2019年湖北省孝感市中考数学试卷 29页

2019 年湖北省孝感市中考数学试卷 一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）计算﹣19+20 等于（　　） A．﹣39 B．﹣1 C．1 D．39 2．（3 分）如图，直线 l1∥l2，直线 l3 与 l1，l2 分别交于点 A，C，BC⊥l3 交 l1 于点 B，若∠ 1＝70°，则∠2 的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 3．（3 分）下列立体图形中，左视图是圆的是（　　） A． B． C． D． 4．（3 分）下列说法错误的是（　　） A．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件 B．一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数 C．方差可以刻画数据的波动程度，方差越大，波动越小；方差越小，波动越大 D．全面调查和抽样调查是收集数据 的两种方式 5．（3 分）下列计算正确的是（　　） A．x7÷x5＝x2 B．（xy2）2＝xy4 C．x2•x5＝x10 D．（ + ）（ ﹣ ）＝b﹣a 6．（3 分）公元前 3 世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“ 杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻 力和阻力臂分别是 1200N 和 0.5m，则动力 F（单位：N）关于动力臂 l（单位：m）的函 数解析式正确的是（　　） A．F＝ B．F＝ C．F＝ D．F＝ 7．（3 分）已知二元一次方程组 ，则 的值是（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6 8．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，将点 P（2，3）绕原点 O 顺时针旋转 90°得到点 P'，则 P'的坐标为（　　）[来源:学&科&网] A．（3，2） B．（3，﹣1） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2） 9．（3 分）一个装有进水管和出水管的空容器，从某时刻开始 4min 内只进水不出水，容器 内存水 8L；在随后的 8min 内既进水又出水，容器内存水 12L；接着关闭进水管直到容器 内的水放完．若每分钟进水量和出水量是两个常数，容器内的水量 y（单位：L）与时间 x （单位：min）之间的函数关系的图象大致的是（　　） A． B． C． D． 10．（3 分）如图，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 CD，AD 上，BE 与 CF 交于点 G． 若 BC＝4，DE＝AF＝1，则 GF 的长为（　　）[来源:学,科,网 Z,X,X,K] A． B． C． D． 二．细心填一填，试试自己的身手！（本大题 6 小题，每小题 3 分，共 18 分.请将结果直接 填写在答题卡相应位置上） 11．（3 分）中国“神威•太湖之光”计算机最高运行速度为 1250 000 000 亿次/秒，将数 1250 000 000 用科学记数法可表示为　 　． 12．（3 分）方程 ＝ 的解为　 　． 13．（3 分）如图，在 P 处利用测角仪测得某建筑物 AB 的顶端 B 点的仰角为 60°，点 C 的仰角为 45°，点 P 到建筑物的距离为 PD＝20 米，则 BC＝　 　米． 14．（3 分）董永社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某 周内“垃圾分类”的实施情况，将他们绘制了两幅不完整的统计图（A．小于 5 天；B.5 天；C.6 天；D.7 天），则扇形统计图 B 部分所对应的圆心角的度数是　 　． 15．（3 分）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”， 利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边 形的面积 S1 来近似估计⊙O 的面积 S，设⊙O 的半径为 1，则 S﹣S1＝　 　． 16．（3 分）如图，双曲线 y＝ （x＞0）经过矩形 OABC 的顶点 B，双曲线 y＝ （x＞0） 交 AB，BC 于点 E、F，且与矩形的对角线 OB 交于点 D，连接 EF．若 OD：OB＝2：3， 则△BEF 的面积为　 　． 三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题 8 小题，满分 72 分） 17．（6 分）计算：| ﹣1|﹣2sin60°+（ ）﹣1+ ． 18．（8 分）如图，已知∠C＝∠D＝90°，BC 与 AD 交于点 E，AC＝BD，求证：AE＝BE． 19．