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- 2021-05-12 发布
宁夏育才中学高一期中考试
数学
一、选择题
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先解不等式得集合B，再根据交集定义求结果.
详解】 ;
因此，选C.
【点睛】集合的基本运算的关注点
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
2.设集合，，则集合的真子集个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出集合A，进而求出其真子集的个数．
【详解】因为集合，
∴集合＝{1，，}，
∴真子集个数为23﹣1＝7个，
故选C．
【点睛】本题考查了真子集的概念及性质，考查集合的表示方法：列举法，是一道基础题．
3.函数的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
取特值判断正负，即可得出答案．
【详解】
故选B
【点睛】本题考查函数图象识别，根据函数的定义域、值域、单调性、对称性及特值是解决问题的关键，属于基础题．
4.已知一个奇函数的定义域为，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据奇函数的定义域关于原点对称,与有一个等于1，另一个等于,进而得到结果.
【详解】因为一个奇函数的定义域为，根据奇函数的定义域关于原点对称，
所以与有一个等于1，另一个等于 ，所以．
故选A．
【点睛】奇偶函数的性质有：（1）确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；（2）当函数的定义域不关于原点对称时，函数不具有奇偶性，即函数既不是奇函数也不是偶函数；（3）当函数的定义域关于原点对称时，判断与的关系：①如果对于函数定义域内任意一个x，都有，则函数为偶函数；②如果对于函数定义域内任意一个x，都有，则函数为奇函数.
5.已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
按照补集、交集的定义，即可求解.
【详解】，，
.
故选:D.
【点睛】本题考查集合的混合计算，属于基础题.
6.函数y=的单调增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复合函数的单调性进行求解即可.
【详解】令t=-x2+4x+5，其对称轴方程为x=2，
内层二次函数在[2，+∞）上为减函数，
而外层函数y=为减函数，
∴函数y=的单调增区是[2，+∞）．
故选：D．
【点睛】本题考查指数型复合函数的单调性，复合函数的单调性满足同增异减，是基础题．
7.已知，则a,b,c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据指数函数单调性比较大小，即可得结果.
【详解】因为为单调减函数，所以
因为为单调减函数，所以，即
故选：B
【点睛】本题考查根据指数函数单调性比较大小，考查基本分析判断能力，属基础题.
8.函数的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由题意得，幂函数，定义域为
且在定义域内为单调递增函数，因此排除A,B，当时，函数值增长得比较快，故选C.
【点睛】本题考查了幂函数的图象与性质，属于基础题，由幂函数的图象与性质可知，该幂函数是定义域为的单调递增函数，且当时，函数值增长得比较快，同时考查了计算能力，逻辑推理能力，考查了函数与方程，转化与化归，分类讨论与数形结合的数学思想，学生做这类题目时，一定要用排除法进行选择.
9.一元二次方程没有实数根，则m的取值范围为( )
A. m<2 B. m>4
C. m>16 D. m<8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根的判别式可以直接求出m的取值范围.
【详解】∵一元二次方程x2–4x+m＝0没有实数根，∴＝16–4m<0，即m>4，故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程判别式的应用，考查了数学运算能力.
10.函数的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
去绝对值，将化为分段函数，转化为二次函数的单调区间，即可求解.
【详解】，
所以递增区间是.
故选:C.
【点睛】本题考查分段函数的单调性，注意二次函数单调性的应用，属于基础题.
11.已知是定义在R上的奇函数，当时，（为常数），则
（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知可得求出，求，再由奇函数的对称性，即可求解.
【详解】是定义在R上的奇函数，
当时，（为常数），
，，
，
.
故选:B.
【点睛】本题考查函数的奇偶性求参数，利用函数对称性求值，属于基础题.
12.定义域为R的偶函数满足任意，有，且当时，.若函数至少有三个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得的周期为，当时，，令，则的图像和的图像至少有个交点，画出图像，数形结合，根据，求得的取值范围.
【详解】是定义域为R的偶函数，满足任意，
，令，
又，
为周期为的偶函数，
当时，，
当，
当，
作出图像，如下图所示：
函数至少有三个零点，
则的图像和的图像至少有个交点，
，若，
的图像和的图像只有1个交点，不合题意，
所以，的图像和的图像至少有个交点，
则有，即，
.
故选:B.
【点睛】本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.
二、填空题
13.函数的定义域是______
【答案】
【解析】
【分析】
根据分式与根式成立的条件,进行求解即可．
【详解】解：要使函数有意义,则得,
即且,
即函数的定义域为,
故答案为
【点睛】本题主要考查函数定义域的求解,分母不能为0,根号下大于等于0．
14.一天，某地的最高气温为3℃，最低气温为℃，则该地当天的气温用区间表示为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据区间的定义，即可求解.
