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- 2021-05-12 发布
专题18 坐标系与参数方程
1.考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化．
2.考查利用曲线的参数方程、极坐标方程计算某些量或讨论某些量之间的关系．
一、直角坐标与极坐标的互化
如图，把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则
【特别提醒】在曲线方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．
二、直线、圆的极坐标方程
(1)直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．
几个特殊位置直线的极坐标方程
①直线过极点：θ＝α；
②直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；
③直线过点M且平行于极轴：ρsin θ＝b.
(2)几个特殊位置圆的极坐标方程
①圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；
②圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcos θ；
③圆心位于M，半径为r：ρ＝2rsin θ.
【特别提醒】当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时，要建立圆的极坐标方程，通常把极点放置在圆心处，极轴与x轴同向，然后运用极坐标与直角坐标的变换公式．
三、参数方程
(1)直线的参数方程
过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．
(2)圆、椭圆的参数方程
①圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π)．
②椭圆＋＝1的参数方程为
(θ为参数)．
【特别提醒】在参数方程和普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
考点一 坐标系与极坐标
例1．【2017课标3，文22】在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），直线的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)−=0，M为l3与C的交点，求M的极径.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【变式探究】【2016年高考北京文数】在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，则______.
【答案】2
【解析】直线过圆的圆心，因此
【变式探究】在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )
A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2
B．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2
C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1
D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1
【解析】由ρ＝2cos θ得x2＋y2－2x＝0.
∴(x－1)2＋y2＝1，
圆的两条垂直于x轴的切线方程为x＝0和x＝2.
故极坐标方程为θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2，故选B.
【答案】B
考点二 参数方程
例2．16.【2017课标1，文22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为
．
（1）若，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求．
【答案】（1），；（2）或．
【解析】 （1）曲线的普通方程为.
当时，直线的普通方程为.
由解得或.
从而与的交点坐标为， .
（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为
.
当时， 的最大值为.由题设得，所以；
当时， 的最大值为.由题设得，所以.
综上， 或.
【变式探究】【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为（t为参数,a＞0）．
在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=.
（I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；
（II）直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a．
【答案】（I）圆,（II）1
【变式探究】(2015·重庆，15)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4，则直线l与曲线C的交点的极坐标为________．
【答案】(2，π)
【解析】直线l的直角坐标方程为y＝x＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，直角坐标方程为x2－y2＝4，把y＝x＋2代入双曲线方程解得x＝－2，因此交点为(－2，0)，其极坐标为(2，π)．
【变式探究】(2014·江西，11(2))若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
A．ρ＝，0≤θ≤
B．ρ＝，0≤θ≤
C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
【解析】∵∴y＝1－x化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρ＝.∵0≤x≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤.故选A.
【答案】A
1.【2017课标3，文22】在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），直线的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)−=0，M为l3与C的交点，求M的极径.
【答案】（1）；（2）
【解析】
2.【2017江苏】 在平面坐标系中中,已知直线的参考方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数).设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值.
【答案】
3.【2017课标1，文22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为
．
（1）若，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求．
【答案】（1），；（2）或．
【解析】 （1）曲线的普通方程为.
当时，直线的普通方程为.
由解得或.
从而与的交点坐标为， .
（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为
.
当时， 的最大值为.由题设得，所以；
当时， 的最大值为.由题设得，所以.
综上， 或.
1.【2016年高考北京文数】在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，则______.
【答案】2
【解析】直线过圆的圆心，因此
2.【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为（t为参数,a＞0）．
在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=.
（I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；
（II）直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a．
【答案】（I）圆,（II）1
若，由方程组得，由已知，
可得，从而，解得（舍去），.
时，极点也为的公共点，在上.所以.
3.【2016高考新课标2文数】选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的方程为．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；
（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，，求的斜率．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
4.【2016高考新课标3文数】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；
（II）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.
【答案】（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为；（Ⅱ）．
1．(2015·广东，14)已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为________．
【答案】
【解析】依题已知直线l：2ρsin＝和点A可化为l：x－y＋1＝0和A(2，－2)，所以点A到直线l的距离为d＝＝.