（7 分）一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，它们 除了数字不同外，其它完全相同． （1）随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是　 　． （2）小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点 M 的横坐 标；然后放回搅匀，接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点 M 的纵坐标 ．如图，已知四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1 ，0），D（0，1），请用画树状图或列表法，求点 M 落在四边形 ABCD 所围成的部分内 （含边界）的概率． 20．（8 分）如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作： ①以点 C 为圆心，以 CB 为半径画弧，交 AB 于点 G；分别以点 G、B 为圆心，以大于 GB 的长为半径画弧，两弧交点 K，作射线 CK； ②以点 B 为圆心，以适当的长为半径画弧，交 BC 于点 M，交 AB 的延长线于点 N；分 别以点 M、N 为圆心，以大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作直线 BP 交 AC 的延长线于点 D，交射线 CK 于点 E． 请你观察图形，根据操作结果解答下列问题； （1）线段 CD 与 CE 的大小关系是　 　；[来源:学&科&网] （2）过点 D 作 DF⊥AB 交 AB 的延长线于点 F，若 AC＝12，BC＝5，求 tan∠DBF 的值 ． 21．（10 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0 有两个不相等的实 数根 x1，x2． （1）若 a 为正整数，求 a 的值； （2）若 x1，x2 满足 x12+x22﹣x1x2＝16，求 a 的值． 22．（10 分）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批 A、B 两种型号的一 体机．经过市场调查发现，今年每套 B 型一体机的价格比每套 A 型一体机的价格多 0.6 万元，且用 960 万元恰好能购买 500 套 A 型一体机和 200 套 B 型一体机． （1）求今年每套 A 型、B 型一体机的价格各是多少万元？ （2）该市明年计划采购 A 型、B 型一体机共 1100 套，考虑物价因素，预计明年每套 A 型一体机的价格比今年上涨 25%，每套 B 型一体机的价格不变，若购买 B 型一体机的总 费用不低于购买 A 型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采 购计划？ 23．（10 分）如图，点 I 是△ABC 的内心，BI 的延长线与△ABC 的外接圆⊙O 交于点 D， 与 AC 交于点 E，延长 CD、BA 相交于点 F，∠ADF 的平分线交 AF 于点 G． （1）求证：DG∥CA； （2）求证：AD＝ID； （3）若 DE＝4，BE＝5，求 BI 的长． 24．（13 分）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y＝ax2﹣2ax﹣8a 与 x 轴相交 于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C（0，﹣4）． （1）点 A 的坐标为　 　，点 B 的坐标为　 　，线段 AC 的长为　 　，抛物线 的解析式为　 　． （2）点 P 是线段 BC 下方抛物线上的一个动点． ①如果在 x 轴上存在点 Q，使得以点 B、C、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形．求点 Q 的坐标． ②如图 2，过点 P 作 PE∥CA 交线段 BC 于点 E，过点 P 作直线 x＝t 交 BC 于点 F，交 x 轴于点 G，记 PE＝f，求 f 关于 t 的函数解析式；当 t 取 m 和 4﹣ m（0＜m＜2）时，试 比较 f 的对应函数值 f1 和 f2 的大小． 2019 年湖北省孝感市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）计算﹣19+20 等于（　　） A．﹣39 B．﹣1 C．1 D．39 【考点】19：有理数的加法．菁优网版权所有 【分析】直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案． 【解答】解：﹣19+20＝1． 故选：C． 【点评】此题主要考查了有理数的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键． 2．（3 分）如图，直线 l1∥l2，直线 l3 与 l1，l2 分别交于点 A，C，BC⊥l3 交 l1 于点 B，若∠ 1＝70°，则∠2 的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【考点】J3：垂线；JA：平行线的性质．菁优网版权所有 【分析】根据平行线的性质和垂直的定义解答即可． 【解答】解：∵l1∥l2， ∴∠1＝∠CAB＝70°， ∵BC⊥l3 交 l1 于点 B， ∴∠ACB＝90°， ∴∠2＝180°﹣90°﹣70°＝20°， 故选：B． 