高考数学考点11 导数的概念及计算 15页

1 考点 11 导数的概念及计算 考纲原文 1．导数概念及其几何意义 （1）了解导数概念的实际背景. （2）理解导数的几何意义. 2．导数的运算 （1）能根据导数定义求函数 y=C（C 为常数）， 的导数. （2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的 复合函数（仅限于形如 f(ax+b)的复合函数）的导数. • 常见基本初等函数的导数公式： ； ； ； . • 常用的导数运算法则： 法则 1： . 法则 2： . 法则 3： . 知识整合 一、导数的概念 1．平均变化率 函数 从 到 的平均变化率为 ，若 ， ，则平 均变化率可表示为 .学= 2 3 1, , , ,y x y x y x y y xx     1( ) 0( );( ) ,n nC C x nx n    N为常数 (sin ) cos ;(cos ) sinx x x x    (e ) e ;( ) ln ( 0, 1)x x x xa a a a a    且 1 1(ln ) ;(log ) log e( 0, 1)a ax x a ax x     且        u x v x u x v x     ＝            ·u x v x u x v x u x v x    ＝ ＋ 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ( ) 0)( ) ( ) u x u x v x u x v x v xv x v x     ( )y f x 1x 2x 2 1 2 1 ( ) ( )f x f x x x   2 1x x x   2( )y f x   1( )f x y x   2 2．瞬时速度 一般地，如果物体的运动规律可以用函数 来描述，那么，物体在时刻 的瞬时速度 v 就是物体在 到 这段时间内，当 无限趋近于 0 时， 无限趋近的常数. 3．瞬时变化率 定义式 实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于 0 时，平均变化率趋近的值 作用 刻画函数在某一点处变化的快慢 4．导数的概念 一般地，函数 在 处的瞬时变化率是 ，我们称它为函 数 在 处的导数，记作 或 ，即 . 【注】函数 在 处的导数是 在 处的瞬时变化率. 5．导函数的概念 如果函数 在开区间(a，b)内的每一点都是可导的，则称 在区间(a，b)内可导．这样，对开 区间(a，b)内的每一个值 x，都对应一个确定的导数 ，于是在区间(a，b)内 构成一个新的函 数，我们把这个函数称为函数 的导函数(简称导数)，记为 或 ，即 . 二、导数的几何意义 函数 在 处的导数 就是曲线 在点 处的切线的斜率 ，即 . 【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点 P(x0，y0)，求曲线过点 P 的切线，则需分点 P(x0，y0)是切点 和不是切点两种情况求解． （1）当点 P(x0，y0)是切点时，切线方程为 y−y0=f ′(x0)(x−x0)； （2）当点 P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成： ( )s s t t t t t  t s t   0 0 0 0 ( ) ( )lim lim x x f x + x f xy x x        ( )y f x 0x x 0 0 0 0 ( ) ( )lim lim x x f x + x f xy x x        ( )y f x 0x x 0( )f x 0 |x xy  0 0 ( ) lim x yf x x     0 0 0 ( ) ( )lim x f x + x f x x     ( )y f x 0x x ( )y f x 0x x ( )y f x ( )f x ( )f x ( )f x ( )y f x ( )f x y ( )f x y   0 ( ) ( )lim x f x+ x f x x     ( )y f x 0x x 0( )f x ( )y f x 0 0( , ( ))x f x k 0 0 0 0 ( ) ( )( ) lim x f x + x f xk f x x      3 第一步：设出切点坐标 P′(x1，f (x1))； 第二步：写出过 P′(x1，f (x1))的切线方程为 y−f (x1)=f ′ (x1)(x−x1)； 第三步：将点 P 的坐标(x0，y0)代入切线方程求出 x1； 第四步：将 x1 的值代入方程 y−f (x1)=f ′(x1)(x−x1)，可得过点 P(x0，y0)的切线方程． 三、导数的计算 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 f (x)=C(C 为常数) = f (x)=sin x f (x)=cos x f (x)=ln x 2．导数的运算法则 （1） . （2） . （3） . 3．