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- 2021-05-12 发布
§2.6 对数与对数函数
最新考纲
考情考向分析
1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图象．
3.体会对数函数是一类重要的函数模型．
4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数.
以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，题型一般为选择、填空题，中低档难度.
1.对数的概念
一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即
2.对数logaN(a>0，a≠1)具有下列性质
(1)N>0；(2)loga1＝0；(3)logaa＝1.
3.对数运算法则
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN.
(2)loga＝logaM－logaN.
(3)logaMα＝αlogaM.
4.对数的重要公式
(1)对数恒等式：＝N.
(2)换底公式：logbN＝.
5.对数函数的图象与性质
y＝logax
a>1
01时，y>0；当01时，y<0；当00
(6)在(0，＋∞)上是增函数
(7)在(0，＋∞)上是减函数
6.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.
概念方法微思考
1．根据对数换底公式：①说出logab，logba的关系？
②化简.
提示 ①logab·logba＝1；②＝logab.
2．如图给出4个对数函数的图象．比较a，b，c，d与1的大小关系．
提示 00，则loga(MN)＝logaM＋logaN.( × )
(2)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × )
(3)函数y＝ln 与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( √ )
(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限．( √ )
题组二 教材改编
2．log29·log34·log45·log52＝ .
答案 2
3．已知a＝2，b＝log2，c＝，则a，b，c的大小关系为 ．
答案 c>a>b
解析 ∵01.
∴c>a>b.
4．函数y＝的定义域是 ．
答案
解析 由(2x－1)≥0，得0<2x－1≤1.
∴0，log5b＝a，lg b＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是( )
A．d＝ac B．a＝cd
C．c＝ad D．d＝a＋c
答案 B
6．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A．a>1，c>1 B．a>1,01 D．00且a≠1)，则实数a的取值范围是 ．
答案 ∪(1，＋∞)
解析 当01时，loga1.
∴实数a的取值范围是∪(1，＋∞).
题型一 对数的运算
1．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于( )
A. B．10 C．20 D．100
答案 A
解析 由已知，得a＝log2m，b＝log5m，
则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.
解得m＝.
2．计算：÷100＝ .
答案 －20
解析 原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg×10
＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.
3．计算：＝ .
答案 1
解析 原式＝
＝
＝＝＝＝1.
4．设函数f(x)＝3x＋9x，则f(log32)＝ .
答案 6
解析 ∵函数f(x)＝3x＋9x，
∴f(log32)＝＝2＋4＝6.
思维升华 对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
题型二 对数函数的图象及应用
例1 (1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的大致图象为( )
答案 C
解析 先作出当x≥0时，f(x)＝ln(x＋1)的图象，显然图象经过点(0,0)，再作此图象关于y轴对称的图象，可得函数f(x)在R上的大致图象，如选项C中图象所示．
(2)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数即方程|log0.5x|＝x的解的个数，即函数y＝|log0.5x|与函数y＝x图象交点的个数，作出两函数的图象(图略)可知它们有2个交点．
(3)当01时，不符合题意，舍去．
所以实数a的取值范围是.
引申探究
若本例(3)变为方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为 ．
答案
解析 若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax在上有交点，
由图象知解得01时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点．
题型三 对数函数的性质及应用
命题点1 比较对数值的大小
例2设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则( )
A．a>b>c B．b>c>a C．a>c>b D．c>b>a
答案 A
解析 a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63，
∵log43>log53>log63，∴a>b>c.
命题点2 解对数方程、不等式
例3 (1)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为 ．
答案 x＝
解析 原方程变形为log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±，又x>1，所以x＝.
(2)已知不等式logx(2x2＋1)0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上单调递减，则≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得实数a的取值范围是[－4,4)，故选D.
(2)函数f(x)＝log2·(2x)的最小值为 ．
答案 －
解析 依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，当log2x＝－，即x＝时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－.
(3)已知函数f(x)＝若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是 ．
答案 (1,2]
解析 当x≥1时，f(x)＝1＋log2x≥1，当x<1时，f(x)＝(a－1)x＋4－2a必须是增函数，且最大值大于或等于1才能满足f(x)的值域为R，可得解得a∈(1,2]．
思维升华 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．
跟踪训练2 (1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( )
A．a>c>b B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
答案 D
解析 a＝log32log22＝1，所以c最大．
由1，即a>b，
所以c>a>b.