【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答． 3．（3 分）下列立体图形中，左视图是圆的是（　　） A． B． C． D． 【考点】U1：简单几何体的三视图．菁优网版权所有 【分析】左视图是从物体左面看，所得到的图形． 【解答】解：A、圆锥的左视图是等腰三角形，故此选项不合题意； B、圆柱的左视图是矩形，故此选项不合题意； C、三棱柱的左视图是矩形，故此选项不合题意； D、球的左视图是圆形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表 现在三视图中． 4．（3 分）下列说法错误的是（　　） A．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件 B．一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数 C．方差可以刻画数据的波动程度，方差越大，波动越小；方差越小，波动越大 D．全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式 【考点】O1：命题与定理；V2：全面调查与抽样调查；W5：众数；W7：方差；X1：随 机事件．菁优网版权所有 【分析】分别根据随机事件的定义、众数的定义、方差的意义以及调查方式判断即可． 【解答】解：A．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，正确，故 选项 A 不合题意； B．一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数，正确，故选项 B 不合题意； C．方差可以刻画数据的波动程度，方差越大，波动越大；方差越小，波动越小．故选项 C 符合题意； D．全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式，正确，故选项 D 不合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了随机事件的定义、众数的定义、方差的意义以及调查的方式， 属于基础题． 5．（3 分）下列计算正确的是（ 　　） A．x7÷x5＝x2 B．（xy2）2＝xy4 C．x2•x5＝x10 D．（ + ）（ ﹣ ）＝b﹣a 【考点】46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法；79： 二次根式的混合运算．菁优网版权所有 【分析】根据同底数幂的除法法则判断 A；根据积的乘方法则判断 B；根据同底数幂的乘 法法则判断 C；根据平方差公式以及二次根式的性质判断 D． 【解答】解：A、x7÷x5＝x2，故本选项正确； B、（xy2）2＝x2y4，故本选项错误； C、x2•x5＝x7，故本选项错误； D、（ + ）（ ﹣ ）＝a﹣b，故本选项错误； 故选：A． 【点评】本题考查了二次根式的运算，整式的运算，掌握同底数幂的乘除法法则、积的 乘方法则、平方差公式以及二次根式的性质是解题的关键． 6．（3 分）公元前 3 世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“ 杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻 力和阻力臂分别是 1200N 和 0.5m，则动力 F（单位：N）关于动力臂 l（单位：m）的函 数解析式正确的是（　　） A．F＝ B．F＝ C．F＝ D．F＝ 【考点】GA：反比例函数的应用．菁优网版权所有 【分析】直接利用阻力×阻力臂＝动力×动力臂，进而将已知量据代入得出函数关系式． 【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力 和阻力臂分别是 1200N 和 0.5m， ∴动力 F（单位：N）关于动力臂 l（单位：m）的函数解析式为：1200×0.5＝Fl， 则 F＝ ． 故选：B． 【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解题关键． 7．（3 分）已知二元一次方程组 ，则 的值是（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6 【考点】98：解二元一次方程组．菁优网版权所有 【分析】解方程组求出 x、y 的值，再把所求式子化简后代入即可． 【解答】解： ， ②﹣①×2 得，2y＝7，解得 ， 把 代入①得， +y＝1，解得 ， ∴ ＝ ． 故选：C． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元 法与加减消元法． 8．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，将点 P（2，3）绕原点 O 顺时针旋转 90°得到点 P'，则 P'的坐标为（　　） A．（3，2） B．（3，﹣1） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2） 【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转．