- 1.26 MB
- 2021-05-12 发布
第94题 复数的概念及其运算
I．题源探究·黄金母题
【例1】使复数为实数的充分而不必要条件是 （ ）
A． B． C．为实数 D．为实数
【答案】B
【解析】即要找出由选项能推出“复数为实数”，但“复数为实数”不能推出选项成立，故选B．
【例2】若复数是纯虚数，则= ．
【答案】
【解析】依题意得，即．
【例3】如果，复数在复平面上的对应点在 象限．
【答案】三
【例4】设满足条件的复数所对应的点的集合表示什么图形?
【答案】表示以为圆心以8为半径的圆的外部．
精彩解读
【试题 】例1、例2：人教A版选修2-2P103例1改编；例3：人教A版选修2-2习题3．1A组P106T5改编；例5：人教A版选修2-2复习参考题P116B组T2改编．
【母题评析】考查复数的基本概念、复数代数形式的四则运算、复数加减法的几何意义等，突出考查基本运算能力与数形结合思想．
【思路方法】
复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可．复数，当时，为虚数，当时，为实数，当时，
【解析】由，得，化简得，复数所对应的点的集合表示以为圆心以8为半径的圆的外部．
【例5】的共轭复数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
，
的共轭复数为，故选B．
为纯虚数．复数的几何意义：复数 ＝a＋bi复平面内的点 (a，b)(a，b∈R)．复数 ＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量．
II．考场精彩·真题回放
【例1】【2017高考新课标1理3】设有下面四个命题
：若复数满足，则；：若复数满足，则；
：若复数满足，则；：若复数，则．
其中的真命题为
【命题意图】这类题主要考查复数的基本概念、复数代数形式的四则运算、复数加减法的几何意义等．
【考试方向】
A． B． C． D．
【答案】B
也属于实数，故正确，故选B．
【例2】【2017高考新课标2理1】（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由复数除法的运算法则有：，故选D．
【例3】【2017高考山东，理2】已知，i是虚数单位，若，则a= （ ）
A．1或-1 B． C．- D．
【答案】A
【解析】由得，所以，故选A．
【例4】【2017高考新课标3理2】设复数 满足(1+i) =2i，则∣ ∣=
A． B． C． D．2
这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易．
【难点中心】
1．要熟悉复数相关基本概念、复数的分类等，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为
2．复数的共轭复数是，据此结合已知条件，求得的方程即可．共轭与模是复数的重要性质，注意运算性质有：
（1）；
（2） ；
（3）；
（4）．
(5)；
(6) ．
3．
【答案】C
【解析】由题意可得：，由复数求模的法则： 可得：．故选C．
【例5】【2017高考北京理2】若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 （ ）
A．（–∞，1） B．（–∞，–1） C．（1，+∞） D．（–1，+∞）
【答案】B
【解析】，因为对应的点在第二象限，所以，解得：，故选B．
【例6】【2017高考江苏2】 已知复数其中i是虚数单位，则的模是 ．
【答案】
【解析】，故答案为．
【例7】【2017高考浙江12】已知a，b∈R，（i是虚数单位）则 ，ab= ．
【答案】5，2
【解析】由题意可得，则，解得，则．
【例8】【2017高考天津理9】已知，i为虚数单位，若
对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路．复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化．注意下面结论的灵活运用：（1）；
（2）．
为实数，则a的值为 ．
【答案】
【解析】为实数，则．
III．理论基础·解题原理
1．复数的概念
（1）虚数单位；（2）复数的代数形式；（3）复数的实部、虚部，虚数与纯虚数．
2．复数的分类：复数
3．相关公式：
（1）；（2）；（3）；
（4）．指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数）．
4．复数运算
（1）复数加减法：；
（2）复数的乘法：；
（3）复数的除法：
（类似于无理数除法的分母有理化虚数除法的分母实数化）
（4）复数加法、乘法的运算定律：复数的加法满足交换律和结合律，即对任意复数，有；复
数的乘法满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律，即对任意复数，有．
5．常见的运算规律
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；
⑨设是1的立方虚根，则．
6．复数的几何意义
（1）复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中轴叫做复平面的实轴，轴叫做复平面的虚轴．复数的模：．
（2）复数加法、减法的几何意义：若复数对应的向量不共线，则复数是以为邻边的平行四边形对角线所对应的复数；复数是连接向量终点，并指向被减数向量，即向量所对应的复数．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题主要考查复数的基本概念、复数代数形式的四则运算、复数加减法的几何意义等，突出考查基本运算能力与数形结合思想．在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，为容易题．
【技能方法】
1．处理有关复数概念的问题，首先要找准复数的实部与虚部（若复数为非标准的代数形式，则应通过代数运算化为代数形式），然后根据定义解题．
2．在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可．
3．在进行复数的乘法运算时：
（1）复数的乘法类似于两个多项式相乘，即把虚数单位作字母，然后按多项式的乘法法则进行运算，最后只要在所得的结果中把换成，并且把实部和虚部分别结合即可，但要注意把的幂写成简单的形式；
（2）实数范围内的运算法则在复数范围内仍然适用，如交换律、结合律以及乘法对加法的分配律、正整数指数幂的运算律，这些对复数仍然成立．
4．在进行复数的除法运算时，关键是分母“实数化”，其一般步骤如下：
（1）分子、分母同时乘分母的共轭复数；（2）对分子、分母分别进行乘法运算；（3）整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．
【易错指导】
在进行复数的运算时，不能把实数集的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当时不一定成立：（1）（为分数时不成立）；（2）（时等式不成立）；
（3）（时不成立）．
V．举一反三·触类旁通
考向1 复数的有关概念
对于复数，取不同值其类别也不一样：[ : ]
①且，则为虚数；②且，则为纯虚数；③，则为实数．
【例1】【2018衡水金卷信息卷（五）】已知为虚数单位，复数的虚部为，则实数
A． B． C． D． （ ）
【答案】C
【例2】【2018天津高三9校联考】若复数满足，则其共轭复数在复平面内对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】∵=1﹣i，∴ = ，∴，则在复平面内对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选A． / .
