2018届二轮复习空间几何体的三视图、表面积及体积教学案文学案（全国通用） 22页

专题11 空间几何体的三视图、表面积及体积 ‎1．以选择、填空题形式考查空间位置关系的判断，及文字语言、图形语言、符号语言的转换，难度适中；‎ ‎2．以熟悉的几何体为背景，考查多面体或旋转体的侧面积、表面积和体积计算，间接考查空间位置关系的判断及转化思想等，常以三视图形式给出几何体，辅以考查识图、用图能力及空间想象能力，难度中等．‎ ‎3.几何体的三视图与表(侧)面积、体积计算结合；‎ 一、空间几何体 ‎1．柱体、锥体、台体、球的结构特征 名称 ‎ 几何特征 ‎ 棱柱 ‎ ‎①有两个面互相平行(底面可以是任意多边形)； ‎ ‎②其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行 ‎ 棱锥 ‎ ‎①有一个面是多边形(底面)； ‎ ‎②其余各面是有公共顶点的三角形． ‎ 棱台 ‎ ‎①底面互相平行； ‎ ‎②所有侧棱延长后交于一点(即原棱锥的顶点) ‎ 圆柱 ‎ ‎①有两个互相平行的圆面(底面)； ‎ ‎②有一个侧面是曲面(母线绕轴旋转一周形成的)，且母线与底面垂直 ‎ 圆台 ‎ ‎①底面互相平行； ‎ ‎②有一个侧面是曲面，可以看成母线绕轴旋转一周形成的 ‎ 球 ‎ ‎①有一个曲面是球面； ‎ ‎②有一个球心和一条半径长R，球是一个几何体(包括内部)，可以看成半圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的 ‎ ‎2.柱体、锥体、台体、球的表面积与体积 名称 体积 表面积 棱柱 V棱柱＝Sh(S为底面积，h为高)‎ S棱柱＝2S底面＋S侧面 棱锥 V棱锥＝Sh(S为底面积，h为高)‎ S棱锥＝S底面＋S侧面 棱台 V棱台＝h(S＋＋S′) (S、S′为底面积，h为高)‎ S棱台＝S上底＋S下底＋S侧面 圆柱 V圆柱＝πr2h(r为底面半径，h为高)‎ S圆柱＝2πrl＋2πr2(r为底面半径，l为母线长)‎ 圆锥 V圆锥＝πr2h(r为底面半径，h为高)‎ S圆锥＝πrl＋πr2(r为底面半径，l为母线长)‎ 圆台 V圆台＝πh(r2＋rr′＋r′2) (r、r′为底面半径，h为高)‎ S圆台＝π(r＋r′)l＋πr2＋πr′2‎ 球 V球＝πR3(R为球的半径)‎ S球＝4πR2(R为球的半径)‎ ‎3.空间几何体的三视图和直观图 ‎(1)空间几何体的三视图 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，三视图的画法规则为“长对正、高平齐、宽相等”．‎ ‎(2)空间几何体的直观图 空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法．用斜二测画法画平面图形的直观图规则为“轴夹角45°(或135°)，平行长不变，垂直长减半”．‎ ‎4．几何体沿表面某两点的最短距离问题一般用展开图解决；不规则几何体求体积一般用割补法和等积法求解；三视图问题要特别留意各种视图与观察者的相对位置关系.‎ ‎【误区警示】‎ ‎1．识读三视图时，要特别注意观察者的方位与三视图的对应关系和虚实线．‎ ‎2．注意复合体的表面积计算，特别是一个几何体切割去一部分后剩余部分的表面积计算．要弄清增加和减少的部分．‎ ‎3．展开与折叠、卷起问题中，要注意平面图形与直观图中几何量的对应关系．‎ ‎ ‎ 考点一　空间几何体的结构 ‎1．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值(　　)‎ A．大于5 B．等于5‎ C．至多等于4 D．至多等于3‎ ‎【答案】C ‎【解析】当n＝3时显然成立，故排除A，B；由正四面体的四个顶点，两两距离相等，得n＝4时成立，故选C.‎ ‎【变式探究】已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】正三棱锥PABC可看作由正方体PADCBEFG截得，如图所示，PF为三棱锥PABC的外接球的直径，且PF⊥平面ABC. ‎ 设正方体棱长为a，则 考点二　三视图、直观图 例2．【2017课标II，文6】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【变式探究】【2016高考新课标2文数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积为，圆柱的底面面积为，故该几何体的表面积为，故选C.‎ ‎ 【变式探究】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(　　)‎ A．2＋ B．4＋ C．2＋2 D．5‎ ‎【答案】C ‎【解析】该三棱锥的直观图如图所示：过D作DE⊥BC，交BC于E，连接AE，则BC＝2，EC＝1，AD＝1，ED＝2，‎ 考点三　几何体的表面积 例3．【2017课标II，文15】长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以 ‎ ‎【变式探究】【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】该几何体直观图如图所示：‎ 是一个球被切掉左上角的,设球的半径为,则,解得,所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和 故选A．‎ ‎ 【变式探究】(2015·陕西，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．3π B．4π C．2π＋4 D．3π＋4‎ ‎【答案】D 考点四　几何体的体积 例4．【2017课标3，文9】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得： ，‎ 结合勾股定理，底面半径，‎ 由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B.‎ ‎【变式探究】【2016高考山东文数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【变式探究】(2015·重庆，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A.＋π B.＋π C.＋2π D.＋2π ‎【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V＝π×12×2＋××1＝π＋，选A.‎ ‎【答案】A ‎1.【2017课标II，文6】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎2.【2017课标3，文9】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得： ，‎ 结合勾股定理，底面半径，‎ 由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B.‎ ‎3.【2017北京，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ‎（A）60 （B）30‎ ‎（C）20 （D）10‎ ‎【答案】D ‎4.