菁优网版权所有 【分析】作 PQ⊥y 轴于 Q，如图，把点 P（2，3）绕原点 O 顺时针旋转 90°得到点 P'看 作把△OPQ 绕原点 O 顺时针旋转 90°得到△OP'Q′，利用旋转的性质得到∠P′Q′O ＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，从而可确定 P′点的坐标 ． 【解答】解：作 PQ⊥y 轴于 Q，如图， ∵P（2，3）， ∴PQ＝2，OQ＝3， ∵点 P（2，3）绕原点 O 顺时针旋转 90°得到点 P'相当于把△OPQ 绕原点 O 顺时针旋 转 90°得到△OP'Q′， ∴∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3， ∴点 P′的坐标为（3，﹣2）． 故选：D． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图 形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°， 90°，180°． 9．（3 分）一个装有进水管和出水管的空容器，从某时刻开始 4min 内只进水不出水，容器 内存水 8L；在随后的 8min 内既进水又出水，容器内存水 12L；接着关闭进水管直到容器 内的水放完．若每分钟进水量和出水量是两个常数，容器内的水量 y（单位：L）与时间 x （单位：min）之间的函数关系的图象大致的是（　　） A． B． C． D． 【考点】E6：函数的图象．菁优网版权所有 【分析】根据实际问题结合四个选项确定正确的答案即可． 【解答】解：∵从某时刻开始 4min 内只进水不出水，容器内存水 8L； ∴此时容器内的水量随时间的增加而增加， ∵随后的 8min 内既进水又出水，容器内存水 12L， ∴此时水量继续增加，只是增速放缓， ∵接着关闭进水管直到容器内的水放完， ∴水量逐渐减少为 0， 综上，A 选项符合， 故选：A． 【点评】本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是能够将实际问题与函数的图象有 机的结合起来，难度不大． 10．（3 分）如图，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 CD，AD 上，BE 与 CF 交于点 G． 若 BC＝4，DE＝AF＝1，则 GF 的长为（　　） A． B． C． D． 【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．菁优网版权所有 【分析】证明△BCE≌△CDF（SAS），得∠CBE＝∠DCF，所以∠CGE＝90°，根据等 角的余弦可得 CG 的长，可得结论． 【解答】解：正方形 ABCD 中，∵BC＝4， ∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°， ∵AF＝DE＝1， ∴DF＝CE＝3， ∴BE＝CF＝5， 在△BCE 和△CDF 中， ， ∴△BCE≌△CDF（SAS）， ∴∠CBE＝∠DCF， ∵∠CBE+∠CEB＝∠ECG+∠CEB＝90°＝∠CGE， cos∠CBE＝cos∠ECG＝ ， ∴ ，CG＝ ， ∴GF＝CF﹣CG＝5﹣ ＝ ， 故选：A． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三 角函数，证明△BCE≌△CDF 是解本题的关键． 二．细心填一填，试试自己的身手！（本大题 6 小题，每小题 3 分，共 18 分.请将结果直接 填写在答题卡相应位置上） 11．（3 分）中国“神威•太湖之光”计算机最高运行速度为 1250 000 000 亿次/秒，将数 1250 000 000 用科学记数法可表示为　1.25×109　． 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的 值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同 ．当原数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数． 【解答】解：将数 1250 000 000 用科学记数法可表示为 1.25×109． 故答案为：1.25×109． 【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式， 其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 12．（3 分）方程 ＝ 的解为　x＝1　． 【考点】B3：解分式方程．菁优网版权所有 【分析】观察可得方程最简公分母为 2x（x+3）．去分母，转化为整式方程求解．结果要 检验． 【解答】解：两边同时乘 2x（x+3），得 x+3＝4x， 解得 x＝1． 经检验 x＝1 是原分式方程的根． 【点评】解一个分式方程时，可按照“一去（去分母）、二解（解整式方程）、三检验（ 检查求出的根是否是增根）”的步骤求出方程的解即可．注意：解分式方程时，最后一 步的验根很关键． 13．