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- 2021-05-12 发布
“山江湖”协作体高二年级第三次月考
数学（理科）试卷（统招班）
一、选择题：（本题包括12小题，共60分，每小题只有一个选项符合题意）
1.甲、乙两人计划从、、三个景点中各选择两个游玩,则两人所选景点不全相同的选法共有
A. 种 B. 种
C. 种 D. 种
【答案】B
【解析】
试题分析：因为每一个有3种选择，A,B;A,C;B,C;那么对于甲和乙的所有的选法共有种，但是要求甲乙不能选景点不全相同，那么可知景点相同的选法有3种，故间接法可知共有9-3=6种，故选B.
考点：本试题考查了排列组合的运用．
点评：根据分步计数原理，那么先确定出各个人的选择的景点的情况，运用间接法的思想来求解所求的选法，比用直接法要好解，注意这种解题方法，属于基础题．
2.某学院三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方祛抽取一个容量为120的样本,已知该学院的专业有380名学生,专业有420名学生，则在该学院的专业应抽取的学生人数为（ ）
A. 30 B. 40 C. 50 D. 60
【答案】B
【解析】
专业的学生有
由分层抽样原理，应抽取名
故选
3.已知函数y=f(x)的图象如图1，则不等式＞0的解集为（ ）
A. （－∞,1） B. ( －2,1)
C. ( －∞, －2) D. ( －∞, －2)∪(1,+∞)
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用函数图象，将不等式等价转化为分式不等式，再进行等价转化，即可得此不等式的解集
【详解】解：
不等式的解集为
故选：．
【点睛】本题主要考查了函数与不等式间的关系，简单分式不等式的解法，转化化归的思想方法，属基础题.
4.已知与之间的一组数据：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则y与的线性回归方程必过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：，所以中心点为，回归方程过中心点
考点：回归方程
5. 某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为( )
A. 19、13 B. 13、19 C. 20、18 D. 18、20
【答案】A
【解析】
中位数就是位于中间的数，甲的数据从小到大列出是6,8,9,15，17,19,23,24,26,32,41,.中位数是19；同理乙的中位数是13.
6.若(x－2)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a1＋a3＋a5＝( )．
A. 1 B. －1
C. 121 D. 106
【答案】C
【解析】
分析】
利用特殊值法构造方程组求解．
【详解】解：
令得①
令得②
①减②得
故选：
【点睛】本题考查二项式展开式系数的运算，属于基础题．
7.假设△ABC为圆的内接正三角形，向该圆内投一点，则点落在△ABC内的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设圆的半径为，由平面几何的知识容易求得内接正三角形的边长，且由题意可得是与面积有关的几何概率构成试验的全部区域的面积及正三角形的面积代入几何概率的计算公式可求．
【详解】解：设圆的半径为，则其内接正三角形的边长
构成试验的全部区域的面积：
记“向圆内随机投一点，则该点落在正三角形内”为事件，
则构成的区域的面积
由几何概率的计算公式可得，
故选：．
【点睛】本题主要考查了与面积有关的几何概型概率的计算公式的简单运用，关键是明确满足条件的区域面积，属于基础试题．
8.执行图C12所示的程序框图，若输入x＝－2，h＝0.5，则输出的各个数的和等于( )
A. 3 B. 3.5
C 4 D. 4.5
【答案】B
【解析】
【分析】
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的的值，当时，满足条件，结束，计算可得输出的各个数的和
【详解】第步：，
第步：，
第步：，
第步：，
第步：，
第步：，
第步：，
第步：，
第步：，退出循环，输出的各数和为：
故选
【点睛】求解与循环结构有关的程序框图的问题时，应注意循环结构中，循环开始和结束的条件，注意计算要仔细，属于基础题．
9. 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：第一步从后排8人中选2人有种方法，第二步6人前排排列，先排列选出的2人有种方法，再排列其余4人只有1种方法，因此所有的方法总数的种数是
考点：排列组合
点评：此类题目的求解一般遵循先选择后排列，结合分步计数原理的方法
10.…除以88的余数是（ ）
A. －1 B. 1 C. －87 D. 87
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二项展开式定理化简原式为…，进而可得结果.
【详解】…
…
…,
所以…除以88的余数是1，
故选:B.
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，将原式变形为是解题的关键，属于中档题.
