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- 2021-05-12 发布
2018-2019学年江苏省苏州市第五中学高一下学期期中考试数学试题
2019.04
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1. 直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知中,,,,则( )
A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°
3.在中,已知,则等于( )
A. 2 B. C.1 D.4
4.在中,角所对的边分别为,且,则是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形
5. 经过点,且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有( )
A.4条 B.3条 C. 2条 D.1条
6. 若直线与平行,则实数的值为( )
A. 或 B.
C. D.
7. 若圆锥的侧面展开图是半径为5,圆心角为的扇形,则该圆锥的高为( )
A. B. C.3 D. 4
8. 某人从A处出发,沿北偏东60°行走3 km到B处,再沿正东方向行走2 km到C处,则A,C两地距离为( )km
A.4 B. 6 C.7 D. 9
9. 已知平面α⊥平面β,α∩β=l,则下列命题错误的是( )
A.如果直线a⊥α,那么直线a必垂直于平面β内的无数条直线
B.如果直线a∥α,那么直线a不可能与平面β平行
C.如果直线a∥α,a⊥l,那么直线a⊥平面β
D.平面α内一定存在无数条直线垂直于平面β内的所有直线
10. 以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:
①BD⊥AC;
②△BCA是等边三角形;
③三棱锥D-ABC是正三棱锥
④平面ADC⊥平面ABC.
其中正确的是( )
A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④
11. 《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,将底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”,在如图所示的堑堵中,,,,则在堑堵中截掉阳马后的几何体的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
12.已知正三棱柱的底面边长和侧棱长相等,为的中点,则直线
与所成的角为( )
A. B. C. D.
二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13. 直线在两坐标轴上的截距之和为2,则= ▲ .
14. 已知正四棱锥的底面边长是,高为,则该正四棱锥的侧面积为 ▲ .
15. 若三条直线,,不能围成三角形,则实数取值集合为 ▲ .
16. 在中,角所对的边分别为,且(为常数),,则的值为 ▲ .
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17.分别求满足下列条件的直线方程.
(1)经过直线和的交点且与直线平行;
(2)与直线l:垂直且与坐标轴围成的三角形面积为.
18.直三棱柱中,,,分别为,的中点.
(1)求证:;
(2)求证:平面.
19. 在中,角所对的边分别为,已知.
(1)当,且的面积为时,求的值;
(2)当时,求的值.
20. 在平面四边形中,,,,.
(1)求的长;
(2)若,求的面积.
21. 如图,正四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形,侧棱长为,P为侧棱SD上的点.
(1)求证:AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,求二面角P-AC-D的大小;
(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.
22. 小王大学毕业后决定利用所学知识自主创业,在一块矩形的空地上办起了养殖场,如图所示,四边形为矩形,米,米,现为了养殖需要,在养殖场内要建造一个蓄水池,小王因地制宜,建造了一个三角形形状的蓄水池,其中顶点分别为(两点在线段上),且,设.
(1) 请将蓄水池的面积表示为关于角的函数形式,并写出该函数的定义域;
(2)当角为何值时,蓄水池的面积最大?并求出此最大值.
苏州五中2018-2019学年第二学期期中调研测试
高一数学(参考答案)
2019.04
一、选择题
二、填空题
13.
14.
15. {4,1,﹣1}
16. 3
三、解答题
17.解:(1)将与联立方程组解得交点坐标为. 2分
由所求直线与直线平行,则所求直线斜率为,
从而所求直线方程为 --4分
(2)设所求直线方程为,得到,, --6分
则解得
从而所求直线方程为 --10分
18.证明:因为是直三棱柱,
所以平面,
因为平面,所以,
因为,,,平面,
所以平面,
因为平面,所以. --6分
(2)证明:取中点,连接,,
因为是的中点,所以,,
又因为为中点,,所以,,所以,
所以四边形为平行四边形,
所以,又因为平面,平面,
所以平面. --12分
19. 自己调整为12分
20.12分
21.(1)证明:连接BD,设AC交BD于O,连接SO.由题意知SO⊥AC.在正方形ABCD中,AC⊥BD,所以AC⊥平面SBD,得AC⊥SD. ......3分
(2)解:设正方形边长为a,则SD=,又BD=,所以∠SDO=60°.连接OP,由(1)知AC⊥平面SBD,所以AC⊥OP,且AC⊥OD,所以∠POD是二面角P-AC-D的平面角.由SD⊥平面PAC,知SD⊥OP,
所以∠POD=30°,即二面角P-AC-D的大小为30°. ......7分
(3)解:在棱SC上存在一点E,使BE∥平面PAC.
由(2)可得PD=,故可在SP上取一点N,使PN=PD.过N作PC的平行线与SC的交点即为E.连接BN,在△BDN中,知BN∥PO.又由于NE∥PC,故平面BEN∥平面PAC,可得BE∥平面PAC.由于SN∶NP=2∶1,故SE∶EC=2∶1. ......12分
22.(1)因为,,所以,
在中,米,米,
所以,中,
在中由正弦定理得:
所以,
在中,由正弦定理得:
所以,
则的面积
,, ......7分
(2) 因为,所以
所以
则的最小值为
所以当时,取最大值为
答:当时,蓄水池的面积最大,最大值为……...………12分