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- 2021-05-12 发布
第64课时 线面、面面平行的判定与性质(1)
【教学目标】
1.了解空间中直线与平面、平面与平面的位置关系及分类标准；
2.掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理及性质定理，会应用它证明有关的问题；
【自主练习 】
1．平面a内有不共线的三点到平面b的距离相等，则a与b的关系是 平行或相交
2.给出以下六个命题：①垂直于同一直线的两个平面平行；②平行于同一直线的两个平面平行；③平行于同一平面的两个平面平行；④与同一直线成等角的两个平面平行；⑤一个平面内的两条相交直线于另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行；⑥两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，则这两个平面平行。其中正确的序号是__① _③__⑤__；
3. 夹在两个平行平面a、b之间的线段AB=8，且AB与a成45º角则a与b之间的距离为
4. 、表示平面，、表示直线，则的一个充分条件是
，且 ，且
，且 ，且
5.已知m、n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列命题：
①若m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，n⊂γ，则m⊥n；
③若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β；④若n∥α，n∥β，α∩β＝m，那么m∥n.
其中正确命题的序号是__②___④___．
6.正方体中,P是面上一点若DP//平面则P的轨迹 ]
是 .
【典型例题】
A
B
C
D
N
M
A1111
B11
D11
C1111
例1．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，并且CM=DN.
求证:MN∥平面AA1B1B.
证明：连结BM并延长交C1C与点F,连结DF
又因为B1B∥C1C所以
所以
B1C=BD, CM=DN
MN∥DF
又 MN面DD1C1C., DF DD1C1C.
MN∥面DD1C1C.
又面AA1B1B.∥面DD1C1C，MN面AA1B1B.
所以MN∥平面AA1B1B.
例2．如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的中点求证：平面；
M
A
B
C
N
P
D
方法一：取PD中点E，连结NE,AE则NE平行且等于AM.，所以四边形AMNE为平行四边形，所以AD，
又因为MN不在平面PAD内，AE在平面PAD内，所以平面
方法二：取CD中点F连结NF,MF证明面MNF平行于面PAD，从而平面
例3：如图所示，在四棱锥P—ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，AD＝DC＝AB，BC⊥PC.
(1)求证：PA⊥BC；
(2)试在线段PB上找一点M，使CM∥平面PAD，并说明理由．[来源:Z|xx|k.Com]
(1)证明 连结AC，过点C作CE⊥AB，垂足为E.
在四边形ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB，AD＝DC，
∴四边形ADCE为正方形．
∴∠ACD＝∠ACE＝45°.
∵AE＝CD＝AB，∴BE＝AE＝CE.∴∠BCE＝45°.
∴∠ACB＝∠ACE＋∠BCE＝45°＋45°＝90°.
∴AC⊥BC.
又∵BC⊥PC，AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，AC∩PC＝C，
∴BC⊥平面PAC.∵PA⊂平面PAC，∴PA⊥BC.
(2)解 当M为PB的中点时，CM∥平面PAD.
方法一 取AP的中点F，连结CM，FM，DF.
则FM綊AB.
∵CD∥AB，CD＝AB，
∴FM綊CD.
∴四边形CDFM为平行四边形．∴CM∥DF.
∵DF⊂平面PAD，CM⊄平面PAD，
∴CM∥平面PAD.
方法二
在四边形ABCD中，设BC的延长线与AD的延长线交于点Q，
连结PQ，CM.
∵CD∥AB，
∴＝＝.
∴C为BQ的中点．
∵M为BP的中点，∴CM∥QP.
∵PQ⊂平面PAD，CM⊄平面PAD，
∴CM∥平面PAD.
方法三
取AB的中点E，
连结EM，CE，CM.
在四边形ABCD中，CD∥AB，CD＝AB，E为AB的中点，
∴AE∥DC，且AE＝DC.
∴四边形AECD为平行四边形．∴CE∥DA. [来源: ]
∵DA⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，
∴CE∥平面PAD.
同理，根据E，M分别为BA，BP的中点，得EM∥平面PAD.
∵CE⊂平面CEM，EM⊂平面CEM，CE∩EM＝E，
∴平面CEM∥平面PAD.
∵CM⊂平面CEM，∴CM∥平面PAD.
变式： 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
解 当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA.
∵P、O为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO.
又PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，∴平面D1BQ∥平面PAO.