11.已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是( )
A. (－∞，－1) B. (－∞，2－1)
C. (－1，2－1) D. (－2－1，2－1)
【答案】B
【解析】
【分析】
先分离变量，再根据基本不等式求最值，即得结果.
【详解】由f(x)>0得32x－(k＋1)3x＋2>0，解得k＋1<3x＋.
又3x＋≥2 (当且仅当3x＝，即x＝log3时，等号成立).
所以k＋1<2，即k<2－1.
故选B
【点睛】本题考查不等式恒成立问题以及利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
12.若连掷两次骰子，分别得到的点数是m、n，将m、n作为点P的坐标，则点P落在区域内的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先分析题目求点落在区域内的概率，
是连续掷两次骰子分别得到的点数、．因为掷两次骰子，会有36种可能性，
点落在区域内，即，
分别列出可能性，除以36即可得到答案．
【详解】解：掷两次骰子，会有种可能．
点落在区域内，即，则共有以下可能性．
，，；，，，；
，，；；共有11个，
故；
这11个点都满足，即所求概率为．
故选：．
【点睛】此题主要考查古典概率及其概率计算公式的应用．涉及到几何区域问题，属于综合性试题，有一定的灵活性，属于中档题目．
二、填空题：（本题包括4小题，共20分)
13.用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从编号，按编号顺序平均分成 20组(号，号，号).若假设第1组抽出的号码为3，则第5组中用抽签方法确定的号码是__________．
【答案】35
【解析】
由题意可得分段间隔是8，抽出的这20个数成等差数列，首项为3，
∴第5组中用抽签方法确定的号码是3+32=35．
故答案为35
14.已知实数x,y满足条件则目标函数z=2x－y的最大值是_________.
【答案】6
【解析】
【分析】
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线过轴的截距最小，即取最大值，从而求解．
【详解】解：先根据约束条件画出可行域，
目标函数，在点处取得最大值，
可得，
故最大值为6，
故答案为6；
【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
15.已知二次函数f（x）=ax2+2x+c（x∈R）值域为[0，+∞），则的最小值为_____．
【答案】4
【解析】
【分析】
先判断是正数，且，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值．
【详解】由题意知，
则
当且仅当
时取等号．
∴的最小值为4．
【点睛】】本题考查函数的值域及基本不等式的应用．属中档题.
16.从0，1，2，3，4中每次取出不同的三个数字组成三位数，那么这些三位数的个位数之和为_________.
【答案】90
【解析】
【分析】
根据题意，各位数字可以为0、1、2、3、4，而其中1，2，3，4在个位上出现的次数相等，由排列公式，计算可得其出现的次数，进而依题意，列式计算可得答案．
【详解】解：根据题意，个位数字可以为0、1、2、3、4，
求其个位数字之和时，0在个位，其和为0；
而其中1，2，3，4在个位上出现的次数相等，
又由于0不能作首位，故首位有种，十位有种，
则其次数为，
故其个位数字之和为，
故答案为90．
【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意要考虑0不能作首位这个因素．
三．解答题：（本题包括6小题，共70分）
17.已知 ， ， .
（1）求 的最小值；
（2）求 的最小值.
【答案】(1) 64 ,(2) x+y的最小值为18.
【解析】
试题分析：（1）利用基本不等式构建不等式即可得出；
（2）由，变形得，利用“乘1法”和基本不等式即可得出．
试题解析：(1)由 ，得 ,又 ， ，故
,
故，当且仅当即时等号成立，∴
(2)由2,得,则 .当且仅当即时等号成立.∴
【点睛】本题考查了基本不等式的应用，熟练掌握“乘1法”和变形利用基本不等式是解题的关键．
18.已知二项式 的展开式.
(1)求展开式中含项的系数；
(2)如果第项和第项的二项式系数相等，求的值．
【答案】（1）；（2）1
【解析】
分析】
（1）写出二项展开式的通项公式，当的指数是时，可得到关于方程，解方程可得的值，从而可得展开式中含项的系数；（2）根据上一问写出的通项公式，利用第项和第项的二项式系数相等，可得到一个关于的方程，解方程即可得结果.
【详解】(1)设第k＋1项为Tk＋1＝
令10－k＝4，解得k＝4，
故展开式中含x4项的系数为.
