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- 2021-05-12 发布
10.6 几何概型
[知识梳理]
1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的两个基本特点
3．几何概型的概率公式
P(A)＝.
[诊断自测]
1．概念思辨
(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( )
(2)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( )
(3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )
(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( )
答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．教材衍化
(1)(必修A3P137例2)在区间[10,20]内的所有实数中，随机取一个实数a，则这个实数a<13的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 因为a∈[10,13)，所以P(a<13)＝＝.
故选C.
(2)(必修A3P142A组T2)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )
答案 A
解析 如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，所以P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．故选A.
3．小题热身
(1)(2018·承德质检)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 设通电x秒后第一串彩灯闪亮，y秒后第二串彩灯闪亮．依题意得0≤x≤4,0≤y≤4，其对应区域的面积为S＝4×4＝16.
又两串彩灯闪亮的时刻相差不超过2秒，即|x－y|≤2，如图，易知阴影区域的面积为S′＝16－×2×2－×2×2＝12，
∴P＝＝＝.故选C.
(2)(2017·贵阳质检)如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．
答案 0.18
解析 由题意知，＝＝0.18.
∵S正＝1，∴S阴＝0.18.
题型1 与长度(角度)有关的几何概型
(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )
A. B. C. D.
将时间长度转化为实数的区间长度，代入几何概型概率公式．
答案 B
解析 解法一：7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过10分钟，故所求概率为＝.故选B.
解法二：当小明到达车站的时刻超过8：00，但又不到8：20时，等车时间将超过10分钟，7：50～8：30的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过10分钟，故等车时间不超过10分钟的概率为1－＝.故选B.
(2015·重庆高考)在区间[0,5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．
首先由题意列出不等式组求解区间，然后代入几何概型公式．
答案
解析 设方程x2＋2px＋3p－2＝0的两个根分别为x1，x2，由题意得，
解得b>0，a<2b，它对应的平面区域如图中阴影部分所示，则方程＋＝1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为P＝＝1－＝
，故选B.
2．欧阳修的《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm的圆，中间有边长为1 cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则正好落入孔中的概率是________．
答案
解析 由题意易得P＝＝.
题型3 与体积有关的几何概型
(2018·兰州名校检测)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由已知条件，蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P＝＝.故选C.
已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，则在正三棱锥内任取一点P，则点P满足V三棱锥P－ABC”，即P＝＝.故选C.
3．已知实数a满足－3P2 B．P1＝P2
C．P1对应的平面区域为阴影部分．
由解得即E，
∴|OE|＝＝，
∴正方形OEFG的面积为，则阴影部分的面积为－，
∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为＝1－.
三、解答题
15．(2018·广东深圳模拟)已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面上对应的点为M.
(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机抽取一个数作为x，从集合Q中随机抽取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；
(2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：
所表示的平面区域内的概率．
解 (1)记“复数z为纯虚数”为事件A.
∵组成复数z的所有情况共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，
且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，
其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，
∴所求事件的概率为P(A)＝＝.
(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域(x，y)内，属于几何概型．该平面区域的图形为图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12.
而所求事件构成的平面区域为
，其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)．又直线x＋2y－3＝0与x轴，y轴的交点分别为A(3,0)，D，
∴三角形OAD的面积为S1＝×3×＝.
∴所求事件的概率为P＝＝＝.
16．设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x∈[1,2]，都有|f(x)＋g(x)|≤8，则称f(x)和g(x)是“友好函数”，设f(x)＝ax，g(x)＝.
(1)若a∈{1,4}，b∈{－1,1,4}，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率；
(2)若a∈[1,4]，b∈[1,4]，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率．
解 (1)设事件A表示f(x)和g(x)是“友好函数”，
则|f(x)＋g(x)|(x∈[1,2])所有的情况有
x－，x＋，x＋，4x－，4x＋，4x＋，
共6种且每种情况被取到的可能性相同．
又当a>0，b>0时ax＋在上递减，在上递增；
x－和4x－在(0，＋∞)上递增，
∴对x∈[1,2]可使|f(x)＋g(x)|≤8恒成立的有x－，x＋，x＋，4x－，
故事件A包含的基本事件有4种，
∴P(A)＝＝，故所求概率是.
(2)设事件B表示f(x)和g(x)是“友好函数”，∵a是从区间[1,4]中任取的数，b是从区间[1,4]中任取的数，∴点(a，b)所在区域是长为3，宽为3的正方形区域．
要使x∈[1,2]时，|f(x)＋g(x)|≤8恒成立，
需f(1)＋g(1)＝a＋b≤8且f(2)＋g(2)＝2a＋≤8，
∴事件B表示的点的区域是如图所示的阴影部分．
∴P(B)＝＝，
故所求的概率是.