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- 2021-05-12 发布
第六类 函数与导数问题重在
“
分
”
——
分离、分解
以函数为载体、以导数为工具的综合问题是高考常考的压轴大题，多涉及含参数的函数的单调性、极值或最值的探索与讨论、复杂函数的零点的讨论、不等式中参数范围的讨论、恒成立和能成立问题的讨论等，是近几年高考试题的命题热点
.
对于此类综合试题，一般先求导，再变形或分解出基本函数，再根据题意处理
.
【例
6
】
(2017·
全国
Ⅱ
卷
)
已知函数
f
(
x
)
＝
ax
2
－
ax
－
x
ln
x
，且
f
(
x
)
≥
0.
(1)
求
a
；
(2)
证明：
f
(
x
)
存在唯一的极大值点
x
0
，且
e
－
2
<
f
(
x
0
)<2
－
2
.
(1)
解
f
(
x
)
的定义域为
(0
，＋
∞
)
，
设
g
(
x
)
＝
ax
－
a
－
ln
x
，则
f
(
x
)
＝
xg
(
x
)
，
(
分离
)
f
(
x
)
≥
0
等价于
g
(
x
)
≥
0
，
因为
g
(1)
＝
0
，
g
(
x
)
≥
0
，故
g
′(1)
＝
0
，
当
0<
x
<1
时，
g
′(
x
)<0
，
g
(
x
)
单调递减；
当
x
>1
时，
g
′(
x
)>0
，
g
(
x
)
单调递增，
所以
x
＝
1
是
g
(
x
)
的极小值点，故
g
(
x
)
≥
g
(1)
＝
0.
综上，
a
＝
1.
(2)
证明
由
(1)
知
f
(
x
)
＝
x
2
－
x
－
x
ln
x
，
f
′(
x
)
＝
2
x
－
2
－
ln
x
，
设
h
(
x
)
＝
2
x
－
2
－
ln
x
，
(
分解
)
因为
f
′(
x
)
＝
h
(
x
)
，所以
x
＝
x
0
是
f
(
x
)
的唯一极大值点
.
由
f
′(
x
0
)
＝
0
得
ln
x
0
＝
2(
x
0
－
1)
，故
f
(
x
0
)
＝
x
0
(1
－
x
0
)
.
因为
x
＝
x
0
是
f
(
x
)
在
(0
，
1)
的最大值点，
由
e
－
1
∈
(0
，
1)
，
f
′(e
－
1
)
≠
0
得
f
(
x
0
)>
f
(e
－
1
)
＝
e
－
2
.
所以
e
－
2
<
f
(
x
0
)<2
－
2
.
探究提高
1.(1)
分离：把函数
f
(
x
)
分离为
x
与
g
(
x
)
的积
.
(2)
分解：构造
h
(
x
)
＝
2
x
－
2
－
ln
x
.
2
.
破解策略：函数与导数压轴题计算复杂、综合性强、难度大
.
可以把参变量分离，把复杂函数分离为基本函数；可把题目分解成几个小题；也可把解题步骤分解为几个小步；注重分步解答，这样，即使解答不完整，也要做到尽可能多拿步骤分
.
【训练
6
】
(2018·
石家庄调研
)
已知函数
f
(
x
)
＝
(2
x
＋
b
)e
x
，
F
(
x
)
＝
bx
－
ln
x
，
b
∈
R
.
(
1)
若
b
<0
，且存在区间
M
，使
f
(
x
)
和
F
(
x
)
在区间
M
上具有相同的单调性，求实数
b
的取值范围；
(
2)
若
F
(
x
＋
1)>
b
对任意
x
∈
(0
，＋
∞
)
恒成立，求实数
b
的取值范围
.
解
(1)
f
′(
x
)
＝
e
x
(2
x
＋
b
＋
2)
，
∵
b
<0
，
∴
F
′(
x
)<0
，即
F
(
x
)
在
(0
，＋
∞
)
上单调递减
.
∵
f
(
x
)
和
F
(
x
)
在区间
M
上具有相同的单调性，
(2)
由
F
(
x
＋
1)>
b
得
ln(
x
＋
1)
－
bx
<0.
∴
g
(
x
)
在
(0
，＋
∞
)
上递减，
∴
g
(
x
)<
g
(0)
＝
0.
因此实数
b
的取值范围是
[1
，＋
∞
)
.