2018届二轮复习（文）专题二　函数与导数专题二第1讲课件（全国通用） 40页

第 1 讲　函数的图象与性质 专题二 　 函数与导数 热点分类突破 真题押题精练 Ⅰ 热点分类突破 热点一　函数的性质及应用 1. 单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质 . 利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论 . 复合函数的单调性遵循 “ 同增异减 ” 的原则 . 2. 奇偶性 (1) 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反 . (2) 在公共定义域内： ① 两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； ② 两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数； ③ 一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数 . (3) 若 f ( x ) 是奇函数且在 x ＝ 0 处有定义，则 f (0) ＝ 0. (4) 若 f ( x ) 是偶函数，则 f ( x ) ＝ f ( － x ) ＝ f (| x |). (5) 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称 . 3. 周期性 定义：周期性是函数在定义域上的整体性质 . 若函数在其定义域上满足 f ( a ＋ x ) ＝ f ( x )( a ≠ 0) ，则其一个周期 T ＝ | a |. 常见结论： (1) f ( x ＋ a ) ＝－ f ( x ) ⇒ 函数 f ( x ) 的最小正周期为 2| a | ， a ≠ 0. 答案 解析 例 1 　 (1)(2017· 山东 ) 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数，且 f ( x ＋ 4) ＝ f ( x － 2). 若当 x ∈ [ － 3 , 0 ] 时， f ( x ) ＝ 6 － x ，则 f (919) ＝ ____. 6 思维升华 思维升华　 可以 根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值 . 解析　 ∵ f ( x ＋ 4) ＝ f ( x － 2) ， ∴ f (( x ＋ 2) ＋ 4) ＝ f (( x ＋ 2) － 2) ，即 f ( x ＋ 6) ＝ f ( x ) ， ∴ f ( x ) 是周期为 6 的周期函数， ∴ f (919) ＝ f (153 × 6 ＋ 1) ＝ f (1). 又 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数， ∴ f (1) ＝ f ( － 1) ＝ 6 ，即 f (919) ＝ 6. 答案 解析 思维升华 思维升华　 利用函数的单调性解不等式的关键是化成 f ( x 1 )< f ( x 2 ) 的形式 . √ 所以函数是奇函数，并且函数是单调递增函数 . 那么原不等式等价于 f (3 x ＋ 1)> － f ( x ) ⇔ f (3 x ＋ 1)> f ( － x ) ， 跟踪演练 1 　 (1)(2017 届湖南长沙雅礼中学月考 ) 若偶函数 f ( x ) 在 ( － ∞ ， 0] 上 单调 递减， a ＝ f (log 2 3) ， b ＝ f (log 4 5) ， ， 则 a ， b ， c 满足 A. a < b < c B. b < a < c C. c < a < b D. c < b < a 答案 解析 √ 解析　 因为偶函数 f ( x ) 在 ( － ∞ ， 0] 上单调递减， 所以 f ( x ) 在 [0 ，＋ ∞ ) 上单调递增 . 即 b < a < c ，故选 B. (2)(2017 届安徽省池州市东至县联考 ) 设偶函数 f ( x ) 对任意 x ∈ R ，都有 f ( x ＋ 3) ＝－ ， 且当 x ∈ [ － 3 ，－ 2] 时， f ( x ) ＝ 4 x ，则 f (2 018) ＝ _____. 答案 解析 － 8 解析　 由条件可得 f ( x ＋ 6) ＝ f ( x ) ，函数的周期为 6 ， f (2 018) ＝ f (6 × 336 ＋ 2) ＝ f (2) ＝ f ( － 2) ＝－ 8. 热点二　函数图象及应用 1. 作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换 . 2. 利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点 . 例 2 　 (1)(2017 届郑州第一中学质量检测 ) 函数 f ( x ) ＝ cos x 的图象大致为 答案 解析 思维升华 √ 思维升华　 根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是判断函数图象问题的基本方法 . 