（3 分）如图，在 P 处利用测角仪测得某建筑物 AB 的顶端 B 点的仰角为 60°，点 C 的仰角为 45°，点 P 到建筑物的距离为 PD＝20 米，则 BC＝　（20 ﹣20）　米． 【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．菁优网版权所有 【分析】根据正切的定义求出 BD，根据等腰直角三角形的性质求出 CD，结合图形计算， 得到答案． 【解答】解：在 Rt△PBD 中，tan∠BPD＝ ， 则 BD＝PD•tan∠BPD＝20 ， 在 Rt△PBD 中，∠CPD＝45°， ∴CD＝PD＝20， ∴BC＝BD﹣CD＝20 ﹣20， 故答案为：（20 ﹣20）． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟 记锐角三角函数的定义是解题的关键． 14．（3 分）董永社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某 周内“垃圾分类”的实施情况，将他们绘制了两幅不完整的统计图（A．小于 5 天；B.5 天；C.6 天；D.7 天），则扇形统计图 B 部分所对应的圆心角的度数是　108°　． 【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图．菁优网版权所有 【分析】先由 A 类别人数及其所占百分比求得总人数，再由各类别人数之和等于总人数 求出 B 类别人数，继而用 360°乘以 B 类别人数占总人数的比例即可得． 【解答】解：∵被调查的总人数为 9÷15%＝60（人）， ∴B 类别人数为 60﹣（9+21+12）＝18（人）， 则扇形统计图 B 部分所对应的圆心角的度数是 360°× ＝108°， 故答案为：108°． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统 计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据； 扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时本题还考查了通过样本来估计总体． 15．（3 分）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”， 利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边 形的面积 S1 来近似估计⊙O 的面积 S，设⊙O 的半径为 1，则 S﹣S1＝　0.14　． 【考点】1O：数学常识；MM：正多边形和圆．菁优网版权所有 【分析】根据圆的面积公式得到⊙O 的面积 S＝3.14，求得圆的内接正十二边形的面积 S1 ＝12× ×1×1×sin30°＝3，即可得到结论． 【解答】解：∵⊙O 的半径为 1， ∴⊙O 的面积 S＝3.14， ∴圆的内接正十二边形的中心角为 ＝30°，[来源:学科网 ZXXK] ∴过 A 作 AC⊥OB， ∴AC＝ OA＝ ， ∴圆的内接正十二边形的面积 S1＝12× ×1× ＝3， ∴则 S﹣S1＝0.14， 故答案为：0.14． 【点评】本题考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键． 16．（3 分）如图，双曲线 y＝ （x＞0）经过矩形 OABC 的顶点 B，双曲线 y＝ （x＞0） 交 AB，BC 于点 E、F，且与矩形的对角线 OB 交于点 D，连接 EF．若 OD：OB＝2：3， 则△BEF 的面积为　 　． 【考点】G4：反比例函数的性质；G5：反比例函数系数 k 的几何意义；G6：反比例函数 图象上点的坐标特征．菁优网版权所有 【分析】设 D（2m，2n），根据题意 A（3m，0），C（0，3n），B（3m，3n），即可 得出 9＝3m•3n，k＝2m•2n＝4mn，解得 mn＝1，由 E（3m， n），F（ m，3n），求 得 BE、BF，然后根据三角形面积公式得到 S△BEF＝ BE•BF＝ mn＝ ． 【解答】解：设 D（2m，2n）， ∵OD：OB＝2：3， ∴A（3m，0），C（0，3n）， ∴B（3m，3n）， ∵双曲线 y＝ （x＞0）经过矩形 OABC 的顶点 B， ∴9＝3m•3n， ∴mn＝1， ∵双曲线 y＝ （x＞0）经过点 D， ∴k＝4mn ∴双曲线 y＝ （x＞0）， ∴E（3m， n），F（ m，3n）， ∴BE＝3n﹣ n＝ n，BF＝3m﹣ m＝ m， ∴S△BEF＝ BE•BF＝ mn＝ 故答案为 ． 【点评】本题考查了反比例系数 k 的几何意义和反比例函数图象上点的坐标特征、三角 形面积等，表示出各个点的坐标是解题的关键． 三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题 8 小题，满分 72 分） 17．（6 分）计算：| ﹣1|﹣2sin60°+（ ）﹣1+ ． 【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．菁优网版权所有 【分析】原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂法则，以及 立方根定义计算即可求出值． 