(2)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是 ．
答案
解析 当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，
则f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，且8－2a>0，
解得11在区间[1,2]上恒成立，
知f(x)min＝f(1)＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.
∴a>4，且a<4，故不存在．
综上可知，实数a的取值范围是.
比较指数式、对数式的大小
比较大小问题是每年高考的必考内容之一，基本思路是：
(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．
(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.
例 (1)已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＝bc
C．ab>c
答案 B
解析 因为a＝log23＋log2＝log23＝log23>1，b＝log29－log2＝log23＝a，c＝log32c.
(2)(2018·全国Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则( )
A．a＋blog0.21＝0，
b＝log20.3log0.30.4>log0.31＝0，
∴0<<1，∴ab1，b＝log0.40.5∈(0,1)，
c＝log80.4<0，∴a>b>c.
(4)若实数a，b，c满足loga2a>c
解析 易知y＝f(x)是偶函数．当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝f ＝|log2x|，且当x∈[1，＋∞)时，f(x)＝log2x单调递增，又a＝f(－3)＝f(3)，b＝f ＝f(4)，所以b>a>c.
1．log29·log34等于( )
A. B. C．2 D．4
答案 D
解析 方法一 原式＝·＝＝4.
方法二 原式＝2log23·＝2×2＝4.
2．设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则a，b，c的大小关系是( )
A．b2.
∵c＝0.83.1，∴00时，f(x)＝logax单调递减，排除A，B；当x<0时，f(x)＝－loga(－x)单调递减，排除D.故选C.
5．已知函数f(x)＝ln ，若f＋f＋…＋f＝1 009(a＋b)，则a2＋b2的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 ∵f(x)＋f(e－x)＝2，
∴f＋f＋…＋f＝2 018，
∴1 009(a＋b)＝2 018，∴a＋b＝2.
∴a2＋b2≥＝2，
当且仅当a＝b＝1时取等号．
6．若函数f(x)＝loga(a>0，a≠1)在区间内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D.
答案 A
解析 令M＝x2＋x，当x∈时，M∈(1，＋∞)，f(x)>0，所以a>1，所以函数y＝logaM为增函数，又M＝2－，
因此M的单调递增区间为.
又x2＋x>0，所以x>0或x<－，
所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
7．已知a>b>1.若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝ ，b＝ .
答案 4 2
解析 令logab＝t，∵a>b>1，∴01时，由1－log2x≤2，解得x≥，所以x>1.
综上可知x≥0.
9．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a0，且a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求实数a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值．
解 (1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，且a≠1)，
∴a＝2.由得－10时，f(x)＝x.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
解 (1)当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝(－x)．
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．
所以x<0时，f(x)＝(－x)，
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)．
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以0<|x2－1|<4，解得－－2，所以x＝1或x＝－1.
所以－0，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 当00，即0<－a<1，解得1时，函数f(x)在区间上是增函数，所以loga(1－a)>0，即1－a>1，解得a<0，此时无解．综上所述，实数a的取值范围是.
15．若函数f(x)＝loga(x2－x＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则实数a＝ .
答案 2
解析 令u(x)＝x2－x＋2，则u(x)在[0,2]上的最大值u(x)max＝4，最小值u(x)min＝.
当a>1时，y＝logau是增函数，f(x)max＝loga4＝2，得a＝2；
当00，得x>1或x<－1.
∴函数的定义域为{x|x>1或x<－1}．
又f(x)＋f(－x)＝lg＝0，
∴f(x)为奇函数．故f(2 020)＋f(－2 020)＝0.
(2)当x∈[2,6]时，f(x)(x－1)(7－x)在[2,6]上恒成立．
又当x∈[2,6]时，(x－1)(7－x)＝－x2＋8x－7＝－(x－4)2＋9.
∴当x＝4时，[(x－1)(7－x)]max＝9，∴m>9.
即实数m的取值范围是(9，＋∞)．