={x|﹣1≤x＜3}
∴，；
（2）由B∩C＝C知C⊆B，
又，
①当C＝∅时， ，解得；
②当C≠∅时，，；
综上，a的取值范围是 ．
【点睛】本题考查了集合的交集，并集，补集运算，考查了集合包含关系的应用，体现了分类讨论的思想．
18.求值
（1）
（2）
【答案】（1）4，（2）
【解析】
【分析】
（1）利用对数的性质和运算法则求解；
（2）利用有理数指数幂的运算性质求解.
【详解】（1）
；
（2）
【点睛】
本题考查有理数指数幂和对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则及换底公式的合理运用．
19. 某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个出售，每天可以卖出100个，若这种商品的售价每个上涨1元，则销售量就减少10个．
（1）求售价为13元时每天的销售利润；
（2）求售价定为多少元时，每天的销售利润最大，并求最大利润．
【答案】（1）350 （2）售价定为14元时，每天的销售利润最大，最大利润为360元
【解析】
试题分析：（1）由题设知销售价为13元时每天销售量为100-（13-10）×8=76个，由此能求出销售价为13元时每天的销售利润；（2）设出商品的单价，表示出涨价后减少的销售量，求出利润，然后通过研究二次函数的最值求出利润的最值情况
试题解析：（1）依题意，可知售价为13元时，销售量减少了:（个）
所以，当售价为13元时每天销售利润为:
（元）
（2）设售价定为元时，每天的销售利润为元，依题意，得
（）
∴ 当时，取得最大值，且最大值为．
即售价定为14元时，每天的销售利润最大，最大利润为360元．
考点：函数模型的选择与应用
20.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，
(1) 求和的值；
(2)求函数的解析式
【答案】（1）f（0）＝0，，（2）
【解析】
【分析】
（1）由奇函数的性质得出f（﹣x）＝﹣f（x），令x＝0，-3代入可求f（0），；
（2）设x＜0，从而﹣x＞0，代入当x＞0时的表达式f（x）＝x2+2x-1可得x＜0时的表达式．
【详解】（1）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），
∴f（﹣0）＝﹣f（0），f（0）＝﹣f（0）
∴f（0）＝0；
而，
∴f（0）＝0，；
（2）设x＜0，∴﹣x＞0，
又当x＞0时，f（x）＝x2+2x﹣1．
∴f（﹣x）＝（﹣x）2+2（﹣x）﹣1＝x2﹣2x﹣1，
∴﹣f（x）＝x2﹣2x﹣1，
∴f（x）＝﹣x2+2x+1，
∴当x＜0时，f（x）＝﹣x2+2x+1，
又由（1）知f（0）＝0
∴
【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，如果函数具备奇偶性，通常考虑函数的奇偶性在关于原点对称的两个区间上的关系解决．
21.已知一次函数的图象过点(1，5)，且
（1）求解析式；
（2）求函数的零点．
【答案】（1）f（x）＝2x+3，（2）或.
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法确定的解析式；
（2）由（1）可得，解二次方程得到函数的零点.
详解】解：（1）设f（x）＝ax+b，
则 ，解得： ，
∴f（x）＝2x+3；
（2），
令，
解得： 或
∴函数的零点为或.
【点睛】本题考查待定系数法求函数表达式，求函数的零点，考查计算能力，属于基础题.
22.已知定义在R上的奇函数
(1)求实数的值；
(2)判断的单调性，并证明．
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1) m＝1 (2)见解析(3)
【解析】
【分析】
（1）由定义在实数集上的奇函数有f（0）＝0列式求解，或直接由奇函数的定义得恒等式，由系数相等求解b的值；
（2）直接利用函数单调性的定义证明；
（3）由函数的奇偶性和单调性，把给出的不等式转化为含有t的一元二次不等式，分离变量k后求二次函数的最值，则答案可求．
【详解】（1）解：法一、∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴，∴m＝1，经检验，函数为奇函数；
法二、由是奇函数，则
∴即对一切实数x都成立，
∴m＝1；
（2）由（1）知，f（x）在R上是减函数．
证明：设x1，x2为R上的任意两个实数，且x1＜x2，
则
．
∵x1＜x2，∴，，，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在R上是减函数；
（3）∵f（x）既是奇函数，又是实数集上的减函数，
∴不等式⇔f（t﹣2t2）＞f（t2﹣t﹣k）⇔3t2﹣2t>k，
∴对t∈R恒成立，
∴．
【点睛】本题考查函数恒成立问题，考查函数单调性和奇偶性的定义，体现了等价转化的思想方法，考查了利用配方法求二次函数的最值，是中档题．