【详解】某地的最高气温为3℃，最低气温为℃，
则该地当天的气温用区间表示为.
【点睛】本题考查区间的表示，属于基础题.
15.设函数.若，则_______.
【答案】2或-1
【解析】
【分析】
得到关于的方程，用因式分解法求解.
【详解】整理得
，，
，
或.
故答案为:.
【点睛】本题考查由函数值求自变量，注意因式分解在解题中的应用，属于中档题.
16.某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中为常数.若汽车以的速度行驶时，每小时的油耗为，欲使每小时的油耗不超过，则速度的取值范围为___．
【答案】
【解析】
【分析】
先利用时的油耗，计算出的值，然后根据题意“油耗不超过”列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】由于“汽车以的速度行驶时，每小时的油耗为”，所以，解得，故每小时油耗为，依题意，解得，依题意，故.所以速度的取值范围为.
【点睛】本小题主要考查利用待定系数法求解析式，考查一元二次不等式的解法，考查实际应用问题，属于中档题.
三、解答题
17.已知全集，集合，集合.
（1）求；
（2）若集合，且集合与集合满足，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）化简集合，按照补集，并集定义，即可求解；
（2），得，结合数轴，确定集合端点位置，即可求解.
【详解】（1）∵；∴；
∴；
（2）∵，∴；
∴，∴，
∴实数的取值范围为.
【点睛】本题考查集合间的运算，以及由集合关系求参数，属于基础题.
18.设
（1）若为偶函数，求a的值；
（2）若在（1，2）内是单调函数，求a取值范围．
【答案】（1）； （2）.
【解析】
【分析】
（1）根据偶函数的图象关于轴对称，可得解出即可；（2）求出的对称轴，由题意可得或解出即可.
【详解】（1）为偶函数，
故对称轴，即，解得.
（2）∵对称轴为，又（1，2）内是单调函数，
∴或，解得或
∴的取值范围为.
【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性以及对称性，掌握对称轴与所给区间的关系是解题的关键，属于中档题.
19.计算：
（1）
（2）
【答案】（1）26；
（2）10.
【解析】
【分析】
（1）根据指数幂运算的运算法则化简即可求得结果；（2）根据对数运算的运算法则化简即可求得结果.
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查利用指数幂运算、对数运算法则化简求值的问题，属于基础题.
20.已知幂函数的图象经过点.
（1）求幂函数的解析式；
（2）试求满足的实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）把点的坐标代入函数解析式求出的值，即可写出的解析式；（2）根据
在定义域上的单调性，把不等式化为关于的不等式组，求出解集即可．
【详解】（1）幂函数的图象经过点，
，
解得，
幂函数；
（2）由（1）知在定义域上单调递增，
则不等式可化为
解得，
实数a的取值范围是.
【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，属于容易题．
21.已知二次函数.
（1）如果二次函数恒有两个不同的零点，求的取值范围；
（2）当时，讨论二次函数在区间上的最小值.
【答案】（1）；（2）当时，最小值；时，最小值
【解析】
【分析】
（1）二次函数恒有两个不同零点，由根的判别式大于零，即可求解；
（2）求出函数的对称轴，根据对称轴与区间关系，结合函数单调性，分类讨论，即可求出结论.
【详解】（1）由题，得，
，解得或，
∴；
（2）∵，所以对称轴，
当，即时，函数在上单调递减，
故当时，取最小值；
当，即时，函数在上先减后增，
故当时，取最小值.
【点睛】本题考查二次函数性质，对于简单初等函数性质要熟练掌握，属于基础题.
22.已知函数对任意满足，若当时，且，且.
（1）求的值；
（2）求函数的值域.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由已知可得是奇函数，得，也是周期为的周期函数，得，代入解析式，即可求出值；
（2）是周期为的周期函数，只需求出一个周期的值域即可，根据指数函数的单调性，求出的值域，再由奇函数对称性求出值域，奇偶性结合周期求出，即可得出结论.
【详解】解：（1）∵
∴，即是奇函数.
∵，∴，
即函数是周期为2的周期函数，
∴，即.
又，
解得.
∴，
（2）当时，，
由为奇函数，知当时，，
是奇函数，是周期为的函数，
，
∴当时，.
【点睛】本题考查函数的奇偶性和周期性的应用，考查指数函数的性质，属于中档题.