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- 2021-05-12 发布
导数零点一家亲 相亲相爱不分离
导数及其应用是数学高考的重点，特别在理科数学考试中常常是承担压轴的大题.导数具有丰富的数学内涵和表现形式，它是解决函数的图像、性质以及方程、不等式等问题的“利器”，而导数的零点则是展示其工具性的一个关键“点”，一旦此“点”得以突破，则有关问题“迎刃而解”．本文试对导函数的零点在近两年高考中的应用做一些整理归纳分析，以供参考．
【题型一】零点个数问题（在零点问题中求解参数范围）
【解题技巧】用导数来判断函数的零点个数，常通过研究函数的单调性、极值后，描绘出函数的图象，再借助图象加以判断．
例1：已知函数，是否存在实数，使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
解 ：函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数
的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点．
当时，是增函数；当时，是减函数；
当时，是增函数；当或时，
当充分接近0时，当充分大时，（极限思想）
要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须
即∴存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为
例2：已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
解：（1）由可得：
．
①当时，由可得；由可得．
即有在上单调递减，在上单调递增；
②当时，若，则恒成立，即有函数在上单调递增；
若时，由可得或；
由可得.即有在上单调递增，在上单调递减；
若由可得或；由可得，
即有在上递增，在上递减．
（2）由（1）可得当时，在上单调递减，在上单调递增；
且，故有两个零点．
当时，，∴只有一个零点．
当时，若，在上递减，在，上递增，由当时，，所以不存在两个零点．
若，在上递增，在上递减，又时，，∴不存在两个零点．
综上，有两个零点时，的取值范围是．
【题型二】分段函数的零点个数
例3：已知函数(,)．
（1） 写出函数在上的单调区间；
（2） 若方程恰有两解，求实数的值．
解：（1）.
∴由得，而恒成立．
①当,即时，在和上是减函数，在上是增函数．
②当，即时，在和上是减函数，在上是增函数．
③当，即时，在上是减函数．
（2） 由（1）知，当时，在和上是减函数，在上是增函数．故在处取得极小值，在处取得极大值，若方程有两个解，则或．
当时，在和上是减函数，在上是增函数．故函数处有极小值在处取得极大值，若方程有两个解，则或．
当时，在上是减函数，故不存在这样的实数，使得恰有两解．
【题型三】运用导数求证函数“存在、有且只有一个零点”
【解题技巧】（1）要求证一个函数存在零点，只须要用“函数零点的存在性定理”即可证明．
即：如果函数图像在区间上是一条连续不断曲线，并且，则函数在区间上至少有一个零点．
（2）要求证一个函数“有且只有一个”零点，先要用“函数零点的存在性定理”求证函数存在零点；再证明函数为单调函数零点的唯一性．其依据为：
如果函数在区间上是单调函数，并且，则函数在区间上至多有一个零点．
例4：设，函数．
(1) 求的单调区间 ；
(2) 证明：在上仅有一个零点．
解：（1）依题，
∴ 在上是单调增函数；
（2）∵ ，∴ 且，
∴ 在上有零点，又由（1）知在上是单调增函数，
在上仅有一个零点．
【题型四】运用导数判断与求证含参函数的零点或零点范围
【解题技巧】含参函数的零点一般可以转化为方程根的问题，函数图象与坐标轴的交点问题，两个函数图象的交点问题或者把零点问题分离变量后转化为函数值域问题等等．
例5：已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）证明：对任意的在区间内均存在零点．
解：（Ⅰ） ，令，解得．
若，当变化时，的变化情况如下表：
+
-
+
所以，的单调递增区间是的单调递减区间是．
（Ⅱ）证明：
由（Ⅰ）可知，当时，在内的单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论：
（1）当时，在（0，1）内单调递减，
．
∴对任意在区间（0，1）内均存在零点．
（1） 当时，在内单调递减，在内单调递增，若
．
．
∴内存在零点．
若．
，∴内存在零点．
∴对任意在区间（0，1）内均存在零点．
综上，对任意在区间（0，1）内均存在零点．
例6（2016泰州一模20）已知函数，，．
（1） 若，求证：
（ⅰ）在的单调减区间上也单调递减；
（ⅱ）在上恰有两个零点；
（2）若，记的两个零点为，求证：．
解：证：（1）（ⅰ）因为，所以，
由得的递减区间为，
当时，，
∴在的递减区间上也递减．
（ⅱ），
∵，由得，
令，则，
∵，且，∴必有两个异号的零点，记正零点为，则时，，单调递减；时，，单调递增，若在上恰有两个零点，则，
由得，
∴，又∵对称轴为∴，
∴，∴，
又，
设中的较大数为，则，
故在上恰有两个零点．
（2）由（1）知，对于在上恰有两个零点，
不妨设，又∵，，∴，
又∵，，∴，
∴．
点评：
以上关于导函数零点问题的题型分类与剖析，不仅能使我们较好地把握导函数的零点在各种问题中的体现方式，而且能让我们运用多种数学思想来处理与导函数零点有关的问题，对研究和解决其他数学问题也有较好的启发和导向作用．
练习
1．已知函数.
（1）试讨论的单调性；
（2）若（实数c是a与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是，求的值．
2．已知函数，其中函数，．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）当时，求函数在上的最大值；
（3）当时，对于给定的正整数，问函数是否有零点？请说明理由．（参考数据）
答案及提示
1．【解析】：（1），解得：．
①当时，，∴在上是增函数．
②当时，
+
-
+
增
减
增
由表格可知，的增区间为，；减区间为
③当时，
+
-
+
增
减
增
由表格可知，的增区间为，；减区间为
综上，当时，在上是增函数．
当时，的增区间为，；减区间为
当时，的增区间为，；减区间为
（2）因为，所以,．
由（1）可知，当时，
的增区间为，；减区间为．
∴的极大值为，极小值为．
∵函数有三个不同的零点，∴满足，
同理，当时，满足
综上可知，的解集为．
∴有一个根为．
把带入，解得．
∴的值为1.
2．【解析】：（1），故， ∴切线方程为，即．
（2）， 故，
令，得或．
①当,即时，在上递减，在上递增，
所以，由于，，故，∴；
②当,即时，在上递增，上递减，在上递增，∴，由于，，故， ∴．
综上得，．
（3）结论：当时，函数无零点；当时，函数有零点．
理由如下：
①当时，实际上可以证明：．
直接证明的最小值大于0，可以借助虚零点处理．
，显然可证在上递增，
∵，，
∴存在，使得，
∴当时，递减；当时，递增，
∴，其中，
而递减，所以，
∴，所以命题得证。
②当时，，
此时，，
下面证明，可借助结论处理，首先证明结论：
令，则，故，
∴在上递增，所以，
∴在上递增，所以，得证．
借助结论得，
∴．
又∵函数连续，∴在上有零点．