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- 2021-05-12 发布
七宝中学高二期中数学卷
一、填空题
1.已知向量，若，则_________ .
【答案】
【解析】
试题分析：因为，所以，，即，解得．
考点：向量垂直的性质，考查学生的基本运算能力．
2.把表示成一个三阶行列式是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据行列式第一列进行展开,由其逆运算即可得结果.
【详解】根据行列式按第一列展开式,可得
故答案为:
【点睛】本题考查了行列式按列展开的概念和运算,注意运算的格式,属于基础题.
3.已知向量，，则向量在向量上的投影为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量在向量上的投影的定义,结合向量数量积和模长公式计算可得.
【详解】由定义可得向量在向量上的投影为
.
故答案为:.
【点睛】本题考查了向量在向量上的投影,平面向量数量积和模长公式,属于基础题.,
4.若，，则过、两点的直线l的方程为________.
【答案】
【解析】
分析】
根据、都在同一直线上,结合两点确定一条直线可知直线的唯一性,即得直线方程.
【详解】若,
则点在直线上,
点在直线上
即、都在同一直线上
因为两点确定一条直线,所以由、确定的直线即为
故答案为:
【点睛】本题考查了直线方程的意义,两点确定一条直线,属于基础题.
5.已知点（3，1）和（- 4，6）在直线3x-2y+a=0的同侧，则a的取值范围是
【答案】
【解析】
试题分析：因为点（3，1）和（- 4，6）在直线3x-2y+a=0的同侧，所以，解得a<-7或a>24
考点：二元一次不等式表示的平面区域
6.直线过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线方程是__________.
【答案】x+y+8＝0或3x﹣5y＝0．
【解析】
【分析】
当直线经过原点时，直线方程为y＝x；当直线不经过原点时，设直线方程为x+y＝a，把点A的坐标代入即可得出．
【详解】当直线经过原点时，直线方程为y＝x，即3x﹣5y＝0；
当直线不经过原点时，设直线方程为x+y＝a，∵直线l过点A（﹣5，﹣3），
∴﹣3﹣5＝a，∴a＝﹣8，∴直线方程为x+y﹣8＝0．
综上，直线方程为x+y+8＝0或3x﹣5y＝0．
故答案为：x+y+8＝0或3x﹣5y＝0．
【点睛】本题考查了直线方程的求法，考查了分类讨论思想，属于基础题．
7.点关于直线的对称点坐标为________.
【答案】
【解析】
【分析】
设出对称点坐标,根据两个对称点的中点位于直线上,及两直线垂直时的斜率关系,联立方程组即可得对称点的坐标.
【详解】设对称点的坐标为
则中点坐标为
则在直线上,即
根据与直线垂直,斜率的关系可得
即,解方程组可得
即对称点的坐标为
故答案为:
【点睛】本题考查了点关于直线对称点的坐标求法,两直线垂直的斜率关系,属于基础题.
8.已知P是内部一点，记、、的面积分别为、、，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
延长到,使得;延长到,使得,构造出,根据线段关系及三角形面积公式即可求得面积比.
【详解】延长到,使得;延长到,使得,如下图所示:
则可化为
所以为的重心
设
则
所以
故答案为:
【点睛】本题考查了向量加法法则的应用,三角形面积的表示方法,需要构造三角形解决问题,属于中档题.
9.在中，，，D是BC边的中点，则________.
【答案】12
【解析】
【分析】
根据三角形中线可知,结合向量减法运算即可表示出,转化为与的等式,即可求得的值.
【详解】在中,D是BC边的中点
所以
因为
所以
因为,
所以
即
故答案为:
【点睛】本题考查了向量的加法及减法运算,平面向量数量积的应用,属于基础题.
10.在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足，由点集所表示的区域的面积是__________．
【答案】4
【解析】
【详解】由||＝||＝·＝2，知cos∠AOB＝，又0≤∠AOB≤π，则∠AOB＝，又A，B是两定点，可设A(，1)，B(0,2)，P(x，y)，
由＝λ＋μ，可得⇒.
