【数学】2018届一轮复习人教A版第3章第6节正弦定理和余弦定理学案 13页

第六节　正弦定理和余弦定理 ‎1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R.(R为△ABC外接圆半径)‎ a2＝b2＋c2－2bc·cos_A；‎ b2＝c2＋a2－2ca·cos_B；‎ c2＝a2＋b2－2ab·cos_C 变形 形式 ‎(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；‎ ‎(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；‎ ‎(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝ cos A＝；‎ cos B＝；‎ cos C＝ 解决 问题 ‎(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；‎ ‎(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ‎(1)已知三边求各角；‎ ‎(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 ‎2.三角形常用面积公式 ‎(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；‎ ‎(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A.‎ ‎(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)在△ABC中，若A＞B，则必有sin A＞sin B．(　　)‎ ‎(2)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则△ABC为锐角三角形．(　　)‎ ‎(3)在△ABC中，若A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝45°或135°.(　　)‎ ‎(4)在△ABC中，＝.(　　)‎ ‎[解析]　(1)正确．A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.‎ ‎(2)错误．由cos A＝＞0知，A为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形．‎ ‎(3)错误．由b＜a知，B＜A.‎ ‎(4)正确．利用a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，可知结论正确．‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)在△ABC中，若sin‎2A＋sin2B＜sin‎2C，则△ABC的形状是(　　)‎ A．锐角三角形　　　　　　 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 C　[由正弦定理，得＝sin A，＝sin B，＝sin C，代入得到a2＋b2＜c2，由余弦定理得cos C＝＜0，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形．]‎ ‎3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)‎ A.　 　　 B. ‎ C．2　　 　 D．3‎ D　[由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，‎ 解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D.]‎ ‎4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝，a＝1，b＝，则B＝________. 【导学号：51062120】‎ 或　[由正弦定理＝，代入可求得sin B＝，故B＝或B＝.]‎ ‎5．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．‎ ‎2　[由题意及余弦定理得cos A＝＝＝，解得c＝2，所以S＝bcsin A＝×4×2×sin 60°＝2.]‎ 利用正、余弦定理解三角形 ‎　在△ABC中，∠BAC＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．‎ ‎[解]　设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，‎ 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC ‎＝(3)2＋62－2×3×6×cos ‎＝18＋36－(－36)＝90，‎ 所以a＝3.6分 又由正弦定理得sin B＝＝＝，‎ 由题设知0＜B＜，‎ 所以cos B＝＝＝.10分 在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，‎ 故由正弦定理得 AD＝＝＝＝.14分 ‎[规律方法]　1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的．‎ ‎2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．‎ ‎(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”‎ 在判定中的应用．‎ ‎[变式训练1]　(1)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边， 且(b－c)(sin B＋sin C)＝(a－c)sin A，则角B的大小为(　　)‎ A．30°　　　　 B．45°　　　　‎ C．60°　　　　 D．120°‎ ‎(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.‎ ‎(1)A　(2)　[(1)由正弦定理＝＝及(b－c)·(sin B＋sin C)＝(a－c)sin A得(b－c)(b＋c)＝(a－c)a，即b2－c2＝a2－ac，∴a2＋c2－b2＝ac.又∵cos B＝，∴cos B＝，∴B＝30°.‎ ‎(2)在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝，‎ ‎∴sin A＝，sin C＝，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.