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- 2021-05-12 发布
黄骅中学2019－2020年度第一学期高中一年级第一次月考
数学试卷
注意事项：答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、学号、班级及准考证号等分别写在答题页相应位置和涂在答题卡上；不能将题直接答在试卷上。
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.若集合，下列关系式中成立的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：表示元素与集合间的关系，表示集合与集合间的关系.故C正确.
考点：集合间的关系.
2.已知，则（ ）
A. 3 B. 13 C. 8 D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知中，将代入，可得，进而可求得的值．
【详解】解：∵，
，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题目．
3.已知函数f（x）的定义域为[–1，5]，在同一坐标系下，函数y=f（x）的图象与直线x=1的交点个数为（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 0个或者2个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的概念及函数的定义域，可判定交点个数.
【详解】因为，
所以当时，有且只有一个值，
故函数y=f（x）的图象与直线x=1的交点个数为1个.
故选B.
【点睛】本题主要考查了函数的概念，函数的定义域，属于中档题.
4.函数的值域是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用二次函数的性质和不等式的性质求解．
【详解】解：由题意：函数，
，
，即函数的值域为．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的值域问题．考查了不等式的性质，属于基础题．
5.下列各式中，表示是的函数的有（ ）
①；②；③
；④．
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据构成函数的两要素分析定义域是否为空集及对应法则是否对定义域内每一个元素都有唯一实数值与之对应，即可求解.
【详解】①,定义域为R,化简解析式为，定义域内每个值按对应法则都有唯一实数3与之对应，是函数；②，定义域为，解得，所以不是函数；③，定义域为R，对应法则对于定义域内每一个值都有唯一实数与之对应，所以是函数；④，定义域为R，当时，有两个值与之对应，所以不是函数.
故选C.
【点睛】本题主要考查了函数的概念，构成函数的两个要素，属于中档题.
6.已知函数是定义在上的奇函数，且满足，则的值为（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【详解】∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0.又∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，f(x)是周期为4的奇函数，∴f(6)＝f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)＝0. 选B.
7.函数在区间上是减函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出二次函数的对称轴，结合函数的单调性，写出不等式求解即可．
【详解】函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2的对称轴为：x＝1﹣a，
函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，
可得1﹣a≥4，解得a≤﹣3，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的单调性，是基础题．
8.下列判断正确的是（ ）
A. 函数=是奇函数 B. 函数是偶函数
C. 函数=是非奇非偶函数 D. 函数既是奇函数又是偶函数
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性，从定义域，解析式两个方面考查函数即可判断.
【详解】对于A，=的定义域为，不关于原点对称，是非奇非偶函数；
对于B, 的定义域为R，且，所以是偶函数；对于C, =定义域为R，且，所以是偶函数；对于D，的定义域为R，且，，所以函数是偶函数不是奇函数.
故选B.
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判定，属于中档题.
9.如果，则当且时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：设
考点：换元法求函数解析式
10.函数y=的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据奇偶性，再带入特殊点即可选出答案．
【详解】解：函数y是奇函数，排除B，C；
当x时，x2﹣1＜0，∴y0，图象在x轴的下方．排除D；
故选：A．
【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.
11.已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是( )
A. a> B. －12f（x2）
故f（x）是R上的减函数．③正确，④错误．
综上，其中正确的结论是①③．
故选：A．
【点睛】本题考查了抽象函数的性质与应用问题，是基础题．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.若是偶函数，且定义域为，则＝_____ ， ＝_____
【答案】 (1). (2). 0
【解析】
【分析】
根据函数是偶函数，定义域关于原点对称，且，即可求解.
【详解】因为是偶函数，且定义域为，
所以，解得，
且，
所以.
故.
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用，属于中档题.
14.已知函数y＝f(x)是R上的增函数，且f(m＋3)≤f(5)，则实数m的取值范围是________．
【答案】m≤2
【解析】
∵函数y＝f(x)是R上的增函数，且f(m＋3)≤f(5)，
∴m＋3≤5，∴m≤2
故答案为：m≤2
15.已知函数y=f（x）的定义域是[0，4]，则函数的定义域是______．
【答案】（1，3]
【解析】
【分析】
根据f（x）的定义域为[0，4]即可得出：函数需满足，，解出x的范围即可．
【详解】∵y=f（x）的定义域是[0，4]；∴函数, 需满足：；
解得1＜x≤3； ∴该函数的定义域为：（1，3]．
故答案为：（1，3]．
【点睛】考查函数定义域的概念及求法，已知f（x）定义域求f[g（x）]定义域的方法．
16.函数在区间[2，5]上的值域是__________．
【答案】[，3]
【解析】
【分析】
化简函数的解析式，利用函数单调性求解.
