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- 2021-05-12 发布
数学试卷
一、单选题（共20题；共40分）
1.已知 ，且 ，则 所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
2.已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3.已知函数 ，且 ， ， ，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.设 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
5.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
6.若曲线 的一条切线为 （ 为自然对数的底数），其中 为正实数，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
8.函数 的部分图象大致是( )
A. B. C. D.
9.已知函数 ， ，若函数 有6个零点，则实数b的取值范围为( )
A. B. C. D.
10.设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
11.函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
12.已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
13.函数 的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
14.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
15.已知， ，则（ ）
A. a＜c＜b B. a＜b＜c C. b＜a＜c D. b＜c＜a
16.已知全集 ，集合 ， ，则 ）
A. B. C. D.
17.已知集合 ， 则 （ ）
A. B. C. D.
18.1943年，我国病毒学家黄祯祥在美国发表了对病毒学研究有重大影响的论文“西方马脑炎病毒在组织培养上滴定和中和作用的进一步研究”，这一研究成果，使病毒在试管内繁殖成为现实，从此摆脱了人工繁殖病毒靠动物、鸡胚培养的原始落后的方法.若试管内某种病毒细胞的总数 和天数的函数关系为： ，且该种病毒细胞的个数超过 时会发生变异，则该种病毒细胞实验最多进行的天数为（ ）天（ ）
A. 25 B. 26 C. 27 D. 28
19.已知定义在 上的函数 ，其导函数为 ，若 ，且当 时， ，则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
20.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共10题；共10分）
21.已知函数 ，若 ，则 ________．
22.已知函数 是定义域为R 的偶函数， ，都有 ，当 时， ，则 ________.
23.已知函数 若 ，则实数a的取值范围为________．
24.已知函数 ，则其最小正周期 ________， ________．
25.已知 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，则当 时， ________．
26.已知函数 满足 ， ，且 在区间 上单调，则 取值的个数有________个．
27.已知函数 ，若 ，则a=________.
28.已知函数 （ ， 是自然对数的底数）.若有且仅有3个负整数 ， ， ，使得 ， ， ，则a的最小值是________.
29.已知函数 ， （ 为自然对数的底数），若函数 有且只有三个零点，则实数b的值为________.
30.已知 ，则a+b________. (填“>”或“=”或“<”).
三、解答题（共5题；共50分）
31.定义两个函数的关系：函数 的定义域分别为A,B，若对任意的 ，总存在 ，使得 ，我们就称函数 为 的“子函数”．已知函数 ， ， ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 为 的一个“子函数”，求 的最小值．
32.若函数 的图像与 的图像交于不同的两点 ， 线段 的中点为
（1）求实数k的取值范围；
（2）证明：
33.已知函数 ．
（Ⅰ）若 ，求不等式 的解集；
（Ⅱ）若 恒成立，求实数a的取值范围．
34.某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为 ，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验 件该产品，且每 件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检 验方案：将产品每 个 一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验1次或 次．设该工厂生产1000件该产品，记每件产品的平均检验次 数为X．
（1）求X的分布列及其期望；
（2）（i）试说明，当 越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；
（ii）当 时，求使该方案最合理时 的值及 件该产品的平均检验次数．
35.某生活超市有一专柜预代理销售甲乙两家公司的一种可相互替代的日常生活用品．经过一段时间分别单独试销甲乙两家公司的商品，从销售数据中随机各抽取50天，统计每日的销售数量，得到如下的频数分布条形图．甲乙两家公司给该超市的日利润方案为：甲公司给超市每天基本费用为90元，另外每销售一件提成1元；乙公司给超市每天的基本费用为130元，每日销售数量不超过83件没有提成，超过83件的部分每件提成10元．
（Ⅰ）求乙公司给超市的日利润 （单位：元）与日销售数量n的函数关系；
（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：
（1）求甲公司产品销售数量不超过87件的概率；
（2）如果仅从日均利润的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为超市作出抉择，选择哪家公司的产品进行销售？并说明理由．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
2.【答案】 B
3.【答案】 C
4.【答案】 C
5.【答案】 A
6.【答案】 C
7.【答案】 C
8.【答案】 B
9.【答案】 A
10.【答案】 D
11.【答案】 B
12.【答案】 C
13.【答案】 B
14.【答案】 D
15.【答案】 C
16.【答案】 A
17.【答案】 C
18.【答案】 C
19.【答案】 C
20.【答案】 B
二、填空题
21.【答案】 2
22.【答案】 5
23.【答案】
24.【答案】 ；
25.【答案】
26.【答案】 3
27.【答案】
28.【答案】
29.【答案】 或1
30.【答案】 ＞
三、解答题
31.【答案】 （1）解： ，函数 的定义域为 ，
，
令 ，即 ，解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ；
令 ，即 ，解得 ，
所以函数 的单调递减区间为 ，
综上，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为
（2）解：由（1）知，当 时，函数 取得极小值，即最小值，
所以 ，
当 时， ，
且 为连续函数，只需 ，
即 有实数解，
即 ，因为 ，
则 ，
令 ，
即 在区间 上有实数解，
将 看成直线 上的点，
令 ，则 ， ，
令 ，则 ，
所以 的最小值为
32.【答案】 （1）解：设 ，
题意即 有两个不同的零点， ，
当 时， ， 在 上单调递增，
至多一个零点，不满足题意.
当 时，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 时， 取得极小值，
也是最小值为
若 即 ，则 至多一个零点，不满足题意.
若 即 ，则由 ，
知 在 存在一个零点，
又 .
设 在 上恒成立，
，所以 .
所以 在 存在一个零点，
从而 有个两个不同零点，满足题意.
综上，实数 的取值范围是 .
（2）证明：要证 只要证
只需证
不妨设 ，即证
要证 ，只需证 ，
设 ，则
所以 在 上为增函数，
从而 ，即 成立.
要证 ，只需证
设 .则
所以 在 上为减函数，从而 ，
即 中上成立，
所以 成立，即 .
33.【答案】 解：（Ⅰ）由题意得： ， ①当 时，由 得： ， ； ②当 时，由 得： ， ； ③当 时，由 得： ， ； 综上所述：不等式 的解集为 ； （Ⅱ） 恒成立等价于 ， ，等号成立条件是 ， ， ，解得： ，又 ， ， 实数 的取值范围为 ．
34.【答案】 （1）解： 由题，X的可能取值为 和
，故 的分布列为
（2）解：（i）由 记 ，因为 ，
所以 在 上单调递增 ，
故 越小， 越小，即所需平均检验次数越少，该方案越合理
记
当 且取最小值时，该方案最合理，
因为 ， ，
所以 时平均检验次数最少，约为 次．
35.【答案】 （1）解：（Ⅰ）当 时， 元； 当 时， ； 乙公司给超市的日利润 （单位：元）与销售数量 的函数关系为： . （Ⅱ）（1）记事件 ：“甲公司产品的销售数量不超过87件”， 则 ；
（2）解：甲公司给超市的日利润为 元， 则 的所有可能取值为 ， ， ，
， ， （元）； 设乙公司给超市的日利润为 元， 则 的所有可能取值为 ， ， ， ， ， 则 （元）； ，所以超市应代理销售乙公司的产品较为合适．