【解答】解：原式＝ ﹣1﹣2× +6﹣3＝2． 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．（8 分）如图，已知∠C＝∠D＝90°，BC 与 AD 交于点 E，AC＝BD，求证：AE＝BE． 【考点】KD：全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有 【分析】由 HL 证明 Rt△ACB≌Rt△BDA 得出∠ABC＝∠BAD，由等腰三角形的判定定 理即可得出结论． 【解答】证明：∵∠C＝∠D＝90°， ∴△ACB 和△BDA 是直角三角形， 在 Rt△ACB 和 Rt△BDA 中， ， ∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL）， ∴∠ABC＝∠BAD， ∴AE＝BE． 【点评】本题考查了全等三角形 的判定与性质、等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角 形的判定定理，证明三角形全等是解题的关键． 19．（7 分）一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，它们 除了数字不同外，其它完全相同． （1）随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是　 　． （2）小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点 M 的横坐 标；然后放回搅匀，接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点 M 的纵坐标 ．如图，已知四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（ 1，0），D（0，1），请用画树状图或列表法，求点 M 落在四边形 ABCD 所围成的部分 内（含边界）的概率． 【考点】X4：概率公式；X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有 【分析】（1）直接利用概率公式计算可得； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得 ． 【解答】解：（1）在﹣2，﹣1，0，1 中正数有 1 个， ∴摸出的球上面标的数字为正数的概率是 ， 故答案为： ． （2）列表如下： ﹣2 ﹣1[来源:Z。xx。k.Com] 0 1 ﹣2 （﹣2，﹣2） （﹣1，﹣2） （0，﹣2） （1，﹣2） ﹣1 （﹣2，﹣1） （﹣1，﹣1） （0，﹣1） （1，﹣1） 0 （﹣2，0） （﹣1，0） （0，0） （1，0） 1 （﹣2，1） （﹣1，1） （0，1） （1，1） 由表知，共有 16 种等可能结果，其中点 M 落在四边形 ABCD 所围成的部分内（含边界） 的有： （﹣2，0）、（﹣1，﹣1）、（﹣1，0）、（0，﹣2）、（0，﹣1）、（0，0）、（0， 1）、（1，0）这 8 个， 所以点 M 落在四边形 ABCD 所围成的部分内（含边界）的概率为 ． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所 有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解 题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总 情况数之比． 20．（8 分）如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作： ①以点 C 为圆心，以 CB 为半径画弧，交 AB 于点 G；分别以点 G、B 为圆心，以大于 GB 的长为半径画弧，两弧交点 K，作射线 CK； ②以点 B 为圆心，以适当的长为半径画弧，交 BC 于点 M，交 AB 的延长线于点 N；分 别以点 M、N 为圆心，以大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作直线 BP 交 AC 的延长线于点 D，交射线 CK 于点 E． 请你观察图形，根据操作结果解答下列问题； （1）线段 CD 与 CE 的大小关系是　CD＝CE　； （2）过点 D 作 DF⊥AB 交 AB 的延长线于点 F，若 AC＝12，BC＝5，求 tan∠DBF 的值 ． 【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质；N3：作图—复杂作图； T7：解直角三角形．菁优网版权所有 【分析】（1）由作图知 CE⊥AB，BD 平分∠CBF，据此得∠1＝∠2＝∠3，结合∠CEB+ ∠3＝∠2+∠CDE＝90°知∠CEB＝∠CDE，从而得出答案； （2）证△BCD≌△BFD 得 CD＝DF，从而设 CD＝DF＝x，求出 AB＝ ＝13， 知 sin∠DAF＝ ＝ ，即 ＝ ，解之求得 x＝ ，结合 BC＝BF＝5 可得答案． 