宁夏吴忠市青铜峡市高级中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 15页

高级中学 2019-2020 学年（一）期中考试高一年级数学试卷 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的) 1.设全集为 ，集合 A ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试 题 分 析 ： 由 的 ， 所 以 ，选 A． 考点：集合的运算 2.设函数 f(x)＝ 则 f(f(3))＝(　　) A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 , ,故选 D. 【此处有视频，请去附件查看】 3.函数 的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 依题意有 ，解得 . R { }| 3 3x x= − < < { }| 1 5B x x= − < ≤ ( )RA C B∩ = ( ]3, 1− − ( 3, 1)− − ( 3,0)− ( 3,3)− { }| 1 5B x x= − < ≤ { }5 1UC B x x x= ≤ −或 ( )RA C B∩ = { }| 3 1x x− < ≤ − 2 1, 1, 2 , 1, x x xx  + ≤ > 1 5 2 3 13 9 ( ) 23 1, 3 3f> ∴ = 22 2 13( (3)) ( ) ( ) 13 3 9f f f= = + = ( ) ( )2 ln 1f x x x= + + − [ )2,1− ( ]2,1− [ ]2,1− ( )1,+∞ 2 0 1 0 x x + ≥  − > [ )2,1x∈ − 4.下列函数中，在区间 上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析： 在 上是减函数，故 A 不对； 在 上是减函数， 故 B 不对； 在 上是减函数，故 C 不对.； 在 上是增函数， 故 D 对 考点:函数的单调性. 5.已知幂函数 的图象过点 ，则 的值为 　　 A. B. 2 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据幂函数的定义和待定系数法，求出幂函数的表达式，即可求值． 【 详 解 】 设 幂 函 数 为 ， 的 图 象 过 点 ， ． ， ， 故选 B． 【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式，同时考查了幂函数的概念，属于基 础题. 6.满足关系 的集合 B 的个数（　 　） A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个 (0, )+∞ 2y x= − 1y x = 1 2 x y  =    2logy x= 2y x= − (0, )+∞ 1y x = (0, )+∞ 1 2 x y  =    (0, )+∞ 2logy x= (0, )+∞ ( )y f x= 1 2,2 2       ( )4f ( ) 1 4 1 16 ( )f x xα= ( )y f x= 1 2,2 2       1 21 2( ) 2 22 2 α α− −∴ = = = 1 2 α∴ = ( ) 1 2f x x∴ = ( ) 1 24 4 4 2f∴ = = = { }1 {1,2,3,4}B⊆ ⊆ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意得，B 是{1，2，3，4}的一个包含元素 1 子集，一共有 8 个． 【详解】满足关系式{1}⊆B⊆{1，2，3，4}的集合 B 有{1}，{1，3}，{1，2}，{1，4}，{1，2， 3}，{1，2，4}， {1，3，4}，{1，2，3，4}一共有 8 个． 故选 D． 【点睛】本题考查元素与集合关系的判断和子集的应用，属于基本题． 7.若 2x=3，则 x 等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 化指数式为对数式，再由换底公式得答案． 【详解】由 2x＝3，得 x ． 故选 D． 【点睛】本题考查指数式与对数式的互化，考查换底公式的应用，是基础题． 8.已知 ，那么 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先令 ，则 ，即可求得函数解析式. 【详解】解：设 ，则 ， 则 ， 3log 2 lg2 lg3− lg2 lg3 lg3 lg2 2 33 2 lglog lg = = 2( 1) 5f x x x+ = + ( )f x = 2 3 4x x+ + 2 3 4x x+ − 2 3x x+ 2 5x x+ 1t x= + 2 2( ) ( 1) 5( 1) 3 4f t t t t t= − + − = + − 1t x= + 1x t= − 2 2( ) ( 1) 5( 1) 3 4f t t t t t= − + − = + − 即函数解析式为 ， 故选：B. 【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式，属基础题. 9.已知 ，则 a，b，c 的大小关系（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用指数函数的单调性与 1 作比较可以得出 a 与 b 的大小关系，通过对数函数的图像性质可 以得到 ，得到最终的结果. 【详解】由指数函数和对数函数图像可知： ， 则 的大小关系是： . 故选 D． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题． 10.当 时，在同一坐标系中 与 的图像大致是（ ） A. B. C. D. ( )f x = 2 3 4x x+ − 3 2 1 2 1= 0.3 log 22a b c−  = =   ， ， a b c> > a c b> > c b a> > b a c> > 0c < 3 2 1 2 1 (0,1), 0.3 1, log 2 02a b c− = ∈ = > = <   a b c， ， b a c> > 0 1a< < xy a= logay x= 【答案】B 【解析】 【详解】解析过程略 11.如果奇函数 在区间 上是增函数，且最小值为 ，那么 在区间 上 是( ) A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为 C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为 【答案】B 【解析】 【分析】 根据奇偶性和函数在 上的单调性可知 在 上为增函数，由 可知 ，由单调性确定 为最大值. 【详解】 为奇函数 图象关于原点对称 在 上为增函数 在 上为增函数 在 上的最小值为 ；最大值为 又 在 上最小值为 即 在 上为增函数且最大值为 本题正确选项： 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解函数值的问题，关键是能够通过奇偶性得 到对称区间内的单调性，从而确定最值点. 12.若 是偶函数，且对任意 ∈ 且 ，都有 ，则下列 关系式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A ( )f x [ ]3,7 5 ( )f x [ ]7, 3− − 5− 5− 5− 5− [ ]3,7 ( )f x [ ]7, 3− − ( )3 5f = ( )3 5f − = − ( )3f − ( )f x ( )f x∴ ( )f x [ ]3,7 ( )f x∴ [ ]7, 3− − ( )f x∴ [ ]7, 3− − ( )7f − ( )3f − ( )f x [ ]3,7 ( )3 5f = ( ) ( )3 3 5f f∴ − = − = − ( )f x [ ]7, 3− − 5− B ( )f x 1 2,x x (0, )+∞ 1 2x x≠ ( ) ( )2 1 2 1 0- f x f x x x − < 1 2 3( ) ( ) ( )2 3 4f f f> − > 1 3 2( ) ( ) ( )2 4 3f f f> − > 3 1 2( ) ( ) ( )4 2 3f f f> − > 3 2 1( ) ( ) ( )4 3 2f f f− > > 【解析】 分析】 由于对任意的 x1，x2∈（0，+∞），都有 ，可得函数 f（x）在（0，+∞）上 单调递减，即可得出． 【详解】∵对任意的 x1，x2∈（0，+∞），都有 ， ∴函数 f（x）在（0，+∞）上单调递减， 又∵ ， ∴ ， 又∵f（x）是偶函数，∴f（﹣ ）＝f（ ）． ∴ ． 故选 A． 【点睛】本题考查了函数的奇偶性、单调性的应用，属于基础题． 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13.已知函数 是定义在 上 奇函数，当 时， ,则 __________. 【答案】12 【解析】 【分析】 由函数的奇偶性可知 ，代入函数解析式即可求出结果. 【详解】函数 是定义在 上的奇函数， ，则 ， . 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题型. 14.若指数函数 在区间 上的最大值和最小值之和为 ，则 的值为__ 【 的 ( ) ( )2 1 2 1 0- f x f x x x − < ( ) ( )2 1 2 1 0- f x f x x x − < 1 2 3 2 3 4 < < 1 2 3 2 3 4f f f                ＞ ＞ 2 3 2 3 1 2 3 2 3 4f f f     −          ＞ ＞ ( )f x R ( , 0)x ∈ −∞ 3 2( ) 2f x x x= + (2)f = ( ) ( )2 2f f= − − ( )f x ( ) ( )f x f x− = − ( ) ( )f x f x= − − ( ) ( ) ( ) ( )3 22 2 2 2 2 12f f  = − − = − × − + − =  ( ) ( )1xf x a a= > [ ]0,2 10 a 【答案】3 【解析】 【分析】 先 由 当 时 ， 指 数 函 数 为 增 函 数 ， 则 在 区 间 上 ， ， ，再结合已知条件运算即可得解. 【详解】解：因为当 时，指数函数 为增函数， 则在区间 上， ， ， 又指数函数 在区间 上的最大值和最小值之和为 ， 则 ，即 ， 又 ，即 ， 故答案为：3. 【点睛】本题考查了指数函数的单调性及最值的求法，属基础题. 15.二次函数 在 上单调递增，则实数 的取值范是____. 【答案】[1，+∞） 【解析】 【分析】 二次函数的开口向上，在 上单调递增，所以对称轴要在区间的左边. 【详解】二次函数 的对称轴为 ， ∵ 在 上单调递增， ∴ ，即 . 【点睛】研究二次函数的单调性时，要注意开口方向及对称轴与区间的位置关系. 16.