2018届二轮复习二、分类讨论思想课件（全国通用） 18页

二、分类讨论思想 思想解读 思想解读 应用类型 　　分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略,对问题实行分类与整合,分类标准等于增加一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低问题难度. 由概念、法则、公式引起的分类讨论; 由运算、性质引起的分类讨论; 由参数变化引起的分类讨论; 由图形位置或形状引起的分类讨论. 总纲目录 应用一   由概念、法则、公式引起的分类讨论 应用二 由运算、性质引起的分类讨论 应用三 由参数变化引起的分类讨论 应用四 由图形位置或形状引起的分类讨论 应用一  由概念、法则、公式引起的分类讨论   例1     (2017江苏,9,5分)等比数列{ a n }的各项均为实数,其前 n 项和为 S n .已 知 S 3 =   , S 6 =   ,则 a 8 = 　　　     . 答案 　32 解析 　设等比数列{ a n }的公比为 q . 当 q =1时, S 3 =3 a 1 , S 6 =6 a 1 =2 S 3 ,不符合题意, ∴ q ≠ 1,由题设可得   解得   ∴ a 8 = a 1 q 7 =   × 2 7 =32. 【 技法点评 】 　 由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论往往是因 为有的数学定理、公式、性质是分类给出的 , 在不同的条件下结论不一致 . 如等比数列的前 n 项和公式、函数的单调性等 . 跟踪集训 1.已知函数 f ( x )=   且 f ( a )=-3,则 f (6- a )=   (　　) A.-   　    B.-   　    C.-   　    D.-   答案     A　由于 f ( a )=-3, ①若 a ≤ 1,则2 a -1 -2=-3, 整理得2 a -1 =-1,无解; ②若 a >1,则-log 2 ( a +1)=-3, 解得 a =7, 所以 f (6- a )= f (-1)=2 -1-1 -2=-   . 综上所述, f (6- a )=-   . 2.一条直线过点(5,2),且在 x 轴, y 轴上截距相等,则这条直线的方程为      　　　　　　     . 答案      x + y -7=0或2 x -5 y =0 解析 　设该直线在 x 轴, y 轴上的截距均为 a , 当 a =0时,直线过原点,此时直线方程为 y =   x ,即2 x -5 y =0; 当 a ≠ 0时,设直线方程为   +   =1,∵直线过点(5,2), ∴   +   =1,解得 a =7,∴直线方程为 x + y -7=0. 应用二    由运算、性质引起的分类讨论 例2     (2017太原模拟试题)已知 a , b , c 分别是△ ABC 的内角 A , B , C 所对的 边, a =2 b cos B , b ≠ c . (1)求证: A =2 B ; (2)若 a 2 + c 2 = b 2 +2 ac sin C ,求 A . 解析 　(1)证明:∵ a =2 b cos B ,且   =   , ∴sin A =2sin B cos B =sin 2 B , ∵0< A <π,0< B <π,∴sin A =sin 2 B >0,∴0<2 B <π, ∴ A =2 B 或 A +2 B =π. 若 A +2 B =π,则 B = C , b = c ,这与“ b ≠ c ”矛盾,∴ A +2 B ≠ π, ∴ A =2 B . (2)∵ a 2 + c 2 = b 2 +2 ac sin C ,∴   =sin C , 由余弦定理得cos B =sin C , ∵0< B <π,0< C <π,∴ C =   - B 或 C =   + B . ①当 C =   - B 时,由 A =2 B 且 A + B + C =π,得 A =   , B = C =   ,这与“ b ≠ c ”矛盾, ∴ A ≠   ; ②当 C =   + B 时,由 A =2 B 且 A + B + C =π,得 A =   , B =   , C =   ,∴ A =   . 【技法点评】　 由数学运算要求引起的分类讨论,常见的类型有除法运 算中除数不为零,偶次方根为非负,对数运算中真数与底数的要求,指数 运算中底数的要求,不等式两边同乘一个正数、负数问题,含有绝对值 的不等式求解,三角函数的定义域等,根据问题中的条件对相应的参 数、关系式等加以分类讨论,进而分类求解与综合. 跟踪集训 已知 a , b >0且 a ≠ 1, b ≠ 1,若log a b >1,则   (　　) A.( a -1)( b -1)<0　    B.( a -1)( a - b )>0 C.( b -1)( b - a )<0　    D.( b -1)( b - a )>0 答案     D　∵ a , b >0且 a ≠ 1, b ≠ 1,∴当 a >1,即 a -1>0时,不等式log a b >1可化 为   > a 1 ,即 b > a >1,∴( a -1)( a - b )<0,( b -1)( a -1)>0,( b -1)( b - a )>0.