复合函数的导数 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f (u)，u=g(x)的导数间的关系为 yx′=yu′·ux′，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积． ( )f x 0 *( )= ( )nf x x nN 1 *( )= ( )nf x nx n N ( )=cosf x x ( )= sinf x x  ( ) ( 0 1)xf x a a > a 且 ( ) ln ( 0 1)xf x a a a > a  且 ( ) exf x  ( ) exf x  ( ) log ( 0 1)af x x a a  且 1( ) = ( 0 1) ln f x a a x a   且 1( )=f x x         u x v x u x v x     ＝            ·u x v x u x v x u x v x    ＝ ＋ 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ( ) 0)( ) ( ) u x u x v x u x v x v xv x v x     4 重点考向 考向一 导数的计算 1．导数计算的原则和方法 （1）原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导． （2）方法： ①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导； ②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； ⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导. 2．求复合函数的导数的关键环节和方法步骤 （1）关键环节： ①中间变量的选择应是基本函数结构； ②正确分析出复合过程； ③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； ④善于把一部分表达式作为一个整体； ⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数. （2）方法步骤： ①分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量； ②求每一层基本初等函数的导数； ③每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数. 典例 1 求下列函数的导函数： （1） ； （2） ；4 23 5 6y x x x   2 1y x x  5 （3） ； （4） . 【名师点睛】熟记基本初等函数的求导公式，导数的四则运算法则是正确求导数的基础. （1）运用基本初等函数求导公式和运算法则求函数 在开区间(a,b)内的导数的基本步骤： ①分析函数 的结构和特征；②选择恰当的求导公式和运算法则求导；③整理得结果. （2）对较复杂的函数求导数时，先化简再求导.如对数函数的真数是根式或分式时，可用对数的性质将真数 转化为有理式或整式求解更为方便；对于三角函数，往往需要利用三角恒等变换公式，将函数式进行化简， 使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导. 1．已知函数 ，则 的值为 A． B．0 C． D． 考向二 导数的几何意义 求曲线 y=f (x)的切线方程的类型及方法 （1）已知切点 P(x0, y0)，求 y=f (x)过点 P 的切线方程：求出切线的斜率 f ′(x0)，由点斜式写出方程； （2）已知切线的斜率为 k，求 y=f (x)的切线方程：设切点 P(x0, y0)，通过方程 k=f ′(x0)解得 x0，再由点斜式 写出方程； （3）已知切线上一点(非切点)，求 y=f (x)的切线方程：设切点 P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率 f ′(x0)，再 由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得 x0，最后由点斜式或两点式写出方程． （4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率， 再由 k=f ′(x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程．！网 （5）①在点 P 处的切线即是以 P 为切点的切线，P 一定在曲线上. 2cos y x x tan y x ( )y f x ( )y f x 2( ) 2 2 (1(1) )f x x xf f   2f  2 4 6 6 ②过点 P 的切线即切线过点 P，P 不一定是切点．因此在求过点 P 的切线方程时，应首先检验点 P 是 否在已知曲线上． 典例 2 已知函数 . （1）求这个函数的图象在 处的切线方程； （2）若过点 的直线 与这个函数图象相切，求直线 的方程. 【解析】（1） ， 当 时， ， ∴这个函数的图象在 处的切线方程为 . 【规律总结】求切线方程的步骤： (1)利用导数公式求导数． (2)求斜率． (3)写出切线方程． 注意导数为 0 和导数不存在的情形． 2．已知函数 ，则函数 的图象在 处的切线方程为 A． B． C． D． 2lny x x 1x   0,0 l l 2 lny x x x   1x  0, 1y y  1x  1y x  7 考点冲关 1．函数 在 处的导数是 A．0 B．1 C． D． 2．已知函数 的导函数是 ，且 ，则实数 的值为 A． B． C． D．1 3．设函数 的导函数记为 ，若 ，则 A．-1 B． C．1 D．3 4．已知函数 的图象如图， 是 的导函数，则下列数值排序正确的是 A． B． C． D． 5．已知过曲线 上一点 作曲线的切线，若切线在 轴上的截距小于 0，则 的取值范围是 A． B． C． D． 6．已知 是函数 的导函数，且对任意的实数 都有 （ 是自然对数的底数）， ，则 exy   0 0,P x y y 0x  0, 1 ,e      1,  2, 8 A． B． C． D． 