所以 f ( x ) 为奇函数，排除选项 A ， B. (2)(2017 届菏泽期末 ) 若函数 y ＝ f ( x ) 的图象上存在两个点 A ， B 关于原点对称，则称点对 [ A ， B ] 为 y ＝ f ( x ) 的 “ 友情点对 ” ，点对 [ A ， B ] 与 [ B ， A ] 可 看作 同一个 “ 友情点对 ” ，若函数 f ( x ) ＝ 恰好 有两个 “ 友情点对 ” ，则实数 a 的值为 A. － 2 B.2 C.1 D.0 答案 解析 √ 思维升华 思维升华　 判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选 . 要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值 . 解析　 首先注意到 (0 ， a ) 没有对称点 . 当 x >0 时， f ( x ) ＝－ x 3 ＋ 6 x 2 － 9 x ＋ a ，则－ f ( － x ) ＝－ x 3 － 6 x 2 － 9 x － a ， 即－ x 3 － 6 x 2 － 9 x － a ＝ 2( x <0) 有两个实数根， 即 a ＝－ x 3 － 6 x 2 － 9 x － 2( x <0) 有两个实数根 . 画 出 y ＝－ x 3 － 6 x 2 － 9 x － 2( x <0) 的图象如图所示，由图可知当 a ＝ 2 时有两个解 . 跟踪演练 2 　 (1)(2017· 全国 Ⅰ ) 函数 y ＝ 的 部分图象大致为 答案 解析 √ ∴ 排除选项 A ， D . 由 1 － cos x ≠ 0 ，得 x ≠ 2 k π( k ∈ Z ) ， 故函数 f ( x ) 的定义域关于原点对称 . ∴ f ( x ) 为奇函数，其图象关于原点对称，故选 C. 答案 解析 √ 若 a ＝ 0 ，则选项 D 是正确的，故排除 D. 三次函数 g ( x ) ＝ a 2 x 3 － 2 ax 2 ＋ x ＋ a ， 所以选项 B 的图象错误，故选 B. 热点三　基本初等函数的图象和性质 1. 指数函数 y ＝ a x ( a >0 ， a ≠ 1) 与对数函数 y ＝ log a x ( a >0 ， a ≠ 1) 的图象和性质，分 0< a <1 ， a >1 两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质 . 2. 幂函数 y ＝ x α 的图象和性质，主要掌握 α ＝ 1,2,3 ， ，－ 1 五种情况 . 思维升华　 指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力 . 例 3 　 (1)(2017· 深圳调研 ) 设 a ＝ 0.2 3 ， b ＝ log 0.3 0.2 ， c ＝ log 3 0.2 ，则 a ， b ， c 大小关系正确的是 A. a > b > c B. b > a > c C. b > c > a D. c > b > a √ 解析　 根据指数函数和对数函数的增减性知， 因为 0< a ＝ 0.2 3 <0.2 0 ＝ 1 ， b ＝ log 0.3 0.2>log 0.3 0.3 ＝ 1 ， c ＝ log 3 0.2 a > c ，故选 B. 答案 解析 思维升华 √ 解析　 ∵ f ( x ) 在 R 上单调递增， 思维升华　 比较代数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性 . 答案 解析 思维升华 跟踪演练 3 　 (1)(2017· 全国 Ⅰ ) 设 x ， y ， z 为正数，且 2 x ＝ 3 y ＝ 5 z ，则 A.2 x <3 y <5 z B.5 z <2 x <3 y C.3 y <5 z <2 x D.3 y <2 x <5 z 答案 解析 √ 解析　 令 t ＝ 2 x ＝ 3 y ＝ 5 z ， ∵ x ， y ， z 为正数， ∴ t >1. ∴ 2 x >3 y . ∴ 2 x <5 z ， ∴ 3 y <2 x <5 z . 故选 D. (2) 设函数 f ( x ) ＝ ( a >0 且 a ≠ 1). 若 f ( x ) 在 R 上是增函数，则 a 的 取值 范围是 _______ _ __. 答案 解析 [2 ，＋ ∞ ) Ⅱ 真题押题精练 真题体验 1.(2017· 全国 Ⅲ 改编 ) 函数 y ＝ 1 ＋ x ＋ 的 部分图象大致为 _____.( 填序号 ) ④ 1 2 3 4 答案 解析 2.(2017· 天津改编 ) 已知奇函数 f ( x ) 在 R 上是增函数 . 若 a ＝－ f  ， b ＝ f   (log 2 4.1) ， c ＝ f (2 0.8 ) ，则 a ， b ， c 的大小关系为 _______. c < b < a 解析　 ∵ f ( x ) 在 R 上是奇函数， 答案 解析 1 2 3 4 又 f ( x ) 在 R 上是增函数， 且 log 2 5 ＞ log 2 4.1 ＞ log 2 4 ＝ 2 ＞ 2 0.8 ， ∴ f (log 2 5) ＞ f (log 2 4.1) ＞ f (2 0.8 ) ， ∴ a ＞ b ＞ c . 