因为|λ|＋|μ|≤1，所以＋≤1，
等价于
由可行域可得S0＝×2×＝，所以由对称性可知点P所表示的区域面积S＝4S0＝4
11.在平面上，，，，若，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意,建立平面直角坐标系,设出、、、的坐标,由及可得关于O点坐标的不等式组,结合两点间距离公式即可表示出的取值范围.
【详解】因为,
则为矩形,以所在直线为轴,以为轴建立平面直角坐标系.如下图所示:
设,
则,,,
因为
所以 变形可得
因为,即
由以上两式可得
即
因为,即
所以
则
综上可知
因为
所以,即
故答案为:
【点睛】本题考查了平面向量在坐标系中的综合应用,向量的加法运算与向量的模长,通过建立平面直角坐标系,用坐标研究向量关系是常见方法,属于中档题.
12.已知集合，.若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则a的值为________.
【答案】或
【解析】
【详解】如图所示，正八边形在第一象限的两个顶点坐标应满足
解得或
据题意，于或
.
二、选择题
13.关于的二元一次方程组的增广矩阵为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二元一次方程方程组与增广矩阵的关系，即可求得结果.
【详解】关于的二元一次方程组的增广矩阵为，故选C.
【点睛】本题考查二元一次方程组与系数矩阵及增广矩阵的关系，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.
14.若变量x,y满足约束条件则目标函数的取值范围是
A [2,6] B. [2,5] C. [3,6] D. [3,5]
【答案】A
【解析】
【分析】
画出不等式组对应的可行域，将目标函数变形，画出目标函数对应的直线，由图得到当直线过A点时纵截距最大，z最大，当直线过（2，0）时纵截距最小，z最小．
【详解】画出可行域，如图所示：
将变形为，平移此直线，
由图知当直线过A（2，2）时，z最大为6，当直线过（2，0）时，z最小为2，
∴目标函数Z＝x+2y的取值范围是[2，6]
故选：A．
【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域：直线定边界，特殊点定区域结合图形求函数的最值，属于基础题．
15.点，到直线的距离都是4，满足条件的直线有（ ）
A. 一条 B. 两条 C. 三条 D. 四条
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得两点间距离,根据距离判断中垂线的情况;再由两条平行线可满足条件即可得解.
【详解】因为点,
所以由两点间距离公式可得
则点,到线段中垂线的距离都等于4
位于直线两侧且与直线平行的直线,有两条满足点,到直线的距离都是4
综上可知,共有3条直线满足点,到直线的距离都是4
故选:C
【点睛】本题考查了两点间距离公式,两平行线距离,属于基础题.
16.已知O是所在平面上的一点，若（其中P是所在平面内任意一点），则O点是的（ ）
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
【答案】B
【解析】
【分析】
将所给向量表达式进行变形,表示成与方向上的单位向量的形式,由向量加法运算的性质即可知O在角平分线上,即可得解.
【详解】因为
则,即
移项可得
即
则
因为
所以
化简可得,即
设为方向上的单位向量,为方向上的单位向量
所以,
则
所以
则在的角平分线上
同理可知 在的角平分线上
因而为的内心
故选:B
【点睛】本题考查了向量线性运算的化简及应用,三角形内心的向量表示形式,化简过程较为复杂,属于中档题.
三、解答题
17.讨论关于、的方程组解的情况.
【答案】当且时，有唯一解；当时，无解；当时，有无数解.
【解析】
【分析】
先根据方程组中x，y的系数及常数项计算出D，Dx，Dy，下面对k的值进行分类讨论：（1）当k≠0且k≠2时，（2）当k=0时，（3）当k=2时，分别求解方程组的解即可.
【详解】依题意，，
，
，
（1）当k≠0且k≠2时，D≠0，方程组有唯一解；
（2）当k=0时，D=0，Dx=4≠0，方程组无解；
（3）当k=2时，D=Dx=Dy=0方程组有无数解.