7．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在 放射性同位素铯 137 的衰变过程中，其含量 M(单位：太贝克)与时间 t(单位：年)满足函数关系： ，其中 为 时铯 137 的含量，已知 时，铯 137 含量的变化率为 (太 贝克/年)，则 A．5 太贝克 B． 太贝克 C． 太贝克 D．150 太贝克 8 ． 设 过 曲 线 （ 为 自 然 对 数 的 底 数 ） 上 任 意 一 点 处 的 切 线 为 ， 总 存 在 过 曲 线 上一点处的切线 ，使得 ，则实数 的取值范围为 A． B． C． D． 9．已知 ，则 __________． 10．已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则 _________． 11．曲线 的切线方程为 ，则实数 的值为_________． 12．曲线 在点 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为_________． 13．求下列函数的导数：学！ （1） ； （2） . 14．已知函数 的图象过点 ，且在点 处的切线方程为 ． 30 0( ) 2 t M t M   0M 0t  30t  10ln 2 (60)M  75ln 2 150ln 2   (1)ln ff x x x x   (1)f   2 5 0xy x y     1,2A 2 1 cosxy x   3 lnxy x x     3 2f x x bx cx d     0,2P   1, 1M f  6 7 0x y   9 （1）求 和 的值； （2）求函数 的解析式． 直通高考 1．（2018 新课标全国Ⅰ理科）设函数 .若 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方程为 A． B． C． D． 2．（2016 山东理科）若函数 y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 y=f(x)具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是 A．y=sin x B．y=ln x C．y=ex D．y=x3 3．（2016 四川理科）设直线 l1，l2 分别是函数 f (x)= 图象上点 P1，P2 处的切线，l1 与 l2 垂 直相交于点 P，且 l1，l2 分别与 y 轴相交于点 A，B，则 的面积的取值范围是 A．(0,1) B．(0,2) C．(0,+∞) D．(1,+∞) 4．（2018 新课标全国Ⅱ理科）曲线 在点 处的切线方程为__________． 5．（2018 新课标全国Ⅲ理科）曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则 ________． 6．（2017 北京理科节选）已知函数 ． （Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；  1f   1f    f x 3 2( ) ( 1)f x x a x ax    ( )f x ( )y f x (0,0) 2y x  y x  2y x y x ln ,0 1, ln , 1 x x x x      PAB△ 2ln( 1)y x  (0, 0)  1 exy ax   0 1， 2 a  ( ) e cosxf x x x  ( )y f x (0, (0))f 10 7 ．（ 2017 山 东 理 科 节 选 ） 已 知 函 数 ， ， 其 中 是自然对数的底数. （Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程； 8．（2017 浙江节选）已知函数 f(x)=(x– ) ( )． （Ⅰ）求 f(x)的导函数； 参考答案 2．【答案】C 【解析】∵ ，∴ ，∴ ， 又 ，∴所求切线方程为 ，即 ．  1 2x x   ( ) e (cos sin 2 2)xg x x x x    e 2.71828   | 1 | 2xx xx    π, πf 2 1x  e x 1 2x  变式拓展 11 故选 C． 1．【答案】C 【解析】因为 ，故选 C． 2．【答案】B 【解析】 ，选 B． 3．【答案】D 【解析】根据题意，得 ，由 ，得 ，化简 可得 ，即 ，故选 D． 5．【答案】C 【解析】因为 ，所以切线方程为 ，即 ，令 得 ，截距小于 0 时， ，解得 ，故选 C． 6．【答案】D 【解析】令 G（x）= ，则 G′（x）= =2x-2，可设 G（x）=x2 +c，∵G（0）=f（0） =1，∴c=1．∴f（x）=（x2 +1）ex 故选 D. 7．【答案】D 【解析】因为 ，所以 ，解得 . 所以 ，所以 时，铯 137 的含量为 （太贝 考点冲关   0 0 exk f x   0 0 0exy y x x    0 0 0e ex xy x x   0x    0 01 exy x    0 01 e 0xy x   0 1x    ex f x 30 0 1( ) ln 2 230 t M t M     30 30 0 1(30) ln 2 2 10ln 230M M       0 600M  30( ) 600 2 t M t    60t  60 30 1(60) 600 2 600 1504M       12 克）. 8．