6 解析　 若 0 ＜ a ＜ 1 ，由 f ( a ) ＝ f ( a ＋ 1) ， 若 a ≥ 1 ，由 f ( a ) ＝ f ( a ＋ 1) ， 得 2( a － 1) ＝ 2( a ＋ 1 － 1) ，无解 . 答案 解析 1 2 3 4 4.(2017· 全国 Ⅱ ) 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ∈ ( － ∞ ， 0) 时， f ( x ) ＝ 2 x 3 ＋ x 2 ，则 f (2) ＝ ____. 答案 解析 1 2 3 4 12 解析　 方法一 　令 x ＞ 0 ，则－ x ＜ 0. ∴ f ( － x ) ＝－ 2 x 3 ＋ x 2 . ∵ 函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数， ∴ f ( － x ) ＝－ f ( x ). ∴ f ( x ) ＝ 2 x 3 － x 2 ( x ＞ 0). ∴ f (2) ＝ 2 × 2 3 － 2 2 ＝ 12. 方法二 　 f (2) ＝－ f ( － 2 ) ＝－ [2×( － 2) 3 ＋ ( － 2) 2 ] ＝ 12. 押题预测 答案 解析 押题依据　 指数、对数函数的图象识别问题是高考命题的热点，旨在考查其基本性质的灵活运用，题目难度一般不大，位于试卷比较靠前的位置 . 押题依据 1 2 3 1. 在同一直角坐标系中，函数 f ( x ) ＝ x a ( x ≥ 0) ， g ( x ) ＝ log a x 的图象可能是 √ 1 2 3 解析　 方法一 　分 a >1,0< a <1 两种情形讨论 . 当 a >1 时， y ＝ x a 与 y ＝ log a x 均为增函数，但 y ＝ x a 递增较快，排除 C ； 当 0< a <1 时， y ＝ x a 为增函数， y ＝ log a x 为减函数，排除 A. 由于 y ＝ x a 递增较慢，故选 D . 方法二 　幂函数 f ( x ) ＝ x a 的图象不过 (0,1) 点，排除 A ； B 项中由对数函数 f ( x ) ＝ log a x 的图象知 0< a <1 ，而此时幂函数 f ( x ) ＝ x a 的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故 B 错， D 正确 ； C 项中由对数函数 f ( x ) ＝ log a x 的图象知 a >1 ，而此时幂函数 f ( x ) ＝ x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故 C 错 . 2.(2017 届甘肃肃南裕固族自治县一中月考 ) 设函数 y ＝ f ( x )( x ∈ R ) 为偶函数 ， 且 ∀ x ∈ R ， 满足 ， 当 x ∈ [2,3] 时， f ( x ) ＝ x ，则当 x ∈ [ － 2,0] 时， f ( x ) 等于 A.| x ＋ 4| B .|2 － x | C.2 ＋ | x ＋ 1| D.3 － | x ＋ 1| 答案 解析 押题依据　 利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，较好地考查学生思维的灵活性 . 押题依据 1 2 3 √ 则当 x ∈ [ － 2 ，－ 1] 时， x ＋ 4∈[ 2 ， 3 ] ， f ( x ) ＝ f ( x ＋ 4) ＝ x ＋ 4 ＝ x ＋ 1 ＋ 3 ； 当 x ∈ [ － 1 ， 0 ] 时，－ x ∈[ 0 ， 1 ] ， 2 － x ∈[ 2 ， 3 ] ， f ( x ) ＝ f ( － x ) ＝ f (2 － x ) ＝ 2 － x ＝ 3 － x － 1 ，故 选 D. 1 2 3 1 2 3 3. 已知函数 h ( x )( x ≠ 0) 为偶函数，且当 x >0 时， h ( x ) ＝ 若 h ( t )> h (2) ，则实数 t 的取值范围为 ________ __ ____. ( － 2,0) ∪ (0,2) 答案 解析 押题依据　 分段函数是高考的必考内容，利用函数的单调性求解参数的范围，是一类重要题型，是高考考查的热点 . 本题恰当地应用了函数的单调性，同时考查了函数的奇偶性的性质 . 押题依据 1 2 3 易知函数 h ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递减， 因为函数 h ( x )( x ≠ 0) 为偶函数，且 h ( t )> h (2) ， 所以 h (| t |)> h (2) ，所以 0<| t |<2 ， 解得－ 2< t <0 或 0< t <2. 综上，所求实数 t 的取值范围为 ( － 2,0) ∪ (0,2).