【数学】2020届一轮复习（理）通用版5-1平面向量的概念及线性运算作业 5页

课时跟踪检测（二十七） 平面向量的概念及线性运算 ‎1．(2019·山东省实验中学高三摸底测试)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是(　　)‎ A．a＋b＝0　　　　　　　 B．a＝b C．a与b反向共线 D．存在正实数λ，使得a＝λb 解析：选D　由已知得，向量a与b为同向向量，即存在正实数λ，使得a＝λb，故选D.‎ ‎2．设a0为单位向量，下述命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：选D　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.‎ ‎3．(2019·广东仲元中学期中)在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(　　)‎ A．||＝||一定成立 B．＝＋一定成立 C．＝一定成立 D．＝－一定成立 解析：选A　在平行四边形ABCD中，＝＋一定成立，＝一定成立，＝－一定成立，但||＝||不一定成立．故选A.‎ ‎4．(2019·石家庄高三一检)在△ABC中，点D在边AB上，且＝，设＝a，＝b，则＝(　　)‎ A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 解析：选B　∵＝，∴＝，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选B.‎ ‎5.(2019·长春模拟)如图所示，下列结论正确的是(　　)‎ ‎①＝a＋b；‎ ‎②＝a－b；‎ ‎③＝a－b；‎ ‎④＝a＋b.‎ A．①② B．③④‎ C．①③ D．②④‎ 解析：选C　①根据向量的加法法则，得＝a＋b，故①正确；②根据向量的减法法则，得＝a－b，故②错误；③＝＋＝a＋b－2b＝a－b，故③正确；④＝＋QR―→＝a＋b－b＝a＋b，故④错误，故选C.‎ ‎6．(2019·嘉兴调研)已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．90°‎ 解析：选A　由＋＋＝0得，＋＝，由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，故A＝30°.‎ ‎7.(2019·江西新余第一中学模拟)如图，已知△OAB，若点C满足＝2，＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则＋＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D　∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴λ＝，μ＝，∴＋＝3＋＝.故选D.‎ ‎8．(2019·张家口月考)在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若2＋＝2＋，则四边形ABCD一定是(　　)‎ A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形 解析：选B　∵2＋＝2＋，∴2(－)＝－，即2＝，∴DA∥CB，且2| |＝||，∴四边形ABCD一定是梯形．故选B.‎ ‎9．(2019·甘肃诊断)设D为△ABC所在平面内一点，＝－4，则＝(　　)‎ A.－ B.＋ C.－ D.＋ 解析：选B　法一：设＝x＋y，由＝－4可得，＋＝－4－4，即－－3＝－4x－4y，则解得即＝＋，故选B.‎ 法二：在△ABC中，＝－4，即－＝，则＝＋＝－＝－(＋)＝＋，故选B.‎ ‎10.(2019·曲阜模拟)如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　)‎ A. B. C．1 D．3‎ 解析：选B　因为＝，所以＝4.所以＝m＋＝m＋，因为B，P，N共线，所以m＋＝1，m＝.‎ ‎11．(2019·河南三市联考)若＝，＝(λ＋1)，则λ＝________.‎ 解析：由＝可知，点P是线段AB上靠近点A的三等分点，则＝－，所以λ＋1＝－，解得λ＝－.‎ 答案：－ ‎12．(2019·石家庄高三摸底考试)平行四边形ABCD中，M为BC的中点，若＝λ＋μ，则λμ＝________.‎ 解析：∵＝－＝－＝－2＝3－2，∴＝λ＋3μ－2μ，∴(1－3μ)＝(λ－2μ)，∵和是不共线向量，∴解得∴λμ＝.‎ 答案： ‎13．(2019·盐城一模)在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且＝＋λ (λ∈R)，则AD的长为________．‎ 解析：因为B，D，C三点共线，所以＋λ＝1，解得λ＝，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则＝，＝，经计算得AN＝AM＝3，AD＝3.‎ 答案：3 ‎14．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________．‎ 解析：由题意可求得AD＝1，CD＝，所以＝2.‎ ‎∵点E在线段CD上，∴＝λ (0≤λ≤1)．‎ ‎∵＝＋，‎ 又＝＋μ＝＋2μ＝＋，‎ ‎∴＝1，即μ＝.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤，‎ 即μ的取值范围是.‎ 答案： ‎15．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n (m，n∈R)．‎ ‎(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；‎ ‎(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.‎ 证明：(1)若m＋n＝1，‎ 则＝m＋(1－m) ‎＝＋m(－)，‎ ‎∴－＝m(－)，‎ 即＝m，∴与共线．‎ 又∵与有公共点B，‎ ‎∴A，P，B三点共线．‎ ‎(2)若A，P，B三点共线，‎ 则存在实数λ，使＝λ，‎ ‎∴－＝λ(－)．‎ 又＝m＋n.‎ 故有m＋(n－1)＝λ－λ，‎ 即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.‎ ‎∵O，A，B不共线，∴，不共线，‎ ‎∴∴m＋n＝1.‎