2．(2015·北京，11)在极坐标系中，点到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝6的距离为________．
【答案】1
【解析】在平面直角坐标系下，点化为(1，)，直线方程为：x＋y＝6，∴点(1，)到直线的距离为d＝＝＝1.
3．(2015·安徽，12)在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值是________．
【答案】6
【解析】由ρ＝8sin θ得x2＋y2＝8y，即x2＋(y－4)2＝16，由θ＝得y＝x，即x－y＝0，∴圆心(0，4)到直线y＝x的距离为2，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝的最大距离为4＋2＝6.
4．(2015·江苏，21)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径．
5．(2015·新课标全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
解 (1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，
C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.
由于C2的半径为1，所以△C2MN为等腰直角三角形，
所以△C2MN的面积为.
6．(2015·福建，21(2))在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 (t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin＝m(m∈R)．
①求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
②设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．
解 ①消去参数t，得到圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.
由ρsin＝m，得
ρsin θ－ρcos θ－m＝0.
所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.
②依题意，圆心C到直线l的距离等于2，
即＝2，
解得m＝－3±2.
7．(2015·湖南，16Ⅱ)已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．
1. 【2014高考安徽卷文第4题】以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程是（为参数），圆的极坐标方程是，则直线被圆截得的弦长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】将直线的参数方程消去参数，化成直角坐标方程为，圆的极坐标方程两边同乘为，化成直角坐标方程为，则圆心到直线的距离，所以直线被圆截得的弦长，故选D.
2. 【2014高考北京卷文第3题】曲线，（为参数）的对称中心（ ）
A．在直线上 B．在直线上
C．在直线上 D．在直线上
【答案】B
3. 【2014高考湖北卷文第16题】已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为 .
【答案】
【解析】
由消去得，由得，解方程组得与的交点坐标为.
4. 【2014高考湖南卷第11题】在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线与曲线，（为参数）交于、两点，且，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程是________.
【答案】
【解析】试题分析：利用可得曲线的普通方程为,即曲线为直角的圆,因为弦长,所以圆心在直线上,又因为直线的斜率为,所以直线的直角坐标方程为,则根据直角坐标与极坐标之间的转化可得
,故填.
5.【2014江西高考文第12题】若以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段的极坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据，得：
解得，选A.
6. 【2014重庆高考文第15题】已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，则直线与曲线的公共点的极径________.
【答案】
7. 【2014陕西高考文第15题】在极坐标系中，点到直线的距离是 .
【答案】1
【解析】直线化为直角坐标方程为，点的直角坐标为，点到直线的距离，故答案为1.
8. 【2014天津高考文第13题】在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点．若是等边三角形，则的值为___________．
【答案】3．
【解析】圆的方程为，直线为．是等边三角形，∴
其中一个交点坐标为 ，代入圆的方程可得．
9.【2014高考福建文第21（2）题】 已知直线的参数方程为，（为参数），圆的参数方程为
，（为常数）.
（I）求直线和圆的普通方程；
（II）若直线与圆有公共点，求实数的取值范围.
【答案】（I）,;（II）
（II）因为直线与圆有公共点,故圆C的圆心到直线的距离,解得.
10. 【2014高考江苏第21C题】在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程（为参数），直线与抛物线相交于两点，求线段的长.
【答案】
【解析】直线的普通方程为，即，与抛物线方程联立方程组解得，∴.
11. 【2014高考辽宁文第23题】将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
（Ⅰ）写出C的参数方程；
(Ⅱ)设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.
【答案】（1） （t为参数）；（2） .
，即.
12. 【2014高考全国1第23题】已知曲线，直线：（为参数）.
（I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；
（II）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值．
【答案】（I）；（II）最大值为，最小值为.
【解析】
13. 【2014高考全国2第23题】在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，.
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标.
【答案】（Ⅰ）是参数，；（Ⅱ）