【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎5.【2017课标II，文15】长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以 ‎ ‎6.【2017江苏，6】 如图,在圆柱内有一个球,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱的体积为,球的体积为,则的值是 ▲ .‎ O O1‎ O2‎ ‎(第6题)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设球半径为，则．故答案为．‎ ‎7.【2017山东，文13】由一个长方体和两个 圆柱构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎1、【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】该几何体直观图如图所示： ‎ 是一个球被切掉左上角的,设球的半径为,则,解得,所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和 故选A．‎ ‎2.【2016高考新课标2文数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎3.【2016年高考北京文数】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）‎ A. ‎ B. C.D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析三视图可知，该几何体为一三棱锥，其体积，故选A.‎ ‎4.【2016高考新课标3文数】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C）90 （D）81‎ ‎【答案】B ‎5.【2016高考山东文数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎1．(2015·新课标全国Ⅰ，11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝(　　)‎ A．1 　　　 B．2 ‎ C．4 　　　 D．8‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知，2r·2r＋·2πr·2r＋πr2＋πr2＋·4πr2＝4r2＋5πr2＝16＋20π，解得r＝2.‎ ‎2．(2015·天津，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3. ‎ ‎【答案】π ‎【解析】由三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和圆柱组成，底面半径为1，圆锥的高为1，圆柱的高为2，所以该几何体的体积V＝2×π×12×1＋π×12×2＝π m3.‎ ‎3．(2015·新课标全国Ⅱ，9)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)‎ A．36π B．64π C．144π D．256π ‎【答案】C ‎4．(2015·新课标全国Ⅱ，6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】如图，由题意知，该几何体是正方体ABCD－A1B‎1C1D1被过三点A、B1、D1的平面所截剩余部 ‎5．(2015·湖南，10)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝)(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】易知原工件为一圆锥，V1＝πr2h＝π，设内接长方体长、宽、高为a、b、c，欲令体积最大，则a＝b.由截面图的相似关系知，c＋＝2，即c＋a＝2，‎ 大为，‎ ‎∴＝＝.故选A.‎ ‎1. 【2014高考安徽卷文第7题】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）‎ A.21+ B.18+ C.21 D.18‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，该多面体的直观图是一个正方体挖去左下角三棱锥和右上角三棱锥，如下图，则多面体的表面积 ‎.故选A.‎ ‎【考点定位】多面体的三视图、表面积.‎ ‎2. 【2014高考福建卷第2题】某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）‎ 圆柱 圆锥 四面体 三棱柱 ‎【答案】A ‎【解析】由于圆柱的三视图不可能是三角形所以选A.‎ ‎【考点定位】三视图.‎ ‎3. 【2014高考广东卷文第7题】若空间中四条直线两两不同的直线、、、，满足，，，则下列结论一定正确的是（ ）‎ ‎ A. B. C.、既不平行也不垂直 D.、的位置关系不确定 ‎【答案】D ‎【解析】 如下图所示，在正方体中，取为，为，取为，为 ‎【考点定位】空间中直线的位置关系 ‎4. 【2014高考湖南卷第7题】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）‎ A.1 B‎.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】B ‎【考点定位】三视图 内切圆 球 三棱柱 ‎5. 【2014高考江苏卷第8题】 设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【考点定位】圆柱的侧面积与体积．‎ ‎6. 【2014江西高考文第5题】一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）‎ 左（侧）视 主（正）视 俯视 A B C D ‎【答案】B ‎【解析】俯视图为几何体在底面上的投影，应为B中图形.‎ ‎【考点定位】三视图 ‎8. 【2014辽宁高考文第7题】某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎9. 【2014全国1高考文第12题】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）‎ （A） ‎ （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎10. 【2014全国2高考文第6题】如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示‎1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为‎3cm，高为‎6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎11. 【2014山东高考文第13题】 三棱锥中，，分别为，的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知设点到平面距离为，则点到平面距离为，‎ 所以， ‎