【解答】解：（1）CD＝CE， 由作图知 CE⊥AB，BD 平分∠CBF， ∴∠1＝∠2＝∠3， ∵∠CEB+∠3＝∠2+∠CDE＝90°， ∴∠CEB＝∠CDE， ∴CD＝CE， 故答案为：CD＝CE； （2）∵BD 平分∠CBF，BC⊥CD，BF⊥DF， ∴BC＝BF，∠CBD＝∠FBD， 在△BCD 和△BFD 中， ∵ ， ∴△BCD≌△BFD（AAS）， ∴CD＝DF， 设 CD＝DF＝x， 在 Rt△ACB 中，AB＝ ＝13， ∴sin∠DAF＝ ＝ ，即 ＝ ， 解得 x＝ ， ∵BC＝BF＝5， ∴tan∠DBF＝ ＝ × ＝ ． 【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握过直线外一点作已知直线的 垂线和角平分线的尺规作图及全等三角形的判定与性质等知识点． 21．（10 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0 有两个不相等的实 数根 x1，x2． （1）若 a 为正整数，求 a 的值； （2）若 x1，x2 满足 x12+x22﹣x1x2＝16，求 a 的值． 【考点】AA：根的判别式；AB：根与系数的关系．菁优网版权所有 【分析】（1）根据关于 x 的一元二次方程 x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0 有两个不相等的 实数根，得到△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，于是得到结论； （2）根据 x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，代入 x12+x22﹣x1x2＝16，解方程即可得 到结论． 【解答】解：（1）∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0 有两个不相等 的实数根， ∴△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0， 解得：a＜3， ∵a 为正整数， ∴a＝1，2； （2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2， ∵x12+x22﹣x1x2＝16， ∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16， ∴[﹣2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16， 解得：a1＝﹣1，a2＝6， ∵a＜3， ∴a＝﹣1． 【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出 a 的取值 范围，再由根与系数的关系得出方程组是解答此题的关键． 22．（10 分）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批 A、B 两种型号的一 体机．经过市场调查发现，今年每套 B 型一体机的价格比每套 A 型一体机的价格多 0.6 万元，且用 960 万元恰好能购买 500 套 A 型一体机和 200 套 B 型一体机． （1）求今年每套 A 型、B 型一体机的价格各是多少万元？ （2）该市明年计划采购 A 型、B 型一体机共 1100 套，考虑物价因素，预计明年每套 A 型一体机的价格比今年上涨 25%，每套 B 型一体机的价格不变，若购买 B 型一体机的总 费用不低于购买 A 型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采 购计划？ 【考点】9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用．菁优网版权所有 【分析】（1）直接利用今年每套 B 型一体机的价格比每套 A 型一体机的价格多 0.6 万元 ，且用 960 万元恰好能购买 500 套 A 型一体机和 200 套 B 型一体机，分别得出方程求出 答案； （2）根据题意表示出总费用进而利用一次函数增减性得出答案． 【解答】解：（1）设今年每套 A 型一体机的价格为 x 万元，每套 B 型一体机的价格为 y 万元， 由题意可得： ， 解得： ， 答：今年每套 A 型的价格各是 1.2 万元、B 型一体机的价格是 1.8 万元； （2）设该市明年购买 A 型一体机 m 套，则购买 B 型一体机（1100﹣m）套， 由题意可得：1.8（1100﹣m）≥1.2（1+25%）m， 解得：m≤600， 设明年需投入 W 万元， W＝1.2×（1+25%）m+1.8（1100﹣m） ＝﹣0.3m+1980， ∵﹣0.3＜0， ∴W 随 m 的增大而减小， ∵m≤600， ∴当 m＝600 时，W 有最小值﹣0.3×600+1980＝1800， 故该市明年至少需投入 1800 万元才能完成采购计划． 【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用、一次函数 的应用，正确找出等量关系是解题关键． 23．（10 分）如图，点 I 是△ABC 的内心，BI 的延长线与△ABC 的外接圆⊙O 交于点 D， 与 AC 交于点 E，延长 CD、BA 相交于点 F，∠ADF 的平分线交 AF 于点 G． （1）求证：DG∥CA； （2）求证：AD＝ID； （3）若 DE＝4，BE＝5，求 BI 的长． 