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性，唯一性、二元方程的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属中档题．
18.的顶点，AB的中线方程为，的平分线方程为，求：
（1）点B的坐标；
（2）BC边所在的直线方程．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设点B的坐标,根据点B在直线上,及A与B的中点在上,可得关于B点坐标的方程组,解方程组即可得B的坐标.
（2）根据两点间斜率公式先求得由角平分线及两直线的夹角公式即可求得,再根据点斜式即可求得BC边所在的直线方程．
【详解】（1）设,
由题意可知B在直线上,及A与B的中点在上,即
解方程组可得
即
（2）设的平分线与直线AC交于点E.
则,
由两直线夹角公式可得,即
解得
由点斜式方程可得
化简后可得
【点睛】本题考查了直线方程的求法,两直线夹角公式的用法,属于基础题.
19.已知的三边长，，．
（1）求；
（2）的半径为3，设PQ是的一条直径，求的最大值和最小值．
【答案】（1）12；（2）最大值24，最小值为．
【解析】
【分析】
（1）先根据余弦定理,求得,再根据平面向量数量积的定义即可求得.
（2）根据向量加法与减法的线性运算,将化简为,设向量与夹角为,进而转化为余弦函数的表达式,根据余弦函数的值域即可求得最大值与最小值.
【详解】（1）设
则,
（2）
设向量,夹角为,
则上式,
最大值为24,最小值为
【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用,向量加法与减法的应用,余弦定理在求角中的用法,属于中档题.
20.在中，，，，点O为所在平面上一点，满足（且）．
（1）证明：；
（2）若点O为的重心，求m、n的值；
（3）若点O为的外心，求m、n的值．
【答案】（1）证明见解析；（2），；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据条件,结合向量的加法运算,化简即可证明.
（2）根据重心的向量表示为,即可求得m、n的值.
（3）根据点O为的外心,求得,,,再根据已知分别求得,,结合平面向量基本定理即可求得m、n的值.
【详解】（1）
即
所以
则
所以；
（2）若点O为的重心
则
因为
所以
则,
（3）由O是的外心
得,,,
所以,
即,
解得．
【点睛】本题考查了平面向量加法和减法的运算,三角形重心和外心的向量表示,对向量线性运算的化简要熟练掌握,属于中档题.
21.（1）已知直线l过点，它的一个方向向量为．
①求直线l的方程；
②一组直线，，，，，都与直线l平行，它们到直线l的距离依次为d，，，，，（），且直线恰好经过原点，试用n表示d的关系式，并求出直线的方程（用n、i表示）；
（2）在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多条直线，，，，的直线簇，使它同时满足以下三个条件：①点；②，其中是直线的斜率，和分别为直线在x轴和y轴上的截距；③.
【答案】（1）①；②，；（2）不存在.
【解析】
【分析】
（1）根据直线的方向向量可得直线的斜率,结合点斜式即可求得直线方程;根据直线平行且过原点,可得直线的方程,由平行线间距离公式可得n与d的关系式,设出直线的方程,根据点到直线距离公式可求得直线方程.
（2）假设存在这样的直线簇.先求得,的表达式,进而表示出.通过迭加法求得,即可证明当时,与不能成立.
【详解】（1）①直线l方向向量为
所以直线的斜率为
直线l过点,由点斜式方程可得
即直线l的方程为：；
②直线且经过原点,
直线的方程为：
由题意知直线到l的距离为,根据平行线间距离公式可得
则
设直线方程为：
由题意知：直线到直线l的距离为,
所以直线的方程为：；
（2）假设存在满足题意的直线簇．由①知的方程为：,,
分别令,得,,
由,即,,
迭加得．
由③知所有的同号,仅讨论的情形,
由,
所以
显然,当时,与矛盾！
故满足题意的直线簇不存在．
【点睛】本题考查了直线的方向向量与点斜式方程,点到直线距离公式的应用,直线方程的新定义应用,正确理解题目所给条件是关键,属于难题.