【例3】已知，为虚数单位，若为实数，则的值为 ．
【答案】
【解析】为实数，则．
【名师点睛】
1．复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为．
2．复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可．
【跟踪练习】
1．【2018山西联考】是虚数单位，若，则的值是( )
A． B． C．0 D．
【答案】C
【解析】，故选C．
2．【2018河南六市联考】已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
3．【2018重庆高三二模】已知是虚数单位，则复数的虚部是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题得=所以的虚部是-1．故选A．
4．【2018上海浦东新区高三一模】已知是虚数单位，复数满足，则________
【答案】
【名师点睛】复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可．复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．
考向2 复数的运算
复数的加、减、乘运算可以类比多项式的运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意把i的幂写成最简形式．记住几个常用结论，在解题时很有用：
（1）；；．
（2）．
【例4】 （ ）[ : xx ]
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由复数除法的运算法则有：，故选D．
【例5】已知复数，则函数图象的一个对称中心是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D[ : _ _ ]
【解析】．
，令．令，得，图象的一个对称中心是，故选D．
【例6】【2018陕西联考改编】如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数对应点的坐标分别为 ．
【答案】
【跟踪练习】
1．已知是虚数单位，若，则 （ ）
A．1或 B．或 C． D．
【答案】A
【解析】由得，所以，故选A．
2．【2018四川资阳高三4月模拟考试（三诊）】复数 满足，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，，故选B．
3．【2018湖南永州高三下三模】已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】，所以虚部为1，故选C．
4．【2018衡水金卷调研五】已知复数，（，为虚数单位），若，则的值为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，由已知有，所以，解出，选C．
5．已知，（是虚数单位）则 ， ．
【答案】5，2
【解析】由题意可得，则，解得，．
6．是方程的一个根，且，则________．
【答案】
【解析】由题意得，即，即，解得．
考向3 复数的几何意义
复数的加法、减法的几何意义在解决点的坐标、轨迹，及一些简单几何问题的证明中要注意使用，并且要有意识地与向量知识联系，体现数形结合的思想．
共轭与模是复数的重要性质，主要有：（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
【例7】【2018贵州省高三适应性考试】在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】，
∴ 在复平面内对应的点为，在第一象限，
故选A． / .
【例8】（1）设复数满足，则 （ ）
A． B． C． D．2
（2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）C；（2）B．
【名师点睛】复数的几何意义及应用
（1）复数、复平面上的点及向量相互联系，即．
（2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
【例9】【2018河北衡水金卷调研五】设为虚数单位，现有下列四个命题：
：若复数满足，则；
：复数的共轭复数为
：已知复数，设，那么；
：若表示复数的共轭复数，表示复数的模，则．
其中的真命题为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】：若复数满足，，故正确；：
所以正确，故选B．
【跟踪练习】
1．【2018贵州凯里一中高三下 期黄金卷（三）】已知复数，其中是虚数单位，则在复平面内，的共轭复数对应的点所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】，，所以所对应的点在第四象限，故选D．[ : |xx| ]
2．【2018衡水金卷调研（三）】复数（其中为虚数单位，）满足是纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意可设，∴，
∴，解得：，∴，∴，故选D．
3．【2018齐鲁名校教 研协作体山东、湖北部分重点中 高考冲刺模拟】已知复数在复平面内对应的点关于实轴对称，若（其中是虚数单位），则复数的虚部等于
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为（）的取值呈现周期性，周期为4，，
所以，所以
，所以
，所以的虚部等于．故选A．
4．已知复数其中是虚数单位，则的模是 ．
【答案】
【解析】，故答案为． · 2
5．【2018上海杨浦区高三下 期质量调研（二模）】若复数满足，则的最大值是________
【答案】2
【解析】设．，，
，当时，．
6．【2018上海长宁、嘉定区高三第一次质量调研（一模）】已知复数满足，的虚部为2．
（1）求复数；
（2）设在复平面上的对应点分别为，，，求△的面积．
【答案】（1）或（2） ．
【解析】试题分析：（1）设，根据条件列出方程即可求解；（2）根据复数对应点的含义，求出三角形顶点坐标，即可求出三角形面积．
（2）由（1）知，时，，，所以，，，， ．当时，，，所以，，，．
【名师点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．