【答案】C 【解析】因为切线 ， 的切点分别为 而 ，所以 . 因为 ，所以( . 因 为 ， 所 以 ， 因 此 ，选 C． 9．【答案】 . 【解析】 因为 ，令 ，得 ，解得 ． 10．【答案】 【解析】求导得 ，把 代入得 ，解得 ． 11．【答案】2 12．【答案】 【解析】由 ，得 ，∴ ，∴ ， 1 2   2 (1)1 ln ff x x x    1x     1 1 1f f     11 2f   49 6 2 5 0xy x y      5 2 xy f x x       2 3 2 f x x     11 3f    13 ∴曲线在点 处的切线方程为 ． 令 ，得 ；令 ，得 ．-网 ∴切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ． 13．【解析】（1） . （2） . 14．【解析】（1）∵ 在点 处的切线方程为 ，故点 在切线 上，且切线斜率为 ，得 且 ． （2）∵ 过点 ，∴ ， ∵ ，∴ ， 由 得 ， 又 由 ， 得 ， 联 立 方 程 得 ，解得 ，故 ． 1．【答案】D 【解析】因为函数 是奇函数，所以 ，解得 ，所以 ， ，所以 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，化简可得 ，故选  1,2A  12 13y x    0x  7 3y  0y  7x  1 7 4972 3 6S          2 2 4 1 cos 1 cosx x x x y x            2 4 sin 1 cos 2x x x x x     3 sin 2cos 2x x x x         3 ln 3 lnx xy x x x x         13 ln3 ln 3 1x xx x x           13 ln3ln ln3 1x x x x         f x   1, 1M f  6 7 0x y     1, 1f  6 7 0x y   6  1 1f    1 6f     f x  0,2P 2d    3 2f x x bx cx d    2( ) 3 2f x x bx c     1 6f    3 2 6b c    1 1f   1 1b c d     2 3 2 6 1 1 d b c b c d             3 3 2 b c d           3 23 3 2f x x x x    直通高考 14 D. 【名师点睛】该题考查的是有关曲线 在某个点 处的切线方程的问题，在求解的过程中， 首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项， 从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得 ，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式 求得结果. 3．【答案】A 【解析】设 （不妨设 ），则由导数的几何意义易得切线 的斜率分别为 由已知得 切线 的方程为 ，切线 的方程为 ，即 .分别令 得 又 与 的交点为 ，故选 A． 4．【答案】 【解析】 则所求的切线方程为 . 【名师点睛】求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异，过点 P 的切线中，点 P 不一定是切点，点 P 也不一定在已知的曲线上，而在点 P 处的切线，必以点 P 为切点. 5．【答案】 【解析】 ，则 ，所以 . 【名师点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题. 6．【解析】（Ⅰ）因为 ，所以 . 1 1 1 2 2 2( , ln ), ( , ln )P x x P x x 1 21, 0 1x x   1 2,l l 1 2 1 2 1 1, .k kx x   1 2 1 2 2 1 11, 1, .k k x x x x   ∴ ∴ ∴ 1l 1 1 1 1ln ( )y x x xx   2l 2 2 2 1ln ( )y x x xx    1 1 1 1ln ( )y x x x x    0x  1 1(0 , 1 ln ) , (0 ,1 ln ).A x B x   1l 2l 2 1 1 12 2 1 1 2 1( , ln ) .1 1 x xP xx x   1 1,x  2 1 1 2 2 1 1 2 11 1, 0 12 1 1PAB A B P PAB x xS y y x Sx x         △ △∴ ∴  e 1 ex xy a ax   ( ) e cosxf x x x  ( ) e (cos sin ) 1, (0) 0xf x x x f     15 又因为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 . 7．【解析】（Ⅰ）由题意 ， 又 ，所以 ， 因此曲线 在点 处的切线方程为 ，即 . 8．【解析】（Ⅰ）因为 ， ， 所以 ． (0) 1f  ( )y f x (0, (0))f 1y  2(π) π 2f     2 2sinf x x x   (π) 2πf    y f x   π, πf 2(π 2) 2π( π)y x    22π π 2y x   1( 2 1) 1 2 1 x x ' x      (e ) ex x'   1( ) (1 )e ( 2 1)e 2 1 x xf x x x x         (1 )( 2 1 2)e 1( )22 1 xx x x x     