‎ 又∵＝，∴b＝＝＝.]‎ 判断三角形的形状 ‎　(1)(2017·浙江五校二联)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，满足acos A＝bcos B，则△ABC的形状为(　　)‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 ‎(2)(2017·绍兴二模)设角A，B，C是△ABC的三个内角，则“A＋B＜C”是 ‎“△ABC是钝角三角形”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(1)D　(2)A　[(1)因为acos A＝bcos B，由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，即sin ‎2A＝sin 2B，所以‎2A＝2B或‎2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.‎ ‎(2)由A＋B＋C＝π，A＋B＜C，可得C＞，故三角形ABC为钝角三角形，反之不成立．故选A.]‎ ‎[规律方法]　1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．‎ ‎2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．‎ ‎[变式训练2]　设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Acos B＝sin C，那么△ABC一定是(　　)‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 B　[法一：由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，因为－π＜A－B＜π，所以A＝B.‎ 法二：由正弦定理得2acos B＝c，再由余弦定理得2a·＝c⇒a2＝b2⇒a＝b.]‎ 与三角形面积有关的问题 ‎　已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin Asin ‎ C.‎ ‎(1)若a＝b，求cos B；‎ ‎(2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积. 【导学号：51062121】‎ ‎[解]　(1)由题设及正弦定理可得b2＝‎2ac.2分 又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.‎ 由余弦定理可得cos B＝＝.6分 ‎(2)由(1)知b2＝‎2ac.8分 因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，‎ 故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝.12分 所以△ABC的面积为××＝1.14分 ‎[规律方法]　三角形面积公式的应用方法：‎ ‎(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．‎ ‎(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．‎ ‎[变式训练3]　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.‎ ‎(1)求C；‎ ‎(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎[解]　(1)由已知及正弦定理得 ‎2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，‎ 即2cos Csin(A＋B)＝sin C，3分 故2sin Ccos C＝sin C.‎ 可得cos C＝，所以C＝.6分 ‎(2)由已知得absin C＝.‎ 又C＝，所以ab＝6.10分 由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7，‎ 故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.‎ 所以△ABC的周长为5＋.14分 ‎[思想与方法]‎ ‎1．在解三角形时，应熟练运用内角和定理：A＋B＋C＝π，＋＋＝中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．‎ ‎2．判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．‎ ‎3．在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其它边或角．可能有一解、两解、无解．‎ 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：‎ A为锐角 A为钝角 或直角 图形 关系式 a＝‎ bsin A bsin A＜‎ a＜b a≥b a＞b 解的 个数 一解 两解 一解 一解 ‎2.在判定三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，以免漏解．‎ 课时分层训练(二十)　正弦定理和余弦定理 A组　基础达标 ‎ (建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)‎ A．锐角三角形　　　　　 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 B　[由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin‎2A，‎ ‎∴sin(B＋C)＝sin2A，‎ 即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.‎ ‎∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1，即A＝.]‎ ‎2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　) ‎ ‎【导学号：51062122】‎ A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 C　[由正弦定理得＝，‎ ‎∴sin B＝＝＝＞1.