(2)∵第3r项的二项式系数为，第r＋2项的二项式系数为，
∵ ＝，故3r－1＝r＋1或3r－1＋r＋1＝10，
解得r＝1或r＝2.5(不合题意，舍去)，∴r＝1.
19.有7本不同的书：
（1）全部分给6个人，每人至少一本，有多少种不同的分法？
（2）全部分给5个人，每人至少一本，有多少种不同的分法？．
【答案】（1）15120； （2）16800.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，则分2步进行分析：①、将7本书，分为6组，其中1组2本，其他组每组1本，②、将6组进行全排列对应6人即可；分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
（2）由题意知7本不同的书分给5个人，每人至少一本，并且全部分完，分两种分法：一人得3本，其余4人各得一本；两人各得2本，其余3人各得一本；分别求出再相加．
【详解】（1）根据题意，将7本书分给6个人，且每人至少一本，则必须是其中1个人2本，其他人每人1本，则分2步进行分析：
①、将7本书，分为6组，其中1组2本，其他组每组1本，有种分组方法，
②、将分好的6组对应6人，将6组进行全排列即可，有种方法，
则一共有种不同的分法；
（2）有两类办法：一人得3本，其余4人各得一本，方法数为 ；
两人各得2本，其余3人各得一本，方法数为 ，
所以所求方法种数为+=16800种.
【点睛】本题考查排列、组合的运用，此类问题一般是先分组，再对应，属于基础题．
20.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，，第五组.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.按上述分组方法得到的频率分布直方图.
（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；
（2）设m,n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知求事件“”发生的概率.
【答案】（1）29人；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图，良好即第二三两组，计算出第二三两组的频率即可算出人数；
（2）结合频率分布直方图，计算出两组的人数，即两位同学来自不同的两组，利用古典概型求解概率即可.
【详解】（1）由直方图知，成绩在内的人数为：（人），
所以该班成绩良好的人数为29人；
（2）由直方图知，成绩在的人数为人；
成绩在的人数为人；.
事件“”发生即这两位同学来自不同的两组，
此题相当于从这五人中任取2人，求这两人来自不同组的概率
其概率为.
【点睛】此题考查用样本的频率分布估计总体分布；利用频率直方图求相关数据；古典概型及其概率的计算．
21.设一元二次方程Ax2＋Bx＋C＝0，根据下列条件分别求解：
(1)若A＝1，B、C是1枚骰子先后掷两次出现的点数，求方程有实数根的概率；
(2)若B＝－A，C＝A－3，且方程有实数根，求方程至少有一个非正实数根的概率.
【答案】（1）； （2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生所包含的事件数36，满足条件的事件是当时，变为方程有实数解得 显然，列举出所有的事件，得到概率．
（2）由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是随机的取实数使方程有实数根，根据一元二次方程判别式得到的范围，满足条件的事件是使得方程有至少有一个非负实数根，根据对立事件的概率得到结果．
【详解】解：（1）由题意知本题是一个古典概型，
当时，变为
方程有实数解得 显然
若时；1种
若时，2；2种
若时，2，3，4；4种
若时，2，3，4，5，6；6种
若时，2，3，4，5，6；6种故有19种，
方程有实数根的概率是
（2），，且方程有实数根，得
，△，得
而方程有两个正数根的条件是：，，
即
故方程有两个正数根的概率是
而方程至少有一个非正实数根的对立事件是方程有两个正数根故所求的概率为
【点睛】本题考查等可能事件的概率，一元二次方程实根分布，是一个综合题，解题的关键是对于一元二次方程的解的情况的分析，解题时有一定难度．
22.已知（，为常数），且方程的两个实根为，.
（1）求，的值；
（2）设，解关于的不等式.
【答案】（1）（2）当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或.
【解析】
【分析】
（1）通过方程有两个实根构建方程组，然后求解出，的值；（2）首先将分式不等式化简成整式不等式，然后采用分类的方式求解不等式的解集.
【详解】（1）将，分别代入方程中，得解得
（2）由（1）知，不等式即，化为，即.
①当时，原不等式的解集为或；
②当时，不等式为，原不等式的解集为或；
③当时，原不等式的解集为或.
综上可知，当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或.
【点睛】本题考查函数解析式求解以及分式不等式的解法，难度一般.求解分式不等式的解集，首先将分式转化为整式，然后根据整式不等式求解集的思路完成计算.