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- 2021-05-12 发布
专题01 坐标系
知识通关
1．平面直角坐标系中的伸缩变换
设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.
2．极坐标系的概念
（1）极坐标系：在平面上取一个定点O叫做极点；自点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如图)．
（2）极坐标：设M是平面上的任一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．
3．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则或
4．圆的极坐标方程
圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程：
(1)如图，圆心在极点，半径为r：ρ＝r；
(2)如图，圆心为M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcosθ；
(3)如图，圆心为，半径为r：ρ＝2rsinθ.
5．直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)．
几个特殊位置的直线的极坐标方程：
(1)如图，直线过极点，且极轴到此直线的角为α：θ＝α和θ＝π+α(ρ∈R)；
(2)如图，直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；
(3)如图，直线过且平行于极轴：ρsin θ＝b.
基础通关
1．理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
2．了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.
3．能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．
题组一 平面直角坐标系中的伸缩变换
解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，利用方程思想求解．
【例1】在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：
（1）求点经过φ变换所得点A′的坐标；学
（2）求直线l：y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程．学 . .X.X.
【解析】（1）设点A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：得
∴x′＝×3＝1，y′＝＝－1.
∴点A′的坐标为(1，－1).
（2）设P′(x′，y′)是直线l′上任意一点．
由伸缩变换φ：得代入y＝6x，得2y′＝6·＝2x′，
∴y′＝x′，
故y=x即为所求直线l′的方程.
题组二 极坐标和直角坐标的互化
一是坐标点的互化，极坐标的点化为直角坐标的点较简单，代入公式即可，直角坐标化极坐标利用公式即可，要注意ρ、θ的取值范围；
二是方程的互化，直角坐标的方程化极坐标的方程代入公式可化为极坐标，极坐标方程化直角坐标方程，为公式逆用，构造公式右边，常在等式两边同乘ρ，角化为单角θ的正、余弦.
注意：进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ
的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧．
【例2】在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：.
（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；
（2）当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．
【例3】在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin＝1，圆C的圆心的极坐标是C，圆的半径为1.
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）求直线l被圆C所截得的弦长．
【解析】（1）设O为极点，OD为圆C的直径，A(ρ，θ)为圆C上的一个动点，则∠AOD＝－θ或∠AOD＝θ－，
∴OA＝ODcos或OA＝ODcos，
∴圆C的极坐标方程为ρ＝2cos.
（2）由ρsin＝1，得ρ(sin θ＋cos θ)＝1，
∴直线l的直角坐标方程为x＋y－＝0，
又圆心C的直角坐标为，满足直线l的方程，
∴直线l过圆C的圆心，
故直线被圆所截得的弦长为直径2.
能力通关
1．平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一．极坐标与P点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ＜2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点．
2．求解与极坐标有关的问题，主要有两种方法：一是直接利用极坐标求解；二是转化为直角坐标后，用直角坐标求解，使用后一种时应注意若结果是要求极坐标，还应将直角坐标化为极坐标.
利用极坐标的几何意义解决问题
【例1】在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求的极坐标方程；
（2）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积.
坐标系的综合问题
【例2】将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
【解析】（1）设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，
依题意，得.
由x＋y＝1得，
故曲线C的方程为.
（2）由解得或.
不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为 ＝，
于是所求直线方程为，化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，
故所求直线的极坐标方程为. 学
高考通关
1．在极坐标系中，已知曲线C1，C2的极坐标方程C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cos θ.
（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；
（2）若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离．
【解析】（1）由C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，得x－y－1＝0，表示一条直线. 学
由C2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，
∴x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.
∴曲线C2是圆心为(1,0)，半径r＝1的圆.
（2）由（1）知点(1,0)在直线x－y－1＝0上，
因此直线C1过圆C2的圆心.
∴两交点A，B的连线段是圆C2的直径．
因此两交点A，B间的距离为|AB|＝2r＝2.
2．在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为
（），为上一点，以为边作等边三角形，且、、三点按逆时针方向排列.
（1）当点在上运动时，求点运动轨迹的直角坐标方程；
（2）若曲线：，经过伸缩变换得到曲线，试判断点的轨迹与曲线是否有交点，如果有，请求出交点的直角坐标，如果没有，请说明理由.
【解析】（1）设点的坐标为，则由题意可得点的坐标为，
再由点的横坐标等于，，可得，
可得，
故当点在上运动时，点的直角坐标方程为．
3．在直角坐标系中，直线：，圆：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求，的极坐标方程；
（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，与的交点为，求的面积.
【解析】（1）因为，，
所以的极坐标方程为，即， 学+ +
的极坐标方程为.
（2）将代入，
得，解得.
将代入，
得，解得.
故的面积为.
【名师点睛】本题着重考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，三角形的面积问题可以利用面积公式或者转化成弦长问题和点到直线的距离解决.
（1）将代入可得其极坐标方程；
（2）分别将代入的极坐标方程，可求得的值，进而计算的面积.
4．已知椭圆：，抛物线：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求椭圆及抛物线的极坐标方程；
（2）过原点的直线与椭圆交于点、，与抛物线交于点（异于原点），设抛物线的焦点为，若，求的面积.
【解析】（1）椭圆的极坐标方程为：，
抛物线的极坐标方程为：.
（2）设直线的极坐标方程为
，
，
，
.
【名师点睛】以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中极坐标与直角坐标的关系是，代入可相互转化，由于表示点到极点（原点O）的距离，因此本题用极坐标方程求解显得更加方便．