九年级数学上册第一章特殊平行四边形3正方形的性质与判定2正方形的判定教学案无答案新版北师大版 3页

1 1.3.2 正方形的判定 【教学目标】 知识与技能 1．能进一步理解掌握正方形的判定定理． 2．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用． 过程与方法 1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力． 2．进一步体会证明的必 要性以及计算与证明在解决问题中的作用． 3．体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法． 情感、态度与价值观 1．通过知识的迁移、类比、转化，激发学生探索新知识的积极性和主动性． 2．体会数学与生活的联系 ． 【教学重难点】 教学重点 特殊四边形—— 正方形的判定定理的灵活应用． 教学难点 特殊四边形—— 正方形的判定定理的灵活应用． 【导学过程】 【创设情景，引入新课】 回顾正方形有哪些性质 【自主探究】 ： 自学，明确正方形的性质定理和判定定理的灵活应用 ． Ⅱ． 解决问题： 下面大家来猜一猜，想一想 依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形．那么，依次连接正方形各边的中 点．(如图)能得到—个怎样的图形呢?先猜一猜，再证明． 依次连结正方形各边的中点得到的四边形是正方形． 证明：∵四边形 ABCD 是正方形． ∴∠A＝∠B=∠C=∠D＝90°， AB＝BC＝CD＝DA． 又∵A1、B1、C1、D1 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点。 ∴AA1＝BA＝BB1＝B1C＝CC1＝C1D＝DD1＝D1A． ∴△AD1A1≌△BA1B1≌△CB1C1≌△DC1D1． ∴A1B1＝B1C1＝C1D1＝D1A1． 2 ∵∠A＝∠B＝90°， AA1＝AD1，A1B=BB1， ∴∠AA1D1=∠BA1B1=45°． ∴∠D1A1B1＝90°． ∴四边形 A1B1C1D1 是正方形． 这个题是先证明了四边形 A1B1C1D1 的四条边相等，即是菱形，然后又证明了这个四边形的一 个角是直角，即有一个角为直角的菱形是正方形，从而得证四边形 A1B1C1D1 是正方形． 【课堂探究】 已知:如图,点 E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 四条边上的点，并且 AF= BG= CH= DE。 求证：四边形 EFGH 是正方形． 证明：∵四边形 ABCD 是正方形． ∴∠A＝∠B=∠C=∠D＝90°， AB＝BC＝CD＝DA． 又∵AF= BG= CH= DE ， ∴AE＝DH＝CG＝BF ． ∴△AEF≌△BFG≌△CGH≌△DHE． ∴EF＝FG＝GH=HE ，∠AEF=∠BFG． ∵∠AFE+ ∠AEF ＝90°， ∴∠AFE+∠BFG = 90°． ∴∠EFG＝90°． ∴四边形 EFGH 是正方形． 接下来我们来做一做：在下图中，ABCDXA 表示一条环形高速公路，X 表示一座 水库，B、C 表示两个大市镇．已知 ABCD 是一个正方形，XAD 是一个等边三角形，假设政府要铺没两条 输水管 XB 和 XC，从水库向 B、C 两个市镇供水，那么这两条水管的夹角(即∠BXC)是多少度? 可以利用等边三角形的性质及正方形的性质去解决． 解：∵△XAD 是等边三角形， ∴∠AXD＝∠XAD＝∠XDA＝60°， XA=AD=XD． ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BAD＝∠ADC＝90°， AB＝AD＝DC． ∴∠XAB=∠XDC＝150°， XA=AB，XD＝CD． ∴∠AXB＝15°，∠CXD＝15°． ∴∠BXC=60°-∠AXB-∠CXD＝3 0°． A D B C E F G H 3 随堂练习 1 2． 【当堂训练】 随堂练习 1 2． 如图 1、图 2、图 3，已知直线 EF⊥MN，且与正方形 ABCD 的对边或其延长线分别交于 E、 F、M、N． 求证：EF＝MN， 图 3 证明：只给出图 2 情况下的证明，图 1、图 3 情况下的证明同理． 过 A 作 MN 的平行线，交 BC 于点 P，过 B 作 EF 的平行线，交 CD 于点 Q ．由平行四边形 的性质，得 AP＝MN，BQ＝EF．[ ∵MN//AP，EF//BQ，MN⊥EF， ∴AP⊥BQ． ∴∠QBC+∠APB=90°．∠BAP+∠APB＝90°． ∴∠QDC=∠BAP． 又∵AB=BC， ∴Rt△APB≌Rt△BFC． ∴AP＝BQ，即 MN＝EF． 这是正方形的一个重要的性质定理．