【详解】因为，时是减函数，
所以当时，，当时，，
故函数的值域为[，3].
【点睛】本题主要考查了函数的单调性，函数值域，属于中档题.
三、解答题（共70分）
17.设集合，若A∩B=B，求的取值范围．
【答案】a=1或a≤﹣1
【解析】
试题分析：先由题设条件求出集合A，再由A∩B=B，导出集合B可能结果，然后结合根的判别式确定实数a的取值范围．
试题解析：
根据题意，集合A={x|x2+4x=0}={0，﹣4}，若A∩B=B，则B是A的子集，
且B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}，为方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的解集，
分4种情况讨论：
①B=∅，△=[2（a+1）]2﹣4（a2﹣1）=8a+8＜0，即a＜﹣1时，方程无解，满足题意；
②B={0}，即x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个相等的实根0，
则有a+1=0且a2﹣1=0，解可得a=﹣1，
③B={﹣4}，即x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个相等的实根﹣4，
则有a+1=4且a2﹣1=16，此时无解，
④B={0、﹣4}，即x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个的实根0或﹣4，
则有a+1=2且a2﹣1=0，解可得a=1，
综合可得：a=1或a≤﹣1．
点睛：A∩B=B则B是A={0，﹣4}的子集，而B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}为方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的解集，所以分四种情况进行讨论①B=∅，②B={0}，③B={﹣4}，④B={0、﹣4}，其中①B=∅不要忘记.
18.设全集为R，集合,
(1)求 .
(2)已知集合,若,求实数的取值范围.
【答案】(1) {x|3≤x<6} (2)
【解析】
【分析】
（1）根据交集运算求解即可（2）由子集概念，分两类讨论，当可得集合B,C端点的相对关系，写出求解即可.
【详解】(1)易知A∩B={x|3≤x<6}
(2)∵C⊆B,当时，，解得；
当时，，，
∴实数a的取值范围为.
【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，子集的概念，分类讨论的思想，属于中档题.
19.
设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1](t∈R)的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．
【答案】g(t)＝
【解析】
【详解】f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，所以，其图象的对称轴为直线x＝1，且图象开口向上．
①当t＋1<1，即t<0时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，所以最小值g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；
②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数f(x)在顶点处取得最小值，即g(t)＝f(1)＝1；
③当t>1时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，
所以最小值g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.
综上可知g(t)＝
20.已知f（x）定义域为（0，+∞），且在其定义域内为增函数，满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，解不等式f（x）+f（x–2）<3．
【答案】{x|20，x1－x2<0，所以即，
故函数f(x)在区间(－∞,－2)上单调递增．
（2）任取10，x2－x1>0，所以要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，
所以a≤1.故a 的取值范围是(0,1]．
【点睛】本题考查利用定义法证明函数的单调性以及函数单调性定义法的应用，应掌握函数单调性定义法的通法步骤：
1.在区间内任设；
2.作差；
3.对变形，并判断其正负号；
4.得出结论，若，则函数在区间内为增函数；若，则函数在区间内为减函数.
22.已知函数.
(I)求，的值；
(II)求；
(III)若，求.
【答案】(I),-11 ; (II)f（8x﹣1）＝;(III)或
【解析】
【分析】
(I)根据函数的解析式依次求值即可；(II)根据解析式对8x﹣1分三种情况依次求出，最后再用分段函数的形式表示出f（8x﹣1）；(III)根据解析式对4a分三种情况，分别由条件列出方程求出a的值．
【详解】(I)由题意得，f（1+）＝f（2+）＝1+
=1+ ，
又f（﹣4）＝﹣8+3＝-5，则f（-5）＝-10+3＝-7，f（-7）＝-14+3＝-11，
所以；
(II)当8x﹣1＞1即x＞时，f（8x﹣1）＝1+，
当﹣1≤8x﹣1≤1即0≤x≤时，f（8x﹣1）＝（8x﹣1）2+1＝64x2﹣16x+2，
当8x﹣1＜﹣1即x＜0时，f（8x﹣1）＝2（8x﹣1）+3＝16x+1，
综上可得，f（8x﹣1）＝ ；
(III)因为，所以分以下三种情况：
当4a＞1时，即a＞时，f（4a）＝＝，解得a＝，成立，
当﹣1≤4a≤1时，即-≤a≤时，f（4a）＝16a2+1＝，解得a＝，成立
当4a＜﹣1时，即a<-时，f（4a）＝8a+3＝，解得a=-，不成立，
综上可得，a的值是或．
【点睛】本题考查分段函数的函数值，对于多层函数值应从内到外求，考查分类讨论思想，属于中档题．