已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， 是增函数，且 ， 则不等式 的解集为___________ 【答案】 【解析】 1a > ( ) xf x a= [ ]0,2 ( ) 2 maxf x a= ( ) 0 min 1f x a= = 1a > ( ) xf x a= [ ]0,2 ( ) 2 maxf x a= ( ) 0 min 1f x a= = ( ) ( )1xf x a a= > [ ]0,2 10 2 1 10a + = 2 9a = 1a > 3a = 2 2y x ax b= + + [ 1, )− +∞ a [ 1, )− +∞ 2 2y x ax b= + + x a= − ( )f x [ 1, )− +∞ 1a− − 1a ≥ ( )f x R [0, )x∈ +∞ ( )f x ( 1) 0f − = ( ) 0f x < { }| 1 1x x− < < 【分析】 根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集． 【详解】∵偶函数 f（x）在[0，+∞）上 增函数，f（﹣1）=0， ∴f（﹣1）=f（1）=0， 则函数 f（x）对应的图象如图： 则 f（x）＜0 的解为﹣1＜x＜1， 即不等式的解集为（﹣1，1）， 故答案为 ． 【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的 关键，综合考查函数性质的应用． 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤) 17.计算：（1） （2） 【答案】(1)101 (2)4 【解析】 【分析】 （1）由分数指数幂的运算性质 运算即可得解； （2）由对数的运算性质 运算即可得解. 【详解】解：（1） 为 { }| 1 1x x− < < 1 1 2 32 01 272 0.14 8 π−   + − +       2lg 25 lg 4 4log+ + ( )m n mna a= log log loga a am n mn+ = 1 1 2 32 01 272 0.14 8 π−   + − +       ； （2） . 【点睛】本题考查了分数指数幂的运算及对数的运算，属基础题. 18.已知集合 A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3 − > 3 x 3− < < ∴ ( )f x ( )3,3− ( ) ( ) ( ) ( )2 2f x log 3 x log 3 x f x− = − − + = − ∴ ( )f x ( ) ( ) ( ) ( )2 2 23 f lga log 3 lga log 3 lga log 5= + − − = 3 lga 53 lga +∴ =− 3 lga 3− < < a 100= a 100= R ( )f x 0x < 2( 1) 2f x x x= + + ( )f x ( )f x 2 2 2 1, 0 ( ) 0, 0 2 1, 0 x x x f x x x x x − + − > = =  + + < ( )f x 0x > 0x− < 0x > 0x− < ( )f x 则 ， 又函数 为 上的奇函数, 则 ， 故 ； （2）由（1）可得：函数 的图象如图所示： 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式，重点考查了函数图像的作法，属基础 题. 22.已知二次函数 f（x）满足条件 f（0）＝1，及 f（x+1）﹣f（x）＝2x． （1）求函数 f（x）的解析式； （2）在区间[﹣1，1]上，y＝f（x）的图象恒在 y＝2x+m 的图象上方，试确定实数 m 的取值范 围． 【答案】（1） （2）m＜﹣1 【解析】 【分析】 （1）根据二次函数 f（x）满足条件 f（0）＝1，及 f（x+1）﹣f（x）＝2x，可求 f（1）＝1，f （﹣1）＝3，从而可求函数 f（x）的解析式； （2）在区间[﹣1，1]上，y＝f（x）的图象恒在 y＝2x+m 的图象上方，等价于 x2﹣x+1＞2x+m 在[﹣1，1]上恒成立，等价于 x2﹣3x+1＞m 在[﹣1，1]上恒成立，求出左边函数的最小值，即 2 2( ) ( ) [( ) 2( ) 1] 2 1f x f x x x x x= − − = − − + − + = − + − ( )f x R (0) 0f = 2 2 2 1, 0 ( ) 0, 0 2 1, 0 x x x f x x x x x − + − > = =  + + < ( )f x ( ) 2 1f x x x= − + 可求得实数 m 的取值范围． 【详解】解：（1）令 x＝0，则∵f（x+1）﹣f（x）＝2x， ∴f（1）﹣f（0）＝0， ∴f（1）＝f（0） ∵f（0）＝1 ∴f（1）＝1， ∴二次函数图象的对称轴为 ． ∴可令二次函数的解析式为 f（x） ． 令 x＝﹣1，则∵f（x+1）﹣f（x）＝2x， ∴f（0）﹣f（﹣1）＝﹣2 ∵f（0）＝1 ∴f（﹣1）＝3， ∴ ∴a＝1， ∴二次函数的解析式为 （2）∵在区间[﹣1，1]上，y＝f（x）的图象恒在 y＝2x+m 的图象上方 ∴x2﹣x+1＞2x+m 在[﹣1，1]上恒成立 ∴x2﹣3x+1＞m 在[﹣1，1]上恒成立 令 g（x）＝x2﹣3x+1，则 g（x）＝（x ）2 ∴g（x）＝x2﹣3x+1 在[﹣1，1]上单调递减， ∴g（x）min＝g（1）＝﹣1， ∴m＜﹣1. 【点睛】本题重点考查二次函数解析式的求解，考查恒成立问题的处理，解题的关键是将在 区间[﹣1，1]上，y＝f（x）的图象恒在 y＝2x+m 的图象上方，转化为 x2﹣3x+1＞m 在[﹣1，1] 上恒成立． 1 2x = 21( )2y a x h= = − + 1 14 9 34 a h a h  + =  + = 3 4h = ( ) 2 21 3( ) 12 4y f x x x x= = − + = − + 3 2 − 5 4 −