【考点】M5：圆周角定理；MA：三角形的外接圆与外心；MI：三角形的内切圆与内心． 菁优网版权所有 【分析】（1）根据三角形内心的性质得∠2＝∠7，再利用圆内接四边形的性质得∠ADF ＝∠ABC，则∠1＝∠2，从而得到∠1＝∠3，则可判断 DG∥AC； （2）根据三角形内心的性质得∠5＝∠6，然后证明∠4＝∠DAI 得到 DA＝DI； （3）证明△DAE∽△DBA，利用相似比得到 AD＝6，则 DI＝6，然后计算 BD﹣DI 即可． 【解答】（1）证明：∵点 I 是△ABC 的内心， ∴∠2＝∠7， ∵DG 平分∠ADF， ∴∠1＝ ∠ADF， ∵∠ADF＝∠ABC， ∴∠1＝∠2， ∵∠3＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴DG∥AC； （2）证明：∵点 I 是△ABC 的内心， ∴∠5＝∠6， ∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6， 即∠4＝∠DAI， ∴DA＝DI； （3）解：∵∠3＝∠7，∠ADE＝∠BAD， ∴△DAE∽△DBA， ∴AD：DB＝DE：DA，即 AD：9＝4：AD， ∴AD＝6， ∴DI＝6， ∴BI＝BD﹣DI＝9﹣6＝3． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等； 三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了圆周角定理和三角形的外心． 24．（13 分）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y＝ax2﹣2ax﹣8a 与 x 轴相交 于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C（0，﹣4）． （1）点 A 的坐标为　（﹣2，0）　，点 B 的坐标为　（4，0）　，线段 AC 的长为　2 　 ，抛物线的解析式为　y＝ x2﹣x﹣4　． （2）点 P 是线段 BC 下方抛物线上的一个动点． ①如果在 x 轴上存在点 Q，使得以点 B、C、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形．求点 Q 的坐标． ②如图 2，过点 P 作 PE∥CA 交线段 BC 于点 E，过点 P 作直线 x＝t 交 BC 于点 F，交 x 轴于点 G，记 PE＝f，求 f 关于 t 的函数解析式；当 t 取 m 和 4﹣ m（0＜m＜2）时，试 比较 f 的对应函数值 f1 和 f2 的大小． 【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 【分析】（1）由题意得：﹣8a＝﹣4，故 a＝ ，即可求解； （2）分 BC 是平行四边形的一条边时、BC 是平行四边形的对角线时，两种情况分别求 解即可． （3）证明△EPH∽△CAO，∴ ，即： ，则 EP＝ PH，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：﹣8a＝﹣4，故 a＝ ， 故抛物线的表达式为：y＝ x2﹣x﹣4， 令 y＝0，则 x＝4 或﹣2，即点 A、B 的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0）， 则 AC＝2 ， 故答案为：（﹣2，0）、（4，0）、2 、y＝ x2﹣x﹣4； （2）①当 BC 是平行四边形的一条边时， 如图所示，点 C 向右平移 4 个单位、向上平移 4 个单位得到点 B， 设：点 P（n， n2﹣n﹣4），点 Q（m，0）， 则点 P 向右平移 4 个单位、向上平移 4 个单位得到点 Q， 即：n+4＝m， n2﹣n﹣4+4＝0， 解得：m＝4 或 6（舍去 4）， 即点 Q（6，0）； ②当 BC 是平行四边形的对角线时， 设点 P（m，n）、点 Q（s，0），其中 n＝ m2﹣m﹣4， 由中心公式可得：m+s＝﹣2，n+0＝4， 解得：s＝2 或 4（舍去 4）， 故点 Q（2，0）； 故点 Q 的坐标为（2，0）或（6，0）； （3）如图 2，过点 P 作 PH∥x 轴交 BC 于点 H， ∵GP∥y 轴，∴∠HEP＝∠ACB， ∵PH∥x 轴，∴∠PHO＝∠AOC， ∴△EPH∽△CAO，∴ ，即： ， 则 EP＝ PH， 设点 P（t，yP），点 H（xH，yP）， 则 t2﹣t﹣4＝xH﹣4， 则 xH＝ t2﹣t， f＝ PH＝[t﹣（ t2﹣t）]＝﹣ （t2﹣4t）， 当 t＝m 时，f1＝ （m2﹣4m）， 当 t＝4﹣ m 时，f2＝﹣ （ m2﹣2m）， 则 f1﹣f2＝﹣ m（m﹣ ）， 则 0＜m＜2，∴f1﹣f2＞0， f1＞f2． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的 面积计算等，其中（2），要主要分类求解，避免遗漏． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/7/29 11:52:54；用户：学无止境；邮箱：419793282@qq.com；学号：7910509