当0< a <1,即 a -1<0时,不等式log a b >1可化为   < a 1 ,即0< b < a <1,∴( a -1)( a - b )<0,( b -1)( a -1)>0,( b -1)( b - a )>0.综上可知,选D. 应用三    由参数变化引起的分类讨论 例3     (2017浙江,17,5分)已知 a ∈R,函数 f ( x )=   + a 在区间[1,4]上的 最大值是5,则 a 的取值范围是 　　　     . 答案        解析 　设 g ( x )= x +   - a , x ∈[1,4], g '( x )=1-   =   ,易知 g ( x )在[1,2]上为减函数,在[2,4]上为增函数, g (2)=4 - a , g (1)= g (4)=5- a . (1)当 a ≤ 4时,| g ( x )| max =5- a , ∴ f ( x ) max =| g ( x )| max + a =5. ∴ a ≤ 4符合题意. (2)当4< a ≤ 5时, | g ( x )| max =max{ a -4,5- a }=   当   < a ≤ 5时, f ( x ) max = a -4+ a =5 ⇒ a =   (舍去), 当4< a ≤   时, f ( x ) max =5- a + a =5,∴4< a ≤   符合题意. (3)当 a >5时,| g ( x )| max = a -4, ∴ f ( x ) max = a -4+ a =5 ⇒ a =   (舍去). 综上,实数 a 的取值范围为   . 【 技法点评 】 　若遇到题目中含有参数的问题 , 常常结合参数的意义及 对结果的影响进行分类讨论 , 此种题目为含参型 , 应全面分析参数变化 引起结论的变化情况 , 参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合 思想 , 分类要做到分类标准明确 , 不重不漏 . 跟踪集训 (2017课标全国Ⅰ,21改编)已知函数 f ( x )=e x (e x - a )- a 2 x .讨论 f ( x )的单调性. 解析 　函数 f ( x )的定义域为(- ∞ ,+ ∞ ), f '( x )=2e 2 x - a e x - a 2 =(2e x + a )(e x - a ). ①若 a =0,则 f ( x )=e 2 x ,在(- ∞ ,+ ∞ )单调递增. ②若 a >0,则由 f ‘( x )=0得 x =ln a .当 x ∈(- ∞ ,ln a )时, f ’( x )<0;当 x ∈(ln a ,+ ∞ )时, f '( x )>0.故 f ( x )在(- ∞ ,ln a )单调递减,在(ln a ,+ ∞ )单调递增. ③若 a <0,则由 f '( x )=0得 x =ln   . 当 x ∈   时, f '( x )<0; 当 x ∈   时, f '( x )>0. 故 f ( x )在   单调递减,在   单调递增. 应用四    由图形位置或形状引起的分类讨论 例4 　设 A , B 是椭圆 C :   +   =1长轴的两个端点.若 C 上存在点 M 满足∠ AMB =120 ° ,则 m 的取值范围是   (　　) A.(0,1] ∪ [9,+ ∞ )　    B.(0,   ] ∪ [9,+ ∞ ) C.(0,1] ∪ [4,+ ∞ )　    D.(0,   ] ∪ [4,+ ∞ ) 答案     A 解析 　当0< m <3时,椭圆 C 的长轴在 x 轴上,如图(1), A (-   ,0), B (   ,0), M (0,1). 图(1) 当点 M 运动到短轴的端点时 ,∠ AMB 取最大值 , 此时∠ AMB ≥ 120 ° , 则 | MO | ≤ 1, 即 0< m ≤ 1; 当 m >3 时 , 椭圆 C 的长轴在 y 轴上 , 如图 (2), A (0,   ), B (0,-   ), M (   ,0). 图(2) 当点 M 运动到短轴的端点时,∠ AMB 取最大值,此时∠ AMB ≥ 120 ° ,则| OA | ≥ 3,即   ≥ 3,即 m ≥ 9. 综上, m ∈(0,1] ∪ [9,+ ∞ ),故选A. 【技法点评】 　求圆锥曲线的方程时,常按焦点的位置不同来分类讨 论;相关计算中,涉及图形问题时,也常按图形的位置不同、大小差异等 来分类讨论. 跟踪集训 1.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形,则它的体积为   (　　) A.   　    B.4   C.   　    D.4   或   答案     D　当正三棱柱的高为4时,体积 V =2 ×   ×   × 4=4   ;当正三棱柱 的高为6时,体积 V =   ×   ×   × 6=   . 2.已知变量 x , y 满足的不等式组   表示的是一个直角三角形围 成的平面区域,则实数 k =   (　　) A.-   　    B.   　    C.0　    D.-   或0 答案     D　作出不等式组   表示的平面区域,易知当直线 y = kx +1与直线 x =0或 y =2 x 垂直时平面区域是直角三角形区域.∴ k =0或-   .故 选D.