‎ ‎∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．]‎ ‎3．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝(　　)‎ A．1　　　　 B．2　　　　‎ C．3　　　　 D．4‎ A　[由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－‎2AC·BC·cos C，即13＝AC2＋9－‎2AC×3×cos 120°，化简得AC2＋‎3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.]‎ ‎4．(2017·台州二次适应性测试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab＝，则△ABC的面积为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. B　[依题意得cos C＝＝，C＝60°，因此△ABC的面积等于absin C＝××＝，故选B.]‎ ‎5．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sin A＝(　　)‎ A. B. ‎ C. D. D　[过A作AD⊥BC于D，设BC＝a，由已知得AD＝.∵B＝，∴AD＝BD，∴BD＝AD＝，DC＝a，∴AC＝＝a，在△ABC中，由正弦定理得 ＝，‎ ‎∴sin ∠BAC＝，故选D.]‎ 二、填空题 ‎6．(2017·嘉兴模拟)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝__________.‎ 　[由正弦定理可得＝，所以sin B＝，再由b＜a，可得B为锐角，‎ 所以cos B＝＝.]‎ ‎7．(2017·青岛模拟)如图361所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．‎ 图361‎ 　[∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，‎ ‎∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD－2AB·ADcos∠BAD，‎ ‎∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3，‎ ‎∴BD＝.]‎ ‎8．已知△ABC中，AB＝，BC＝1，sin C＝cos C，则△ABC的面积为________．‎ 　[由sin C＝cos C得tan C＝＞0，所以C＝.‎ 根据正弦定理可得＝，即＝＝2，‎ 所以sin A＝.因为AB＞BC，所以A＜C，所以A＝，所以B＝，即三角形为直角三角形，‎ 故S△ABC＝××1＝.]‎ 三、解答题 ‎9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，cos B＝.‎ ‎(1)求b的值；‎ ‎(2)求sin C的值. 【导学号：51062123】‎ ‎[解]　(1)因为b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋25－2×2×5×＝17，所以b＝.6分 ‎(2)因为cos B＝，所以sin B＝，10分 由正弦定理＝，得＝，‎ 所以sin C＝.14分 ‎10．(2017·云南二次统一检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，m＝(sin B,5sin A＋5sin C)与n＝(5sin B－6sin C，sin C－sin A)垂直．‎ ‎(1)求sin A的值；‎ ‎(2)若a＝2，求△ABC的面积S的最大值．‎ ‎[解]　(1)∵m＝(sin B,5sin A＋5sin C)与n＝(5sin B－6sin C，sin C－sin A)垂直，∴m·n＝5sin2B－6sin Bsin C＋5sin‎2C－5sin‎2A＝0，‎ 即sin2B＋sin2C－sin2A＝.4分 根据正弦定理得b2＋c2－a2＝，‎ 由余弦定理得cos A＝＝.‎ ‎∵A是△ABC的内角，‎ ‎∴sin A＝＝.7分 ‎(2)由(1)知b2＋c2－a2＝，‎ ‎∴＝b2＋c2－a2≥2bc－a2.10分 又∵a＝2，∴bc≤10.‎ ‎∵△ABC的面积S＝bcsin A＝≤4，‎ ‎∴△ABC的面积S的最大值为4.14分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝(　　)‎ A. B. ‎ C. D. C　[∵b＝c，∴B＝C.‎ 又由A＋B＋C＝π得B＝－.‎ 由正弦定理及a2＝2b2(1－sin A)得 sin‎2A＝2sin2B(1－sin A)，‎ 即sin2A＝2sin2(1－sin A)，‎ 即sin2A＝2cos2(1－sin A)，‎ 即4sin2cos2＝2cos2(1－sin A)，‎ 整理得cos2＝0，‎ 即cos2(cos A－sin A)＝0.‎ ‎∵0＜A＜π，∴0＜＜，∴cos ≠0，‎ ‎∴cos A＝sin A．又0＜A＜π，∴A＝.]‎ ‎2．(2017·浙江高考冲刺卷(一))在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acos C，bcos B，ccos A成等差数列，则角B＝________；若b＝，a＋c＝3，则△ABC的面积为________. 【导学号：51062124】‎ 　　[依条件有acos C＋ccos A＝2bcos B，由正弦定理得sin Acos C＋sin Ccos A＝2sin Bcos B，即sin(A＋C)＝2sin Bcos B，则有sin B＝2sin Bcos B，由sin B≠0，得cos B＝，又B∈(0，π)，故B＝.‎ 由余弦定理得a2＋c2－ac＝3，即(a＋c)2－3ac＝3，所以ac＝2，‎ 则S△ABC＝acsin B＝.]‎ ‎3．在△ABC中，cos C是方程2x2－3x－2＝0的一个根．‎ ‎(1)求角C；‎ ‎(2)当a＋b＝10时，求△ABC周长的最小值．‎ ‎[解]　(1)因为2x2－3x－2＝0，所以x1＝2，x2＝－.2分 又因为cos C是方程2x2－3x－2＝0的一个根，‎ 所以cos C＝－，所以C＝.6分 ‎(2)由余弦定理可得：c2＝a2＋b2－2ab·＝(a＋b)2－ab，10分 则c2＝100－a(10－a)＝(a－5)2＋75，‎ 当a＝5时，c最小且c＝＝5，此时a＋b＋c＝10＋5，‎ 所以△ABC周长的最小值为10＋5.14分